高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題四：點(diǎn)線面之間的平行垂直關(guān)系

專題四《點(diǎn)線面之間的平行垂直關(guān)系》一、四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線．公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．公理典型例題1.下面四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝，則M∈ll（4）空間中，相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi)A．1B．2C．31/122.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（（1）三點(diǎn)確定一個(gè)平面）⑵若點(diǎn)P不在平面內(nèi)，A、B、C三點(diǎn)都在平面內(nèi)，則P、A、B、C四點(diǎn)不在同一平面內(nèi)⑶兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)⑷兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形A.0B.1C.2D.3二、線面、面面關(guān)系2/12三、線面角、平面角（書P66）3/12典型例題1.給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另外一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④2.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，,l以下命題正確的是()A．若C．若，則，則B．若D．若，則，則l//,//l,lllll,//l//,3.如果平面外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面的距離都是，a則直線AB和平面的位置關(guān)系一定是()A、平行B、相交D、ABC、平行或相交4/124.已知是兩條不同直線，,n是三個(gè)不同平面，,,5.下列命題中正確的是()‖若,,則‖‖‖若m,n,則mnA、C、B、D、‖‖‖若m,m,則‖m,n,mn若則5/126.在四棱錐中，平面PDABCD，，ADCDPABCD且DB平分ADC，E為PC的中點(diǎn)，（Ⅰ）證明PA//平面BDE1,22（Ⅱ）證明平面PBDAC（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值（1）證明：設(shè)，連結(jié)EH，ACBDH在中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分ADC，ADC所以H為AC的中點(diǎn)，又有題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故EH//PA,又平面,平面,所以PA//平面BDE（2）證明：因?yàn)?，，平面平面所以由?）知，故PDAC,BDACD,平面(3)解：由可知，AC平面PBDBH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以CBH為直線與平面PBD所成的角。由,ADCDADCDDB22,2322可得,213在中，,BHC1所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。36/127.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝．a(chǎn)（1）求證：MN∥平面PMC⊥平面PCD．（1）證明：如答圖所示，設(shè)PD的中點(diǎn)為E，P連結(jié)AE、NE，NE1由N為PD的中點(diǎn)知ENDC，C2D1又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB2AMB又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，∴AMNE是平行四邊形∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD∴MN∥平面PAD⑵證明：∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.7/8.如圖所示，四棱錐中，PABCD底面ABCD為正方形，平面ABCD，PDAB2，、、G分別為、、的中點(diǎn)．PCBC（1）求證：平面PBC⊥面PDCEFGPA//（3）求三棱錐PEFG的體積．PEFGCBAD）∵，，分別為、、的中點(diǎn)．EFGPCBC∴EF∥DC,EG∥PBPE∵PB平面PAB,EG平面PAB∴EG∥平面PABFGCB∵底面ABCD為正方形∴DC∥AB∴EF∥ABAD∵AB平面PAB,EF平面PAB∴EF∥平面PAB∵EF∩EG＝E，∴面EFG∥平面PAB，∵PA平面PAB∴PA∥平面EFG（2）∵PD⊥平面,CB平面ABCDABCD8/∴PD⊥CB∵底面ABCD為正方形∴DC⊥CB∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵BC平面PBC∴面PBC⊥面PCD(3)∵底面ABCD為正方形,2∴DC=AB=2∵，，分別為、、的中點(diǎn),EFGPCBC11∴EFDC=1，PF=PD=1,CG=1//22∵PD⊥DC∴EF⊥PD由（2）得BC⊥平面PCD，且G在BC上∴CG為三棱錐PEFG的高11116VVSCG(11PG3329/129.如圖所示：直三棱柱ABC—ABC=2，ACB1111為BB中點(diǎn)，，D為AB的中點(diǎn)A9011（1）求證：CD平面AABB；A111C1（2）求二面角C—AE—D的大小；1B1（3）求三棱錐A—CDE的體積。1EACDB4510/1210.如圖，在三棱錐中，底面，PABCABC,PAAB,ABC60,BCA90點(diǎn)，分別在棱DE上，且；PACPB,DE//BC（1）求證：平面BC（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大?。籔ACD（3）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.EAPPA⊥底面ABC，∴PA⊥.又90，∴⊥.∴⊥平面PAC.（2）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，12又由（Ⅰ）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC，垂足為點(diǎn).∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面，∴PA⊥，又PA=AB，1∴△ABP為等腰直角三角形，∴，21∴在△ABC中，ABC60，∴.BCAB2∴在△ADE中，2，242∴與平面所成的角的大小PAC.4⊥平面PAC，