初二數(shù)學(xué)全等三角形證明方法及輔助線總結(jié)

福明三道耕堂等(舍焦段相等、宣相菁)的幾種才連一.三角影全等的判定:①三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS).【最簡(jiǎn)單，考得也最少，考試過程中沒有注意點(diǎn)】②有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)，【最常考，而且考試就考父魯是不是兩邊夾魚”I當(dāng)題目中得出七對(duì)邊及1對(duì)角相等"時(shí).?定要檢查“角是不是的一邊夾角，:ITOC\o"1-5"\h\z③行兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASAl '④有兩用及一兆的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)」.

?題H中只要得出“1時(shí)邊及2對(duì)箱相萼匕那就能證明:扁i： ：：形全等，唯一要他的就是區(qū)分好是A￡A還是AAS■ ■⑤直的三角形全等條件疔二斜邊及一克身邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角二角形全等［HL)：s，?!!??，?，???，，???，???-?，?，，?，??，▼??，■(，???，??一?，，?，，，????，??，▼■■■，，■■，，，，??■(，??直角三角形全等的特殊證法,但當(dāng)該方法不行時(shí)，前面的4種方法也能用來(lái)證明直用三角形全等口:如何找斜邊：斜邊是宜.角所對(duì)的邊，只要找90°的角所對(duì)的邊就能找到斜邊二、全等三角形的性質(zhì);①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.②全等三角形的周長(zhǎng).面枳相等.③全等：角形的對(duì)應(yīng)邊卜?的高對(duì)應(yīng)相等.④全等：角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等口⑤全等：角形的對(duì)應(yīng)邊上.的中線相等.幾種常見全等三角形的基本圖形：【平靜】[ami［折■/對(duì)森1三、找全等三角形的方法：①可以從結(jié)論山發(fā)，著要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中;②可以從己,知條件八I發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等;③從條沖和結(jié)論綜合考慮.看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等;④若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.★三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角0。映個(gè)角的條件:8、等于同一角的兩個(gè)角相等8、等于同一角的兩個(gè)角相等?缺條邊的條件:r公共邊 2、中點(diǎn) 入等量和6、等腰"角形4、等量差5、角平分線性質(zhì)AB_17、等面積法8、線段垂直平分線上的點(diǎn)

到線段兩端距離相等9、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等10、等于同一線段的兩線段相等「找另一邊■已知兩邊Y找夾角tSAS—找直角tHL數(shù)瑕結(jié)合找條件［規(guī)律總鰭］■【：如兩角T「找夾邊f(xié)ASAj找除夾邊外的任一邊一AAS■己知--邊一角Y廣邊為角的鄰邊《「找與邊相鄰的另一角tASA找力的對(duì)角tAAS〔找用的另一邊t5ASL邊為角的對(duì)邊-＞找任一角TAA3■題目中的隱臧條件L公共邊、公共角工對(duì)頂角.正方形一4條邊都相等、4個(gè)角都是如。.等邊.■:箱形（止：角形J條邊都相等、3個(gè)角都是60。.同一個(gè)三角形中，一個(gè)角是90。，一個(gè)角是45口—三角形是等腰直角三角形，兩條腰相等口同一個(gè)三角形中，一個(gè)角是90。，兩條邊相等一三角形是等腰直角三角形，兩個(gè)底角為45。.兩直線互相垂克f以垂足為頂點(diǎn)的4個(gè)角都是90"心同角（等角）的金角、補(bǔ)角相等.外角定理（最不容易想到.當(dāng)題門無(wú)從下手時(shí)，就應(yīng)該想一想外角定理）.兩三角形全等一對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)角的角平分線、周長(zhǎng),面積等都相等

與加平分線右關(guān)的常用輔助線作法，即向平分線的四大菸本模型用￥分線的常皿制角模地及機(jī)關(guān)結(jié)論四、構(gòu)造輔助線的常用方法：哪于角平分線的輔助線!”題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要想到根據(jù)地平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線口角平分線⑴定義工如圖2-1所示，如果/4出=/以（,那么/4與加平分線右關(guān)的常用輔助線作法，即向平分線的四大菸本模型用￥分線的常皿制角模地及機(jī)關(guān)結(jié)論四、構(gòu)造輔助線的常用方法：哪于角平分線的輔助線!”題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要想到根據(jù)地平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線口角平分線⑴定義工如圖2-1所示，如果/4出=/以（,那么/4七=2/8出=2/B0C,像（用這樣,從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫作這個(gè)角的角平分線.0）角平分線的性質(zhì)定理①如果一條射線是一個(gè)角的平分線，那么它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角一 圖2T②在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.（3）角平分線的判定定理①在角的內(nèi)部，如果一條射線的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，口把一個(gè)角分成兩個(gè)等角，那么這條射線是這個(gè)角的平分線.②在角的內(nèi)部，到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.GP是乙MON的角平分戰(zhàn)角平分線被垂直，順勢(shì)延長(zhǎng)造全等，則P是中點(diǎn)角平分線加垂線，“三線合試試看截取OE=OA,構(gòu)成三角形全等圖中有常平分線，沿它對(duì)折關(guān)系現(xiàn)角平分線十平行線得等腰涌形角平分線+-平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)過點(diǎn)P向兩邊作垂線.構(gòu)成全等三箔形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線已知AABC中,BP,CP分別為角平分線口交于點(diǎn)P,探討上BPC與乙A的關(guān)系結(jié)論^BPC=-ZA2ZBPC=9(}Q--ZA1ZBPC=900+-ZA2基岫知媒關(guān)于陰平分線常用的輔助線方法:(1)截取構(gòu)全等如卜先圖所示，。匚是/A口B的角■干分線，D為口。上--點(diǎn)，F(xiàn)為OE.匕一點(diǎn),若在OA上取一點(diǎn)E,使得OE=OF,并連接DE,則有也。即9△OED,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造「條件"例題1：如上右圖所示,AB//CD.EE平分ZBCD,CE?平分￡BCD,點(diǎn)三在囚3上.求證：Bt=AB+CD0提示：在BC卜取一點(diǎn)F使得BF=EA,連結(jié)EF■:(2)危分線上點(diǎn)向角兩邊作垂鏤相全等利用先平分線卜.的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問題”如下*網(wǎng)所示，過/AOB的平分線0C上?點(diǎn)口向角兩邊口四、作變線，垂足為E、卜，連接口JDF；則有：DE-DF,AOED^AOFD.例密想如」，右圖所示，己知ABAAD,ZBAC-ZFAC,CD=BCQ求1正：ZADC+ZB-180(3)作角平分螳的垂線構(gòu)造等腰三角形口如卜左圖所示,從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線0C的垂線EF,使之與角的另一邊QA相交?則裁得一個(gè)等腰三角形(△口￡「)，垂足為底邊上的中點(diǎn)。，該角平分線又成為底地上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合?的性質(zhì).如果題H中有垂直7角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等嗖歸二C

C例題3：如卜右圖所示，己知/BAD=NDAC『AB>AC,CD_LKD于D,H是EC中點(diǎn)電求證：DH?1AB-AC)2提示：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)3則可得全等三角形口問題可證。例題4：I；知，如圖，在RtAABC中，AE=AC,ZEAC=S00t =Z2,CE_LED的延長(zhǎng)線丁?三,求證：BD=ME【提示：延長(zhǎng)CE交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F】{4}作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰：二角形分為以下兩種情況：①如下左圖所示,過角平分線0C上的?■點(diǎn)E作角的■，邊。人的平行線DE,從而構(gòu)造等腰.■:角形。DE.②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線0C的平行線DH與另外一功AO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰確形QDH。求證：AE=AC十CD求證：AE=AC十CD自AT-平分NBAC,ZACB-ZZEv請(qǐng)問此題是截長(zhǎng)還是補(bǔ)做?由線段和差想到的輔助線(1)遇到求證-條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法罡微氏補(bǔ)短法；①裁長(zhǎng)，在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條.然后證明剩下部分等于另一條；②補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段'然后證明新線段等于長(zhǎng)線段口截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線口例題5：在△"口中,例題7;如圖?AC平分/DABtZADC+ZB=ltfOT求證；CD=CB例題8：例題8：如圖,AD//BC,點(diǎn)E在線段AB上，ZADE>ZCDE,ZDCE>ZZCB,求證：CD=AD+BC由U)由U)+(2)十(3)得:(2)對(duì)于證明有關(guān)線段和您的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三處形中兩線段之和大于第三辿、之差小于第三辿，故可想辦法放在一個(gè)三角形椀明.方法技巧;在利用三角牌三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或迤長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形.使結(jié)論中出現(xiàn)的線殷在一個(gè)或幾個(gè)三的形中，再運(yùn)用三角胎三邊的不等關(guān)系證明.例題9：己知如圖1-1,D、E為二內(nèi)兩上【，求證:ABIAOBDIDE[CE(法I)證呻：將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N.在△amn中，Ail-Fait>md+deI-ke；(1)在△￡口區(qū).；[中，MBIMD>BD：(2)在△?￡!1中，CbT4-NE>CE；(.3")AM+AN+MB+MDTCH4NEAMD+DE+KEI-BD4-CE,AB+AC>BD-hDEH-HC

(法2)如圖13延長(zhǎng)BD交AC于F,延長(zhǎng)CE交BF于G,在AABF和AGFC和AGBE中有：AB+AF>BD-FDG+GF1.：一角形兩邊之和大于第三邊)(1)GF-hFC>GEICE(同上) (2)□G+GEADE(同上) (3)由(1)+(2)十⑶得：AB十AF十GF葉FC+DG+GEAED+DGIGF+GEICE+DE二AB+AC>BD+DE十EC,(3也利用二角賬的外趟大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí).可連摟兩點(diǎn)或延氏某邊，構(gòu)造:角同使求證的大角在某個(gè)三角彩的站角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置匕再利用外角定理:例題10：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：ZBDO.ZBAC,分析，因?yàn)?EDC與/BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使二BDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位置：據(jù)接一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/EDC是ZkEDC的外角，AZBDOZDEC,同理上DEO/EAC,AZBDOZBAC記語(yǔ)二：連接乩D，并延長(zhǎng)文呂Cl'FV/BDF是口的外角AZBDF>ZBAD,同理+ZCDF>ZCAD，ZBDF卜ZCDF>ZBADI/CAB即：ZBDOZBACo注意：利用三俗監(jiān)外僑定理證叨不鼻關(guān)系時(shí)，通常將大角放在解三價(jià)片的外珀位置J,小角放在這個(gè)三珀脖的內(nèi)角位置卜，再利用不等式性質(zhì)證明.?內(nèi)中點(diǎn)想到的輔助線也三疝拔而：而,百而…%是三角形茶呦上的中點(diǎn)，那幺首先庖諉聯(lián)想到三角形的中線加倍延長(zhǎng)及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三甯形底選中線性質(zhì)），然后逋過探索，找到解決恒題的方法。TOC\o"1-5"\h\z| 匚亙而荏益言福花二期工函而無(wú):疝F當(dāng)晟 !! 門）倍長(zhǎng)中線或類中愛〔與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形.如圖1MQ、圖14（b）所示」| 空）三角形中位線定理. ：A A\ 2.已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造赳邊中戲.： 工已知等曖三先形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”| 心有些題目的中點(diǎn)不直接給出.此時(shí)需要我們挖掘題H中的隱含中點(diǎn),例如有他三角形中|斜邊中點(diǎn)，等腰三角形底邊上的中點(diǎn),當(dāng)沒有這些條件的時(shí)候,可以用輔助線添加.（1｝中線把原三角晦分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1,AD是&ABC的中線，則￡?口=3必8=3以K（因?yàn)锳ABD與AACD是等底同高的人A A例題11：如圖，AABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E,使DE=ADDF是4DCE的中線一抑AABC的面枳為工求：ACDF的血和L（2｝倍長(zhǎng)中線已知中點(diǎn)、中線問題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線，由中線的性質(zhì)可知.?條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角，因而可以得到一蛆全等三角形.如圖，延長(zhǎng)3河巳使得&D=DE,連結(jié)EE同虛線連接人 ,例題12：如圖$，己知匚AD是上：的平分級(jí)，AD又是BC辿」，的中線，求證:&AB口是等腰二角圖5圖5。驍證中點(diǎn)，山線間題，應(yīng)拘造平箝線如圖「過^b］榷五B舉存鼓交AD延長(zhǎng)費(fèi)于E/AA例題13：如圖3，在等腰AABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延長(zhǎng)線上截取CE,且使CE=ED.連接DE交BC于F,求證：DF=EF.?其他輔助線做法T'）延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問題中，延長(zhǎng)某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決.例題14：如圖4,在AABC中,AC=BC+ZB=90%BD為NABC的平分線.若A點(diǎn)到直戰(zhàn)BD的距離AD為a,求BE的長(zhǎng).

例題15：如圖7-1，一如AC=BD,AD_LAC于A,BC_LB□于E,求證：AE=BC分析：欲證AD=EC,先證分別含有AD,BC的二角形全等，有幾種方案：AADC與ZVBCD,AAOD-tjABOC,△ABD與但根據(jù)現(xiàn)行條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，H讓此角作為兩個(gè)一角形的公共角.(2)連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決例題1出如圖&1：AB//CD,AD.7BC求證：AB=CD.分析：圖為四邊形，我們只學(xué)」'三曲形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決.(3)連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形例題17：已知：如圖10-1；AC、BD相交于。點(diǎn)，旦AE=DC,AC=E1求證：/A=/D.分析：要證/A=/D,可證它們所在的：角形△ABO和色。?。全等,而只有AB