奧數(shù)：和差問(wèn)題優(yōu)秀教案

奧數(shù)：和差問(wèn)題優(yōu)秀教案奧數(shù)：和差問(wèn)題優(yōu)秀教案/NUMPAGES105104/105奧數(shù)：和差問(wèn)題優(yōu)秀教案奧數(shù)：和差問(wèn)題優(yōu)秀教案第四講和差問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)：1：學(xué)會(huì)運(yùn)用畫圖線的方法表示倍關(guān)系中兩個(gè)量，以更方便的找到解題的思路。2：更熟練掌握解答差倍問(wèn)題的方法，理解差倍問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：更加熟練的運(yùn)用畫圖線方法，更準(zhǔn)確分析各量之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：能夠更好的理解差倍應(yīng)用題中各倍數(shù)和差倍數(shù)的量的關(guān)系。教學(xué)過(guò)程：和差問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。例1：兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？分析與解答：我們可以這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。1-1學(xué)校有排球、籃球共62個(gè)，排球比籃球多12個(gè)，排球、籃球各是多少個(gè)？1-2甲、乙兩人的年齡和是35歲，甲比乙小5歲，甲、乙各多少歲？例2：今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？分析與解答：題中沒(méi)有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過(guò)多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問(wèn)題的解題思路就能解此題。解：①爸爸的年齡：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（歲）②小強(qiáng)的年齡：58-43＝15（歲）答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。2-1今年小剛和小強(qiáng)兩人年齡和為22歲，一年前，小剛比小強(qiáng)大四歲，今年小剛和小強(qiáng)各是多少歲？例3：小明期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多8分，問(wèn)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析與解答：解和差問(wèn)題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)之和沒(méi)有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，這就可以求得這兩科的總成績(jī).解：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？94×2＝188（分）②數(shù)學(xué)得多少分？（188+8）÷2＝196÷2=98（分）③語(yǔ)文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或98-8=90（分）答：小明期末考試語(yǔ)文得90分，數(shù)學(xué)得98分.3-1小敏與媽媽今年的平均年齡為20歲，三年后，媽媽比小敏大28歲，今年媽媽和小敏各是多少歲？4-1：甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共有236人，從甲工程隊(duì)調(diào)14人到乙工程隊(duì)，則兩隊(duì)的工人數(shù)正好相等，甲、乙工程隊(duì)原有人數(shù)各是多少？4-2甲、乙兩人共有150元錢，如果甲增加13元，而乙減少27元，那么兩人的錢數(shù)就相等，甲、乙兩人各有多少元錢？例5：小麗、小馬和小磊三人共有課外書55本。小麗比小馬多4本，小馬又比小磊多6本，三人各有多少本？5-1三塊布共長(zhǎng)220米，第二塊布長(zhǎng)是第一塊的3倍，第三塊布長(zhǎng)是第二塊布長(zhǎng)的2倍，三塊布各長(zhǎng)多少米？5-2甲、乙、丙三名工人一共生產(chǎn)零件420個(gè)，甲比乙多生產(chǎn)10個(gè)，乙比丙少生產(chǎn)17個(gè)，甲、乙、丙三人各生產(chǎn)零件多少個(gè)？例6：在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。123456789=5分析與解答：這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說(shuō)1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字利用和差問(wèn)題的方法便可以求出。（45-5）÷2=20，20+5=25可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25，而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添上“+”號(hào)，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來(lái)了。例如：5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5同學(xué)們，這道題你還有其他解法嗎？試試看！練習(xí)：1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問(wèn)甲、乙兩桶原有多少油？3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬(wàn)元，今年比去年多10萬(wàn)元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬(wàn)元？和差問(wèn)題和差問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說(shuō)明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說(shuō)明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”×2=6支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說(shuō)明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7（支）。例1兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？分析這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？分析題中沒(méi)有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過(guò)多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問(wèn)題的解題思路就能解此題。解：①爸爸的年齡：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（歲）②小強(qiáng)的年齡：58-43＝15（歲）答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3小明期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多8分，問(wèn)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析解和差問(wèn)題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)之和沒(méi)有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，這就可以求得這兩科的總成績(jī).解：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？94×2＝188（分）②數(shù)學(xué)得多少分？（188+8）÷2＝196÷2=98（分）③語(yǔ)文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或98-8=90（分）答：小明期末考試語(yǔ)文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問(wèn)甲、乙兩校原來(lái)各有學(xué)生多少人？分析這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。解：①乙校原有的學(xué)生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）②甲校原有學(xué)生：864-376=488（人）答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。小結(jié)：從以上4個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問(wèn)題的一般解題規(guī)律是：（和+差）÷2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù)或（和-差）÷2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).下面我們用和差問(wèn)題的思路來(lái)解答一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。例5在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。123456789=5分析這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說(shuō)1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問(wèn)題的方法便可以求出。（45-5）÷2=20，20+5=25可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25，而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添上“+”號(hào)，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來(lái)了。例如：5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5同學(xué)們，這道題你還有其他解法嗎？試試看！課后作業(yè)1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問(wèn)甲、乙兩桶原有多少油？3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬(wàn)元，今年比去年多10萬(wàn)元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬(wàn)元？5.甲、乙兩個(gè)學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？6.三個(gè)物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個(gè)物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個(gè)物體各重多少千克？7.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共有1980人，甲隊(duì)為了支援乙隊(duì)，抽出285人加入乙隊(duì)，這時(shí)乙隊(duì)人數(shù)還比甲隊(duì)少24人，求甲、乙兩隊(duì)原有工人多少人？8.四年級(jí)有3個(gè)班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問(wèn)甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

課后作業(yè)答案

1.桃樹的棵樹：（150+20）÷2=85（棵）梨樹的棵樹：150-85=65（棵）答：有桃樹85棵，梨樹65棵。2.甲桶油重：（30+6×2）÷2=21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。3.錫的重量：（500-100）÷2=200（千克）鋁的重量：500-200=300（千克）答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。4.今年的產(chǎn)值：（96×2+10）÷2=101（萬(wàn)元）去年的產(chǎn)值：101-10=91（萬(wàn)元）答：今年的產(chǎn)值是101萬(wàn)元，去年的產(chǎn)值是91萬(wàn)元。5.乙校原有人數(shù)：[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）甲校原有人數(shù)：1245-600＝645（人）答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。6.三個(gè)物體的總重量：31×3=93（千克）甲物體的重量：（93-1）÷2=46（千克）丙物體的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）乙物體的重量：93-46-15=32（千克）答：甲、乙、丙三個(gè)物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。7.甲隊(duì)原有人數(shù)：（285×2+24+198O）÷2=1287（人）乙隊(duì)原有人數(shù)：1287-594=693（人）答：甲隊(duì)原有1287人，乙隊(duì)原有693人。8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.第八講差倍問(wèn)題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問(wèn)題具體、形象，使我們能比較順利地解答此類應(yīng)用題.下面我們?cè)賮?lái)研究與“和倍”問(wèn)題有相似之處的“差倍”應(yīng)用題?！安畋秵?wèn)題”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。差倍問(wèn)題的解題思路與和倍問(wèn)題一樣，先要在題目中找到1倍量，再畫圖確定解題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量，然后求出另一個(gè)數(shù)，最后再寫出驗(yàn)算和答題。例1甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍.又知“甲班圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、班各有圖書多少本。解：①乙班的本數(shù)：80÷（3-1）=40（本）②甲班的本數(shù)：40×3=120（本）或40＋80=120（本）。驗(yàn)算：120-40＝80（本）120÷40=3（倍）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。例2菜站運(yùn)來(lái)的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來(lái)的白菜和蘿卜各是多少千克？分析這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來(lái)的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來(lái)的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說(shuō)明運(yùn)來(lái)的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來(lái)的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來(lái)的白菜是多少千克。解：①運(yùn)來(lái)蘿卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）②運(yùn)來(lái)白菜：750×3=2250（千克）驗(yàn)算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）答：菜站運(yùn)來(lái)白菜2250千克，蘿卜750千克。例3有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？分析上圖，兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來(lái)了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來(lái)了。解：①第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）②兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度：13＋12＝25（米）答：兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)25米。自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無(wú)其他方法求兩根繩子原來(lái)各有多長(zhǎng).小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。解題規(guī)律：差÷倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)×幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來(lái)，三（1）班又買來(lái)新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來(lái)，三（1）班又買來(lái)新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析兩個(gè)班原有圖書一樣多.后來(lái)三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了96本.結(jié)果是一個(gè)班增加，另一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3倍，可見(jiàn)這170本圖書就相當(dāng)于三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來(lái)了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來(lái)了（見(jiàn)上圖）。解：①后來(lái)三（1）班比三（2）班圖書多多少本？74＋96=170（本）②三（2）班剩下的圖書是多少本？170÷（3-1）=85（本）③三（2）班原有圖書多少本？85＋96=181（本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多）綜合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96＝181（本）驗(yàn)算：181+74=255（本）181-96=85（本）255÷85=3（倍）答：兩班原來(lái)各有圖書181本。例5兩塊同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見(jiàn)上圖）。解：①第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-19＝12（米）②第一塊布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）③第一塊布原有多少米？4+31=35（米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）綜合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）驗(yàn)算：35-31=4（米）35-19＝16（米）16÷4＝4（倍）答：每塊布原有35米長(zhǎng)。習(xí)題八1.一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？2.果園里的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？3.有兩塊布，第一塊長(zhǎng)74米，第二塊長(zhǎng)50米，兩塊布各剪去同樣長(zhǎng)的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問(wèn)每塊布各剪去多少米？4.甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時(shí)乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？5.兩筐重量相同的蘋果，從甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，這時(shí)乙筐是甲筐蘋果的3倍，問(wèn)兩筐原有蘋果多少千克？6.甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了.如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個(gè)數(shù)各是多少？7.有兩塊同樣長(zhǎng)的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？奧數(shù)中的“年齡問(wèn)題”年齡問(wèn)題的三大規(guī)律：1．兩人的年齡差是不變的；2．兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；3．隨著時(shí)間的推移，兩人的年齡都是增加相等的量．年齡問(wèn)題的類型：⑴轉(zhuǎn)化為和差問(wèn)題的年齡問(wèn)題；⑵轉(zhuǎn)化為和倍問(wèn)題的年齡問(wèn)題；⑶轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題的年齡問(wèn)題．有關(guān)年齡問(wèn)題的例題解析在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中要討論年齡的變化和幾個(gè)人的年齡的關(guān)系，我們知道隨著時(shí)間的往后或往前推移，人的年齡就會(huì)增加或減少，如果有幾個(gè)人，時(shí)間往后推移，幾個(gè)人年齡的和隨著年數(shù)增加而增加年數(shù)的幾（按人數(shù)）倍，但這幾個(gè)人年齡間的差卻是不變的。在解答有關(guān)年齡變化的問(wèn)題時(shí)這是必須牢記的。

例1：小華今年12歲，他媽媽今年48歲，多少年以前媽媽的年齡是小華的5倍？多少年以后媽媽的年齡是小華的3倍？解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小華和他媽媽年齡的差都是相同的，媽媽的年齡比小華大48－12=36（歲）。當(dāng)媽媽的年齡是小華的5倍時(shí)，把那時(shí)小華的年齡作為1份，媽媽的年齡是這樣的5份，比小華多5－1=4（份），所以那時(shí)小華是：36÷4=9（歲），是在今年前12－9=3（年）。當(dāng)媽媽的年齡是小華的3倍時(shí)，把那時(shí)小華的年齡作為1份，媽媽的年齡是這樣的3份，比小華3－1=2（份），所以那時(shí)小華是：36÷2=18（歲），是在今年后18－12=6（年）。答：3年以前，媽媽的年齡是小華的5倍，6年以后，媽媽的年齡是小華的3倍。例2：小芬家由小芬和她的父母組成，小芬的父親比母親大4歲，今年全家年齡的和是72歲，10年前這一家全家年齡的和是44歲。今年三人各是多少歲？解：一家人年齡的和今年與10年前比較增加了72－44=28（歲），而如果按照三人計(jì)算10年后應(yīng)增加3×10=30（歲），只能是小芬少了2歲，即小芬8年前出生，今年是8歲，今年父親是（72－8＋4）÷2=34（歲），今年母親是34－4=30（歲）。答：今年父親34歲，母親30歲，小芬8歲。例3：父親今年38歲，母親今年36歲，兒子今年11歲，多少年后，父母親的年齡之和是兒子的年齡的4倍？解：今年父母年齡之和為38＋36=74（歲），兒子年齡的4倍是44歲，今年父母年齡之和比兒子年齡的4倍多74－44=30（歲），而每過(guò)一年父母年齡增加2歲，過(guò)一年兒子年齡增加數(shù)的4倍為4歲，就是說(shuō)每過(guò)一年父母年齡的增加比兒子年齡增加數(shù)的4倍少4－2=2（歲），當(dāng)父母年齡之和為兒子年齡的4倍時(shí)，要過(guò)30÷2=15（年）。答：15年后，父母親的年齡之和是兒子的年齡的4倍。例4：今年張老師的年齡是小華年齡的5倍，過(guò)8年，張老師的年齡是小華年齡的3倍，小華今年多少歲？解：今年張老師的年齡是小華年齡的5倍，是把今年小華年齡的作為1份，今年張老師的年齡是這樣的5份，張老師今年的年齡比小華多5－1=4（份），過(guò)8年，張老師的年齡是小華年齡的3倍，是把那時(shí)小華的年齡作為1份，張老師那時(shí)的年齡是這樣的3份，張老師那時(shí)的年齡比小華多3－1=2（份）。今年和過(guò)8年后張老師與小華年齡差的歲數(shù)是相同的，因此過(guò)8年的1份是今年的4÷2=2（份），那么，今年的1份的歲數(shù)是8÷（2－1）=8（歲），就是今年小華8歲。答：今年小華8歲。例5：今年大華20歲，大明18歲，小芬12歲，小玲8歲，多少年后大華、大明的年齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的和的3倍？解：今年大華、大明年齡的和的2倍是（20＋18）×2=76（歲），小芬、小玲年齡的和的3倍是（12＋8）×3=60（歲），大華、大明年齡的和的2倍比小芬、小玲年齡的和的3倍多76－60=16（歲），而每過(guò)一年，大華、大明增加年齡的和的2倍比小芬、小玲增加年齡的和的3倍少2×3－2×2=2（歲），使大華、大明年齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的和的3倍，過(guò)的年數(shù)是16÷2=8（年）。答：8年后大華、大明的年齡的和的2倍等于小芬、小玲年齡的和的3倍。*例6：小云問(wèn)劉老師今年多少歲。劉老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大的時(shí)候，你只有3歲，當(dāng)你像我這么大的時(shí)候，我已經(jīng)39歲了?！眲⒗蠋熃衲甓嗌贇q？解：把小云和劉老師年齡的變化情況畫成下面的線段圖：劉老師比小云大的歲數(shù)用1個(gè)“→”所指的線段表示，當(dāng)劉老師的年齡往回推移到小云今年的年齡時(shí)，推移了這樣的一段，小云的年齡也同樣往回推移這樣的一段，這樣小云只有3歲；當(dāng)小云的年齡往后推移這樣一段到劉老師今年的年齡時(shí)，劉老師的年齡也往后推移這樣的一段，這樣，劉老師就有39歲。從圖中看到39歲比3歲多了3個(gè)這樣的一段，每段（就是兩人的年齡差）是（39－3）÷3=12（歲），劉老師今年的年齡是39－12=27（歲）。答：劉老師今年27歲。學(xué)而思奧數(shù)網(wǎng)奧數(shù)專題(應(yīng)用題)三年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：年齡問(wèn)題難度：高難度甲對(duì)乙說(shuō)：甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時(shí)候，你才5歲．”乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時(shí)候，你將50歲．”問(wèn)：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？答：2、三年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：年齡問(wèn)題難度：高難度甲現(xiàn)在的年齡是乙過(guò)去某一時(shí)刻年齡的2倍，那時(shí)甲正好是乙現(xiàn)在這樣大，當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，那么現(xiàn)在甲、乙年齡分別是多少歲？甲現(xiàn)在的年齡是乙過(guò)去某一時(shí)刻年齡的2倍，那時(shí)甲正好是乙現(xiàn)在這樣大，當(dāng)乙到了甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲與乙年齡之和為63，那么現(xiàn)在甲、乙年齡分別是多少歲？答：三年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：年齡問(wèn)題難度：高難度已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問(wèn)：祖孫三人個(gè)多少歲？已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問(wèn)：祖孫三人個(gè)多少歲？答：三年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：年齡問(wèn)題難度：高難度三名男青年王強(qiáng)、張勝、李明和三名女青年芳芳、麗麗、蓉蓉這六個(gè)人中三對(duì)兄妹，哥哥比妹妹都大5歲，王強(qiáng)比芳芳大1歲，王強(qiáng)與麗麗的年齡和為48歲，張勝與麗麗的年齡和為52，他們六人中各對(duì)兄弟妹分別是誰(shuí)和誰(shuí)？(只寫出答案，不列式)三名男青年王強(qiáng)、張勝、李明和三名女青年芳芳、麗麗、蓉蓉這六個(gè)人中三對(duì)兄妹，哥哥比妹妹都大5歲，王強(qiáng)比芳芳大1歲，王強(qiáng)與麗麗的年齡和為48歲，張勝與麗麗的年齡和為52，他們六人中各對(duì)兄弟妹分別是誰(shuí)和誰(shuí)？(只寫出答案，不列式)答：5、三年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：年齡問(wèn)題難度：高難度今年姐姐13歲，弟弟今年10歲，當(dāng)姐弟年齡之和達(dá)101歲時(shí)，姐弟各是多少歲？今年姐姐13歲，弟弟今年10歲，當(dāng)姐弟年齡之和達(dá)101歲時(shí)，姐弟各是多少歲？答：星海學(xué)校3L個(gè)性化數(shù)學(xué)輔導(dǎo)年齡問(wèn)題學(xué)生：江雨露教師：許老師指點(diǎn)迷津年齡問(wèn)題的一個(gè)重要關(guān)鍵之處是：兩人的年齡差不變。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以將年齡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“和差”“和倍”“差倍”等問(wèn)題來(lái)解答。經(jīng)典例題eq\o\ac(○,1)哥哥今年15歲，弟弟今年10歲。當(dāng)兩人的年齡和是51歲時(shí)，兩人各應(yīng)該是多少歲？【解析】哥哥和弟弟的年齡差是15-10=5(歲)，隨著時(shí)間推移，兩人的年齡差仍為5歲。這樣原題就轉(zhuǎn)化為“已知哥哥和弟弟的年齡和是51歲，年齡差是5歲，求哥哥和弟弟各是多少歲？”這是一個(gè)和差問(wèn)題，根據(jù)和差問(wèn)題的計(jì)算公式，我們很容易得知哥哥和弟弟的年齡。15-10=5（歲）哥哥：（51+5）÷2=28（歲）弟弟：（51-5）÷2=23（歲）。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,1)(1)姐姐幾年10歲，妹妹今年6歲。試問(wèn)當(dāng)兩人的年齡和是36歲時(shí)，兩人各應(yīng)該多少歲？(2)爸爸和媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲，5年后爸爸比媽媽大6歲。今年爸爸和媽媽各多少歲？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,2)云云2歲時(shí)，媽媽27歲，今年媽媽的年齡正好是云云的6倍，媽媽今年多少歲？【解析】無(wú)論哪一年，媽媽和云云的年齡差總是不變的，即27-2=25（歲）。根據(jù)“今年媽媽的年齡正好是云云的6倍”，把今年云云的年齡看作1份，媽媽的年齡就是6份，媽媽與云云的年齡差就是6-1=5（份），所以，今年云云是25÷5=5（歲），媽媽是5×6=30（歲）。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,2)(1)小紅5歲時(shí)，奶奶55歲，今年奶奶的年齡正好是小紅的6倍，奶奶今年多少歲？(2)弟弟5歲時(shí)，哥哥13歲，今年哥哥的年齡正好比弟弟大1倍，哥哥今年多少歲？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,3)今年云兒的媽媽比云兒大32歲，3年后云兒媽媽的年齡又正好是云兒年齡的3倍。云兒今年多少歲？【解析】根據(jù)題意可知云兒與媽媽的年齡差是32歲，3年后，媽媽年齡比云兒大5-1=4（歲）所以云兒今年：32÷（5-1）-3=5（歲）變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,3)(1)今年爸爸的年齡比兒子大36歲，3年后，爸爸的年齡正好是兒子的5倍，兒子今年多少歲？(2)今年爸爸比小蘭大27歲，3年后，爸爸的年齡正好是小蘭的4倍。小蘭今年多少歲？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,4)曉輝5年前的年齡等于萌萌7年后的年齡，曉輝4年后的年齡與萌萌3年前的年齡和是45歲，問(wèn)曉輝和萌萌今年各多少歲？【解析】由“曉輝5年前的年齡等于萌萌7年后的年齡”可知曉輝比萌萌大5+7=12（歲），今年他的年齡是45+3-4=44（歲），根據(jù)和差問(wèn)題的計(jì)算公式，可知，曉輝今年：（44+12）÷2=28（歲），萌萌今年28-12=16（歲）。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,4)(1)安安4年前的年齡等于明明3年后的年齡，安安6年后與明明7年前的年齡和是28歲，安安和明明今年各多少歲？(2)小紅14年后的年齡等于媽媽12年前的年齡，小紅18年后與媽媽8年前的年齡和是50歲。小紅和媽媽今年各多少歲？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,5)今年媽媽和女兒的年齡和是66歲，媽媽的年齡比女兒的3倍小10歲，那么多少年前媽媽的年齡為女兒的5倍？【解析】根據(jù)題意可知這是一個(gè)和倍問(wèn)題，可以求出母女今年的年齡。女兒今年的年齡是：（66+10）÷（3+1）=76÷4=19（歲）媽媽今年的年齡是：19×3-10=47（歲）無(wú)論到哪一年母女的年齡差都是不變的，即47-19=28（歲）當(dāng)媽媽的年齡是女兒的5倍時(shí)，女兒的年齡為：（47-19）÷（5-1）=7（歲）19-7=12（年）即12年前媽媽的年齡為女兒的5倍。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,5)(1)爸爸和兒子今年的年齡和是37歲，爸爸的年齡比兒子的6倍多2歲，那么多少年后，爸爸的年齡是兒子的4倍？(2)小明和小蘭今年的年齡和是18歲，小明的年齡比小蘭的3倍少2歲，那么多少年前，小明的年齡是小蘭的9倍？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,6)4年前媽媽的年齡是小華的4倍，小華今年11歲，媽媽今年多少歲？【解析】小華今年11歲，四年前小華的年齡應(yīng)該是11-4=7（歲），那么媽媽4年前的年齡是7×4=28（歲），再經(jīng)過(guò)四年媽媽的年齡應(yīng)該再加4歲，即28+4=32（歲）。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,6)(1)5年前小蘭的年齡是小明的3倍，小明今年10歲，小蘭今年多少歲？(2)4年前哥哥的年齡是弟弟的2倍，弟弟今年14歲，哥哥今年多少歲？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,7)小明今年3歲，父親今年27歲，幾年后父親的年齡正好是小明的4倍？【解析】父親與小明的年齡差是27-3=24（歲），這是一個(gè)不變的量，當(dāng)父親的年齡是小明的4倍，小明的年齡是24÷（4-1）=8（歲），8-3=5（年）。變式訓(xùn)練eq\o\ac(

,7)(1)歡歡今年18歲，迎迎今年2歲，幾年后歡歡的年齡正好是迎迎的5倍？(2)哥哥今年16歲，弟弟今年12歲，幾年前哥哥的年齡剛好是弟弟的3倍？經(jīng)典例題eq\o\ac(○,8)父親今年35歲，兒子今年13歲，幾年后父親和兒子的年齡和是62歲？【解析】父親和兒子的年齡差是不變的量，即35-13=22（歲），當(dāng)父親與兒子年齡和為62歲時(shí)，兒子的年齡是（62-22）÷2=20（歲），20-13=7（年）。小學(xué)奧數(shù)《年齡問(wèn)題》練習(xí)題及答案（上）一、填空題1.甲、乙兩人的年齡和是33歲,甲比乙大3歲,那么甲歲,乙歲.2.父親今年47歲,兒子21歲,年前父親的年齡是兒子年齡的3倍.3.今年叔叔21歲,小強(qiáng)5歲,年后叔叔的年齡是小強(qiáng)的3倍.4.小明今年9歲,媽媽今年39歲,再過(guò)年媽媽年齡正好是小明年齡的3倍.5.明明比爸爸小28歲,爸爸今年的年齡是明明年齡的5倍,明明今年歲,爸爸今年歲.6.爸爸比小強(qiáng)大30歲,明年爸爸的年齡是小強(qiáng)的3倍,今年小強(qiáng)歲.7.父親比兒子大27歲,4年后父親的年齡是兒子的4倍,那么兒子今年歲.8.現(xiàn)在母女年齡和是48歲,3年后母親年齡是女兒年齡的5倍,那么母親今年歲,女兒今年歲.9.叔叔比紅紅大19歲,叔叔的年齡比紅紅的年齡的3倍多1歲,叔叔歲,紅紅歲.10.弟弟今年8歲,哥哥今年14歲,當(dāng)二人年齡之和是50歲時(shí),弟弟歲,哥哥歲.二、解答題11．小剛4年前的年齡與小明7年后的年齡之和是39歲,小剛5年后的年齡等于小明3前的年齡,求小剛、小明今年的年齡是多少?12.哥哥5年前的年齡等于7年后弟弟的年齡,哥哥4年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是35歲,求兄弟二人今年的年齡?13.10年前父親的年齡是兒子年齡的7倍,15年后父親的年齡是他兒子的2倍,問(wèn)今年父子二人各多少歲?14.今年小剛的年齡是明明年齡的5倍,25年后,小剛的年齡比明明的年齡的2倍少16歲,今年小剛、明明各多少歲?———————————————答案——————————————————————一、填空題1.從年齡和中減去3歲就是2個(gè)乙的年齡.乙的年齡:(33-3)÷2=15(歲)甲的年齡:15+3=18(歲)2.父親與兒子的年齡差是(47-21)歲,幾年前兩人的倍數(shù)差為(3-1)倍,可求出兒子幾年前的年齡.兒子幾年前年齡:(47-21)÷2=13(歲)幾年前:21-13=8(年)3.先求出叔叔與小強(qiáng)年齡差,幾年后的倍數(shù)差,算出幾年后小強(qiáng)的年齡.小強(qiáng)幾年后的年齡:(21-5)÷(3-1)=8(歲)幾年后:8-5=3(年)4.可先計(jì)算出二人的年齡差,再過(guò)幾年折倍數(shù)差,由此可算出幾年后小明的年齡.小明幾年后的年齡:(39-9)÷(3-1)=15(歲)再過(guò)幾年:15-9=6(年)5.由題意可知爸爸與明明的倍數(shù)差是(5-1)倍,而二人年齡差是28歲,由此可算出明明與爸爸的年齡.明明年齡:28÷(5-1)=7(歲)爸爸年齡:28+7=35(歲)6.可知兩人年齡差是30歲,明年二人的倍數(shù)差是(3-1)倍,可得明年小強(qiáng)的年齡,由此算出今年小強(qiáng)的年齡.小強(qiáng)明年年齡:30÷(3-1)=15(歲)小強(qiáng)今年年齡:15-1=14(歲)7.由題可知二人的年齡差,4年后的倍數(shù)差,那么4年后兒子年齡可求,今年兒子的年齡也可求.4年后兒子年齡:27÷(4-1)=9(歲)兒子今年年齡:9-4=5(歲)8.現(xiàn)在母女年齡和是48歲,3年后年齡和增加(3×2)歲,可得母女的3年后年齡和,又知母親3年后年齡是女兒年齡5倍,可得出女兒3年后的年齡,由此可得今年母女的年齡.3年后母女年齡和:48+(3×2)=54(歲)3年后女兒年齡:54÷(5+1)=9(歲)今年女兒年齡:9-3=6(歲)今年母親年齡:48-6=42(歲)9.用叔叔與紅紅的年齡差減去1歲就是紅紅的年齡的2倍,可得出紅紅的年齡,由此叔叔的年齡可得.紅紅的年齡:(19-1)÷(3-1)=9(歲)叔叔的年齡:9+19=28(歲)10.哥哥與弟弟二人年齡和為50歲時(shí),相對(duì)于現(xiàn)在二人的增長(zhǎng)歲數(shù)是一樣多,由此可得二人的增長(zhǎng)歲數(shù),可以算出二人的年齡.增長(zhǎng)的歲數(shù):(50-8-14)÷2=28÷2=14(歲)哥哥的年齡:14+14=28(歲)弟弟的年齡:14+8=22(歲)小剛:小剛:5年今年3年小明:今年4年?歲?歲39歲7年11.根據(jù)題意看圖,我們可以知道39歲為粗線表示的部分.如果我們以小剛5年后的年齡,也就是小明3年前的年齡為1倍量的話,只要我們能找到2倍對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)就可以了.從圖中可知,如果小剛4年前的年齡加4加5就是5年后的年齡,如果小明7年后的年齡減7減3就是3年前的年齡,總數(shù)變?yōu)?9+4+5-3-7=38(歲)相當(dāng)于2倍量,這樣,問(wèn)題就可以解決了.39+4+5-3-7=38(歲)38÷2=19(歲)19-5=14(歲)19+3=22(歲)答:小明今年22歲,小剛今年14歲.弟弟:弟弟:7年今年5年哥哥:今年3年35歲4年根據(jù)題意看圖,我們可以知道35歲為粗線表示的部分.如果我們把弟弟7年后的年齡作為1倍量,那么哥哥5年前的年齡也是1倍量.只要我們找到這兩倍量所對(duì)應(yīng)的數(shù)量,就可以先求出1倍量,使問(wèn)題得解.35+3+7-5-4=36(歲)36÷2=18(歲)18-7=11(歲)14+5=23(歲)答:哥哥今年23歲,弟弟今年11歲.父親:父親:兒子:10年今年10年今年15年?歲?歲“1”15年（“1”）7倍（2倍）因?yàn)?5年后父親的年齡是他兒子年齡的2倍,所以父子當(dāng)時(shí)的年齡差為兒子當(dāng)時(shí)的年齡,即10+15+兒子10年前的年齡.因?yàn)?0年前父親的年齡是兒子年齡的7倍,父子的年齡差為兒子當(dāng)時(shí)年齡的6倍,由于年齡差不變,25+兒子10年前年齡=兒子10年前年齡的6倍.所以25相當(dāng)于兒子10年前年齡的5倍,可求出兒子10年前的年齡,使問(wèn)題得解.7-1-1=510+15=25(歲)25÷5=5(歲)5+10=15(歲)5×7=35(歲)35+10=45(歲)答:兒子今年15歲,父親今年45歲.小剛:小剛:明明:16年25年?歲?歲“1”25年（“1”）5倍（2倍）小剛:小剛:明明:16年25年“1”“1”25年（“1”）5倍25年從上圖可以清楚地看出,當(dāng)兩人年齡相等時(shí),明明今年年齡的3倍對(duì)應(yīng)的是:25×2-25-16=9(年),由此可以求出明明今年的年齡,使問(wèn)題得解.25×2-25-16=9(年)5-1×2=39÷3=3(歲)3×5=15(歲)答:明明今年3歲,小剛今年15歲.小學(xué)奧數(shù)《年齡問(wèn)題》練習(xí)題及答案（下）一、填空題1.兄弟二人的年齡之和是25歲,四年后,哥哥比弟弟大5歲,今年哥哥歲,弟弟歲.2.今年甲的年齡是乙的年齡的3倍,三年后甲比乙大4歲,今年甲歲,乙歲.3.哥哥與弟弟三年后年齡之和是27歲,弟弟今年的年齡等于兩人的年齡差,問(wèn)兄歲,弟歲.4.小紅今年10歲,她爸爸今年36歲,小紅歲,爸爸的年齡正好是小紅的3倍.5.小剛今年12歲,媽媽今年40歲,年后媽媽的年齡正好是小剛的3倍.6.父親今年49歲,兒子今年21歲,年前父親的年齡是兒子的5倍.7.小明今年14歲,奶奶今年74歲,奶奶歲時(shí),正好是小明的7倍.8.奶奶今年66歲,孫女今年10歲,年后奶奶的年齡是孫女的5倍.9.小紅、小麗2年前年齡和是23歲,小紅今年的年齡等于兩人的年齡差,今年小紅歲,小麗歲.10.小剛5年前的年齡等于小紅5年后的年齡,小剛今年是小紅年齡的3倍,小剛與小紅今年的年齡分別是歲和歲.二、解答題11.1992年,媽媽52歲,兒子25歲,哪一年媽媽的年齡是兒子的4倍.12.爸爸和女兒兩人歲數(shù)加起來(lái)是91歲,當(dāng)爸爸歲數(shù)是女兒現(xiàn)在歲數(shù)兩倍的時(shí)候,女兒歲數(shù)是爸爸現(xiàn)在歲數(shù)的,那么爸爸現(xiàn)在的年齡是多少歲,女兒現(xiàn)在年齡是多少歲.13.甲、乙兩人共63歲,當(dāng)甲是乙現(xiàn)在年齡一半時(shí),乙當(dāng)時(shí)的年齡是甲現(xiàn)在的歲數(shù),那么甲多少歲,乙多少歲.14.父親與兒子的年齡和是66歲,父親的年齡比兒子的年齡的3倍少10歲,那么多少年前父親的年齡是兒子的5倍.———————————————答案——————————————————————1.在年齡問(wèn)題中,兩人的年齡差是不變的量,在這道題中,兄弟兩人相差5歲是不變的量,如果哥哥小5歲就和弟弟一樣大,總數(shù)變?yōu)?5-5=20(歲)相當(dāng)于弟弟年齡的2倍,可以先求出弟弟的,相應(yīng)再求哥哥的,或者弟弟大5歲就和哥哥相同,總數(shù)變?yōu)?5+5=30(歲)相當(dāng)于哥哥年齡的2倍,可以求出哥哥的,再求弟弟的.解法一:25-5=20(歲)20÷2=10(歲)10+5=15(歲)答:弟弟10歲,哥哥15歲.解法二:25+5=30(歲)30÷2=15(歲)15-5=10(歲)答:弟弟10歲,哥哥15歲.2.甲乙的年齡差4歲是不變的量,三年后相差4歲,今年也相差4歲,甲的年齡是乙的3倍,即4歲相當(dāng)于乙的年齡的2倍,這樣可以先求出乙的年齡,使問(wèn)題得解.4÷(3-1)=2(歲)2×3=6(歲)答:甲今年6歲,乙今年2歲.3.“弟弟今年的年齡等于兩人的年齡差”實(shí)際上就是哥哥的年齡是弟弟年齡的2倍,又知三年后的年齡和是27歲,每年每人長(zhǎng)一歲,三年二人就長(zhǎng)2×3=6(歲),所以今年二人的年齡和是27-6=21(歲)知道了年齡和,又知道了倍數(shù)關(guān)系,題目就可以解答了.27-2×3=21(歲)21÷(2+1)=7(歲)7×2=14(歲)答:哥哥今年14歲,弟弟今年7歲.4.根據(jù)兩人的年齡,可以確定出年齡差為36-10=26(歲),當(dāng)爸爸的年齡是小紅的3倍時(shí),多出的26歲相當(dāng)于小紅年齡的2倍,這樣可求出當(dāng)爸爸年齡是小紅的3倍時(shí),小紅的年齡.36-10=26(歲)26÷(3-1)=13(歲)答:當(dāng)小紅13歲時(shí),爸爸的年齡正好是小紅的3倍.5.當(dāng)媽媽的年齡是小剛的3倍時(shí),媽媽與小剛的年齡差就相當(dāng)于小剛年齡的2倍.對(duì)應(yīng)關(guān)系找到了,問(wèn)題就可以解決了.40-12=28(歲)28÷(3-1)=14(歲)14-12=2(年)答:2年后媽媽的年齡正好是小剛的3倍.6.當(dāng)爸爸的年齡是兒子的5倍時(shí),兩人的年齡差就相當(dāng)于當(dāng)時(shí)兒子年齡的4倍,這樣可以求出當(dāng)爸爸的年齡是兒子的5倍時(shí)兒子的年齡,也就能最后求出所問(wèn)問(wèn)題.49-21=28(歲)28÷(5-1)=7(歲)21-7=14(歲)答:14年前爸爸的年齡是兒子的5倍.7.當(dāng)奶奶的年齡是小剛7倍時(shí),兩人的年齡差就相當(dāng)于小剛當(dāng)時(shí)年齡的6倍,可通過(guò)這樣的關(guān)系求出小剛當(dāng)時(shí)的年齡,再求出奶奶當(dāng)時(shí)的年齡.74-14=60(歲)60÷(7-1)=10(歲)10+60=70(歲)答:當(dāng)奶奶70歲時(shí),正好是小剛年齡的7倍.8.這道題和前幾題的思路是完全相同的,你能自己解答嗎?66-10=56(歲)56÷(5-1)=14(歲)14-10=4(年)56÷(15-1)=4(歲)10-4=6(年)答:4年后奶奶的年齡是孫女的5倍,6年前奶奶的年齡是孫女的5倍.9.每人每年長(zhǎng)1歲,所以小紅、小麗兩人今年的年齡和應(yīng)是:23+2×2=27(歲).小紅今年的年齡等于年齡差,也就是小麗的年齡是小紅年齡的2倍,即27歲相當(dāng)于小紅年齡的3倍,找到這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系后,就可以求出小紅的年齡,使問(wèn)題得解.23+2×2=27(歲)27÷(2+1)=9(歲)9×2=18(歲)答:小紅今年9歲,小麗今年18歲.小紅:小紅:5年今年5年小剛:今年從圖中可以看出小紅與小剛的年齡差為:5+5=10(歲)而相差的10歲正好相當(dāng)于小紅年齡的2倍,可以求出小紅的年齡,再求出小剛的年齡.5+5=10(歲)10÷(3-1)=5(歲)5×3=15(歲)答:小紅今年5歲,小剛今年15歲.二、解答題11.可以算出母子二人的年齡差,幾年前二人的倍數(shù)差,算出幾年前兒子的年齡,由此可以得出是哪一年.幾年前兒子年齡:(52-25)÷(4-1)=9(歲)幾年前:25-9=16(年)哪一年:1992-16=1976(年)AABECFD爸爸現(xiàn)在歲數(shù)女兒現(xiàn)在歲數(shù)爸爸歲數(shù)是女兒現(xiàn)在歲數(shù)二倍12.由題意有:AE=2CD,EB=FD,AB=3×CFAB=AE+EB=2×(CF+FD)+FD=2×CF+3×FDCF=3×FD所以CD=CF+FD=3×FD+FD=4FD所以AB=3×CF=3×3×FD=9FD又AB+CD=91,而且FD=91÷(4+9)=7所以AB=9×7=63,CD=91-63=28即爸爸63歲,女兒28歲.13.由題意可知,AB=2CF,EB=FD,AE=CD,AB=AE+EB=CD+FD=(CF+FD)+FD=CF+2FDAABECFD乙現(xiàn)在年齡甲現(xiàn)在年齡當(dāng)甲是乙的年齡一半因?yàn)锳B=2CF,所以CF=2FDAB=4FD,CD=CF+FD=3FD.AB+CD=63,所以FD=63÷7=9AB=4×9=36,CD=3×9=27甲是27歲,乙是36歲.14.由二人的年齡和加上10歲恰是兒子年齡的(3+1)倍,可以算出兒子的年齡及父親的年齡,也可以算出二人的年齡差,幾年前的倍數(shù)差得出幾年前兒子的年齡,兒子的年齡:(66+10)÷(3+1)=19(歲)父親的年齡:19×3-10=47(歲)二人年齡差:47-19=28(歲)幾年前兒子年齡:28÷(5-1)=7(歲)幾年前:19-7=12(年)第五講雞兔同籠問(wèn)題1、雞兔同籠，共有頭100個(gè)，足316只，求雞兔各有多少只？兔:316÷2－100=58雞:100－58=422、小明花4元錢買賀年卡和明信片，共14張，賀年卡每張3角5分，明信片每張2角5分。問(wèn)：買了幾張賀年卡，幾張明信片？3角5分:（4－0.25×14）÷(0.35－0.25)=52角5分:14－5=93、雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。雞兔各幾只？(100－92÷2)=4雞:(100－4×4)÷(2＋4)=14兔:14＋4=184、100個(gè)饅頭100個(gè)和尚吃，大和尚每人吃3個(gè)，小和尚每3人吃一個(gè)。大、小和尚各有多少人？大和尚:100÷(3＋1)=25小和尚:25×3=755、30枚硬幣，由2分和5分組成，共值9角9分。兩種硬幣各多少枚？5分:（99－2×30）÷(5－2)=132分:30－13=176、有2角、5角和1元的人民幣20張，共計(jì)12元，三種票子各多少?gòu)垼?角的是5的倍數(shù)。2角5張。20－5=15張12－0.2×5=11元5角:(1×15－11)÷(1－0.5)=81元:15－8=77、班主任老師帶五年級(jí)二班50名學(xué)生去栽樹，張老師一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽兩棵，總共栽樹120棵。有幾名男生？幾名女生？120－5=115女生:(50×3－115)÷(3－2)=35男生:50－35=158、100名師生綠化校園，老師每人栽3棵樹，學(xué)生每?jī)扇嗽?棵樹，總共栽樹100棵，求老師和學(xué)生各栽樹多少棵？(2×100－100)÷(3－1/2)=80名學(xué)生:80÷2=40棵老師:100－40=60棵9、80本語(yǔ)文書和100本數(shù)學(xué)書總價(jià)相等。已知每本語(yǔ)文書比每本數(shù)學(xué)書貴5分，語(yǔ)文書和數(shù)學(xué)書的單價(jià)各是多少？數(shù)學(xué)書:0.05×80÷(100－80)=0.2語(yǔ)文書:0.2＋0.05=0.25反比例方法:語(yǔ)文書和數(shù)學(xué)書的單價(jià)比是:100:80=5:45÷(5－4)×5=25分25－5=20分10、搬運(yùn)100只玻璃瓶，規(guī)定搬一只得搬運(yùn)費(fèi)3分，但打破一只要賠5分。運(yùn)完后共得運(yùn)費(fèi)2.60元，搬運(yùn)中打破了幾只玻璃瓶？(3×100－260)÷(3＋5)=511、一個(gè)運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn)10000只瓶子，每100只可得運(yùn)費(fèi)1元5角，如損壞一只不但不給運(yùn)費(fèi)，還要賠償2角。這個(gè)隊(duì)共得運(yùn)費(fèi)146元5角6分，損壞了幾只瓶子？1.5÷100=0.015(10000×0.015－146.56)÷(0.015＋0.2)=1612、某小學(xué)舉行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共15道題，每做對(duì)一題得8分，每做錯(cuò)一題倒扣4分，小明共得72分，他做對(duì)了多少道題？15－(8×15－72)÷(8＋4)=1113、清風(fēng)小學(xué)三名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共10道題，答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)一題扣3分。這3名同學(xué)都回答了所有的題。成績(jī)分別是87分、74分和9分。他們一共答對(duì)了多少題？10×3－[10×10×3－(87＋74＋9)]÷(10＋3)=2014、雞、兔同籠，兔比雞少15只，腳數(shù)共有282只，問(wèn)：雞、兔各幾只？兔:(282－15×2)÷(2＋4)=42雞:42＋15=5715、雞、兔同籠，兔比雞多15只，腳數(shù)共有228只，問(wèn)：雞、兔各幾只？雞:(228－15×4)÷(2＋4)=28兔:28＋15=4316、一只螃蟹有10只腳；一只蜻蜓有6只腳，兩對(duì)翅膀；一只螳螂有6只腳，一對(duì)翅膀?，F(xiàn)有螃蟹、晴蜓、螳螂共37只，合計(jì)有腳250只，翅膀52對(duì)。求螃蟹、晴蜓、螳螂各有多少只？螃蟹:(250－37×6)÷(10－6)=737－7=30蜻蜓:(52－30×1)÷(2－1)=22螳螂:30－22=817、由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修一段長(zhǎng)2136米的公路，先由甲隊(duì)以每天30米的速度修了若干天，然后再由乙隊(duì)接著修，每天修42米，兩隊(duì)共用60天修完這段路。問(wèn)：兩隊(duì)各修了多少天？甲:(42×60－2136)÷(42－30)=32乙:60－32=2818、買單價(jià)為2元、3元、5元的圖片65張，共花去240元，已知單價(jià)5元的圖片張數(shù)是2元張數(shù)的2倍，三種圖片各買了多少?gòu)垼?2＋5×2)÷(1＋2)=4元3元:(65×4－240)÷(4－3)=202元:(65－20)÷(1＋2)=155元:15×2=3019、公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃子266個(gè)，已知一只公猴每天摘桃10個(gè)，一只母猴每天摘桃8個(gè)，一只小猴每天摘桃5個(gè)，又知公猴比母猴少4只，問(wèn)：小猴有幾只？(10＋8)÷2=9個(gè)38＋4=42只266＋4×10=306只小猴:(9×42－306)÷(9－5)=18公猴:(38－18－4)÷2=8母猴:8＋4=1220、傳說(shuō)九頭鳥有九頭一尾，九尾鳥有九尾一頭．現(xiàn)有頭580個(gè)，有尾900條，問(wèn)兩種鳥各有多少只？雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析“雞兔同籠問(wèn)題”是我國(guó)古代的一道數(shù)學(xué)名題，在上海教材中被安排在四年級(jí)下學(xué)期，但在二年級(jí)學(xué)“列表枚舉法”時(shí)學(xué)生已初步接觸過(guò)這個(gè)問(wèn)題，有的三年級(jí)學(xué)生在外面補(bǔ)課時(shí)已經(jīng)會(huì)套用“假設(shè)法”的解題模式，有的則從家長(zhǎng)那里學(xué)會(huì)了用方程解答.有趣的是，數(shù)據(jù)較小時(shí)，一年級(jí)學(xué)生用“畫圖法”也能解決這種問(wèn)題.這就是四年級(jí)學(xué)生關(guān)于“雞兔同籠問(wèn)題”的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”——一鍋不折不扣的“夾生飯”.筆者嘗試以“課程實(shí)施三放三收”的策略引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)他們“生活中的數(shù)學(xué)”，一起來(lái)燒燒這鍋“夾生飯”.一、一放一收：呈現(xiàn)“原生態(tài)”1.重心下移：呈現(xiàn)“原生態(tài)”上課伊始，老師出示了一只陶瓷儲(chǔ)蓄罐，輕輕一搖，里面的硬幣嘩嘩作響.師：儲(chǔ)蓄罐里有2分硬幣和5分硬幣共8枚，每種硬幣各幾枚？（PPT呈現(xiàn)）生：這道題有好幾種可能，好象缺少條件.師：要補(bǔ)上什么條件？生：要知道儲(chǔ)蓄罐里一共有多少錢.師：好的，現(xiàn)在補(bǔ)上“一共有3角4分錢”，能做嗎？（學(xué)生有的沉思，有的動(dòng)筆寫寫算算，有的則一臉茫然.）師：這類問(wèn)題，早在1500年前，我們的老祖宗在一本叫《孫子算經(jīng)》的書中就有專門的記載.這就是我們今天要研究的古代數(shù)學(xué)名題：雞兔同籠問(wèn)題.PPT出示：今有雞兔同籠，上有8頭，下有22足.雞有幾只？兔有幾只？（學(xué)生似乎被點(diǎn)醒，有的若有所思，有的若有所悟，有的則依然沉默.）【設(shè)計(jì)意圖：儲(chǔ)蓄罐里的“硬幣問(wèn)題”學(xué)生也許陌生，但這只是一個(gè)懸念，一個(gè)引子；而似曾相識(shí)的古代名題對(duì)部分學(xué)生則是某種點(diǎn)撥與喚醒，能初步激活部分學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，找到思考問(wèn)題的起點(diǎn).】2.重心下移：讓“差異”成為資源師：腳為什么比頭多呀？生：因?yàn)橐恢浑u有2只腳，一只兔有4只腳.師：雞和兔的只數(shù)都是未知的.想一想，怎么辦？有困難的也可以同桌商量商量，再動(dòng)筆試試看.巡視發(fā)現(xiàn)，有以下幾種具有代表性的解法.（1）有的學(xué)生通過(guò)列表枚舉，找到了答案.（2）也有學(xué)生列出了算式：（22-8×2）÷（4-2）=3（只），8-3=5（只）師：你是怎樣想的？生：假設(shè)8只全部是雞，應(yīng)該是16條腿，比題目里告訴我們的少了6條，每少2條腿，說(shuō)明有一只兔被當(dāng)成了雞……（能說(shuō)得清道理的只是數(shù)學(xué)上的少數(shù)尖子，不少學(xué)生還是半懂不懂的.）師：其實(shí)，這道題一年級(jí)的小朋友們也會(huì)做，他們用的是“畫圖的方法”.（PPT動(dòng)態(tài)演示畫圖的過(guò)程.）誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)一年級(jí)同學(xué)是怎么想的？（原本半懂不懂的學(xué)生從直觀的畫圖過(guò)程中明白了算理）生：一年級(jí)同學(xué)也是先假設(shè)8只全部是雞，畫上16條腿，再把多出來(lái)的6條腿添給三只雞，就變成了三只兔.師：比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：方法不同，但結(jié)果都是5只雞和3只兔.生：都用到了假設(shè)法.師：你更喜歡哪種方法？生：我喜歡“圖畫法”，比算式好懂，列表比較麻煩.生：但“圖畫法”也有麻煩的時(shí)候，如果是800只腳呢？還是假設(shè)法比較好.……【設(shè)計(jì)意圖：“聲一無(wú)聽(tīng)，色一無(wú)文，味一無(wú)果，物一無(wú)講.”——《國(guó)語(yǔ)·鄭語(yǔ)》.如同植物的多樣性能讓雜花生樹一樣，在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生原生態(tài)地呈現(xiàn)的各種方法成為一種教育資源，這些方法相互驗(yàn)證，相互啟迪，往往能進(jìn)一步激活孩子們的思維.】3.重心下移：聚焦困惑，突破難點(diǎn)師：明明假設(shè)的是雞，怎么求出來(lái)的卻是兔呢？（學(xué)生一時(shí)難以回答，片刻沉靜后，學(xué)生從PPT上的畫圖法中找到了解釋）生：因?yàn)?，假設(shè)全是雞，少算的6條腿都是“兔腿”.生：把少算的6條兔腿換回去，就變成了兔子.所以，假設(shè)全是雞，求出來(lái)的是兔子.生：反過(guò)來(lái)，如果假設(shè)全是兔，求出來(lái)的是雞.【設(shè)計(jì)意圖：為什么明明假設(shè)的是雞，求出來(lái)的卻是兔子？這歷來(lái)是不少學(xué)生在理解上的一大困惑.所以，貼近學(xué)生理解上的這個(gè)難點(diǎn)，聚焦并放大這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生不僅知其然，也知其所以然，從而切實(shí)突破難點(diǎn).】二、二放二收：激活“創(chuàng)生態(tài)”1.關(guān)口前移：激活“創(chuàng)生態(tài)”師：上面提到的幾種方法都是我們現(xiàn)代人的解法，我們的老祖宗又是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的呢？PPT出示古人的解法：腳數(shù)÷2-頭數(shù)=兔數(shù)，頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù).師：古人的方法對(duì)不對(duì)呢？大家不妨用古人的方法驗(yàn)證一下上面這道題.生（興奮地）：對(duì)的，對(duì)的，也是5只雞，3只兔.比我們的假設(shè)法方便多了.師：但古人是怎樣想的呢？能不能發(fā)個(gè)短信或打個(gè)電話去問(wèn)問(wèn)？（生皆笑）生：老師，我在一本書上看到古人用的是“抬足法”.就是讓所有的雞都抬起一條腿——“金雞獨(dú)立”，讓所有的兔子都抬起前腿——“玉兔拜月”.這樣，腿的總數(shù)就除以2.那么，每只雞都是一條腿，每只兔都有兩條腿，這時(shí)，腳數(shù)比頭數(shù)多的，就是兔的只數(shù).師：你的知識(shí)很淵博，解釋得也很清楚，很精彩.（古人的解法，一石激起千層浪）生：老師，如果讓雞的兩只翅膀著地，把雞變成4條腿的“怪雞”，那么（8×4-22）÷（4-2）=5是兔的只數(shù)，8-5=3是雞的只數(shù).師：你為“假設(shè)全是兔”找到了一個(gè)生動(dòng)形象的解釋.生：老師，如果只讓所有的兔子前腿抬起來(lái)，就可以把所有的兔子都變成2條腿的“怪兔”.那么（22-8×2）÷（4-2）=3是雞的只數(shù)，8-3=5是兔的只數(shù).師：這又是一個(gè)很妙的解釋.【設(shè)計(jì)意圖：古人的“抬足法”猶如催化劑，催生出兩翅著地的“怪雞”和前肢舉著的“怪兔”.學(xué)生的思維一旦被充分激活，任何奇思妙想都不會(huì)是一種意外.】2.關(guān)口前移：感受數(shù)學(xué)文化的魅力師：你們見(jiàn)過(guò)把雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里的嗎？生：沒(méi)有.（笑）師：即便是雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，直接數(shù)一下各自的頭不就行了嘛，誰(shuí)還會(huì)趴下去數(shù)腳呢？（生皆笑著搖頭）那為什么從古到今，人們一直在研究這個(gè)問(wèn)題呢？換句話說(shuō)，“雞兔同籠問(wèn)題”到底有什么魅力呢？（學(xué)生皆若有所思）師：不僅我們中國(guó)人研究“雞兔同籠”問(wèn)題，日本人也研究這個(gè)問(wèn)題，在日本叫“龜鶴同游問(wèn)題”.PPT出示：龜鶴同游，數(shù)頭40，數(shù)腳112.龜鶴各幾只？問(wèn)：“龜鶴同游”與“雞兔同籠”有關(guān)系嗎？生：有關(guān)系.龜相當(dāng)于4只腳的兔子，鶴相當(dāng)于2只腳的雞.師：也就是說(shuō)“雞兔同籠問(wèn)題”不一定只指雞和兔.那你們能不能給它重新取個(gè)名字？生：可以叫“鴨兔同籠問(wèn)題”.生：可以叫“鵝羊同籠問(wèn)題”.師：可以改成“兔狗同籠問(wèn)題”問(wèn)題嗎？生：不可以，因?yàn)椋霉范际?條腿.生：“雞兔同籠問(wèn)題”不一定是指雞和兔，而是指這一類問(wèn)題.師：哪一類問(wèn)題呢？生：指分別有2條腿和4條腿的動(dòng)物，知道共有幾只頭和幾條腳，求兩種動(dòng)物各幾只.師：你們能解一下日本的“雞兔同籠問(wèn)題”嗎？一部分學(xué)生的列式為：（112-40×2）÷（4-2）=16（只）……（兔），40-16=24（只）……（雞）；但多數(shù)學(xué)生用的是古人提出的方法：112÷2-40=16（只）……（兔），40-16=24（只）……（雞）.【設(shè)計(jì)意圖：教者適時(shí)引入日本的“龜鶴同游”問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生給“雞兔同籠問(wèn)題”重新取名字，進(jìn)而追問(wèn)，可否改成“兔狗同籠問(wèn)題”，從而讓學(xué)生逐步觸及“雞兔同籠問(wèn)題”的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).】三、三放三收：建構(gòu)一般性方法模型1.重心上移：學(xué)生在哪里師：現(xiàn)在，我們可以來(lái)解決前面“儲(chǔ)蓄罐”里的硬幣問(wèn)題了——儲(chǔ)蓄罐中有2分和5分的兩種硬幣共8枚，一共3角4分.兩種硬幣各幾枚？部分學(xué)生用的是假設(shè)法，多數(shù)學(xué)生都直接套用古人的模式：34÷2-8=9；但馬上發(fā)現(xiàn)：5分硬幣竟然比兩種硬幣的總數(shù)8枚還要多，這顯然是不可能的.師：古人的方法怎么就不靈了呢？生：因?yàn)槊恐煌门c雞腿數(shù)是兩倍關(guān)系，而5分與2分卻不是兩倍關(guān)系.師：看來(lái)，古人的解法有一定的局限性，不能簡(jiǎn)單地套用，還是“假設(shè)法”更加管用.教師呈現(xiàn)學(xué)生所使用的假設(shè)法：假設(shè)全是2分硬幣.（34-8×2）÷（5-2）=6（枚）……5分8-6=2（枚）……2分【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生雖然基本掌握了假設(shè)法，但他們似乎更青睞古人的解法.通過(guò)“儲(chǔ)蓄罐里硬幣”問(wèn)題的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生突破古人解法的局限性，體會(huì)到“假設(shè)法”才具有更大的普遍適用性，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)得以進(jìn)一步提升和完善.】2.重心上移：建構(gòu)一般性的“數(shù)學(xué)模型”師：現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)討論一下，“雞兔同籠問(wèn)題”有什么獨(dú)特的魅力？生：它代表的是一類數(shù)學(xué)問(wèn)題.生：這類問(wèn)題都是有兩個(gè)未知量.師：從解題方法上來(lái)看，有什么相同點(diǎn)？生：它們都用了假設(shè)法.師：為什么都用了假設(shè)法呢？或者說(shuō)，用假設(shè)法好在哪里？生：原來(lái)雞和兔的只數(shù)都不知道，沒(méi)法求，而假設(shè)全是某一種動(dòng)物以后，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了.師：（作若有所思狀）噢，通過(guò)假設(shè)，兩個(gè)未知量轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量了，化難為易，不錯(cuò)不錯(cuò)！板書：兩個(gè)未知量一個(gè)未知量【設(shè)計(jì)意圖：圍繞“‘雞兔同籠問(wèn)題’到底有什么魅力”屢屢發(fā)問(wèn)，又屢屢只問(wèn)不答，可謂是“一詠三嘆”.不經(jīng)意的點(diǎn)撥，適時(shí)的追問(wèn)，讓學(xué)生一次次跳出那只有形的“籠子”，超越各種具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思想方法與策略——轉(zhuǎn)化，從而建構(gòu)起解決這類問(wèn)題的更具有一般性的“數(shù)學(xué)模型”！因?yàn)?，?shù)學(xué)是一門關(guān)于“模式”的科學(xué)，探究的是解決某類問(wèn)題的“通則通法”.】【綜述】在當(dāng)今這個(gè)資訊高度發(fā)達(dá)的時(shí)代，以往有些所謂的“知識(shí)”正在逐步演變?yōu)椤靶畔ⅰ?，甚至是“常識(shí)”；因此，老師們覺(jué)得現(xiàn)在越來(lái)越難以“搭準(zhǔn)學(xué)生的脈”.這直接導(dǎo)致了當(dāng)下課堂教學(xué)中的“夾生飯”現(xiàn)象，使得課堂上單向度的“師授生受”關(guān)系越來(lái)越難以為繼，也讓習(xí)慣于圍繞教案上課，習(xí)慣于課程實(shí)施“線性思維”的老師們，感到自己在課堂上的主導(dǎo)地位和話語(yǔ)權(quán)受到挑戰(zhàn).這不僅考驗(yàn)著老師們的實(shí)踐智慧，甚至拷問(wèn)著我們?cè)?jīng)得心應(yīng)手的某些教學(xué)模式.首先，課堂教學(xué)中的“夾生飯”現(xiàn)象是社會(huì)進(jìn)步特別是科技發(fā)展的必然產(chǎn)物，這也是新課程所倡導(dǎo)的“學(xué)生活中的數(shù)學(xué)”的題中之意，這種活生生的“大數(shù)學(xué)課程”，需要我們具有相應(yīng)的“大數(shù)學(xué)教學(xué)觀”.這就要求我們與時(shí)俱進(jìn)，不斷更新自己的“課程觀，教學(xué)觀”，雖然有時(shí)候是一種“被更新”.其次，我們要調(diào)適某些程式化的課堂教學(xué)模式.孩子們都是帶著他們已有的、參差不齊的、甚至是片面的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活閱歷來(lái)學(xué)習(xí)的.對(duì)此，無(wú)法回避，更不應(yīng)“提防”.尊重和正視學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生已經(jīng)有所了解的東西，不應(yīng)該“裝聾作啞”或“視而不見(jiàn)”，而是要悉心揣摩并“用活用足”這些資源.在課堂教學(xué)具體進(jìn)程的不同階段，學(xué)生的理解也動(dòng)態(tài)地處于不同層次，因此，我們要適時(shí)提醒并追問(wèn)自己：學(xué)生在哪里？在本案例中，教師通過(guò)“三放三收”，即“重心下移”、“關(guān)口前移”和“重心上移”，牢牢搭準(zhǔn)學(xué)生的“脈”，在不斷的“放”與“收”的調(diào)適中讓課堂教學(xué)的重心始終貼近學(xué)生的實(shí)際.再則，在教學(xué)決策上，要從“給予型”走向“生成型”教學(xué)，本不是一種單向度的“告訴”或“給予”.因此，在課堂上要少一些“套路”，多一些“散打”；師法自然，順勢(shì)而為，使知識(shí)的生成過(guò)程“生命化”.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，雖然是“夾生飯”，同樣能燒得有滋有味兒.^三年級(jí)奧數(shù)5-0雞兔同籠問(wèn)題例題及答案一、雞兔同籠這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一．大約在年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題．書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭；從下面數(shù)，有只腳．求籠中各有幾只雞和兔？你會(huì)解答這個(gè)問(wèn)題嗎？你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個(gè)問(wèn)題的嗎？二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多．因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）．顯然，雞的只數(shù)就是（只）了．這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已．除此之外，“雞兔同籠”問(wèn)題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”．假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到．解雞兔同籠問(wèn)題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法板塊一、兩個(gè)對(duì)象的“雞兔同籠”雞兔同籠，頭共，足共，雞兔各幾只？假設(shè)只都是兔，一共應(yīng)有只腳，這和已知的只腳相比多了只腳，這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子，如果把只雞當(dāng)成只兔，就要比實(shí)際多（只）腳，那么只腳是我們把只雞當(dāng)成了兔子，所以雞的只數(shù)就是，兔的只數(shù)是（只）．當(dāng)然，這里我們也可以假設(shè)只全是雞！鼓勵(lì)學(xué)生從兩個(gè)方面假設(shè)解題，更深一步理解假設(shè)法．點(diǎn)點(diǎn)家養(yǎng)了一些雞和兔子，同時(shí)養(yǎng)在一個(gè)籠子里，點(diǎn)點(diǎn)數(shù)了數(shù)，它們共有個(gè)頭，只腳．問(wèn)：點(diǎn)點(diǎn)家養(yǎng)的雞和兔各有多少只？方法一：我們假設(shè)，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都是兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著．現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)的腳是總數(shù)的一半，也就是(只)．在這個(gè)數(shù)中，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次，因此從減去總頭數(shù)，剩下的就是兔子頭數(shù)，(只)，所以有只兔子，有(只)雞．方法二：假設(shè)只都是兔子，那么就有(只)腳，比只腳多了(只)．每只雞比兔子少(只)腳，那么共有雞(只)方法三：還可以假設(shè)只都是雞，那么共有腳(只)，比只腳少了(只)腳，每只雞比兔子少(只)腳，那么共有兔子(只)． 方法一可以歸結(jié)為：總腳數(shù)總頭數(shù)兔子數(shù)．能夠這樣算，主要是利用了兔和雞的腳數(shù)分別為和，而且是的倍．方法二說(shuō)明假設(shè)的只兔子中有只不是兔子，而是雞．由此可以列出公式：雞數(shù)(兔腳數(shù)總頭數(shù)總腳數(shù))(兔腳數(shù)雞腳數(shù))方法三說(shuō)明假設(shè)的只雞中有只是兔．由此可以列出公式：兔數(shù)(總腳數(shù)雞腳數(shù)總頭數(shù))(兔腳數(shù)雞腳數(shù))雞兔共有只，關(guān)在同一個(gè)籠子中．每只雞有兩條腿，每只兔子有四條腿，籠中共有條腿．試計(jì)算，籠中有雞多少只？兔子多少只？⑴假設(shè)法：若假設(shè)所有的只動(dòng)物都是兔子，那么一共應(yīng)該有(條)腿，比實(shí)際多算(條)腿．而每將一只雞算做一只兔子會(huì)多算兩條腿，所以有(只)雞被當(dāng)作了兔子，所以共有只雞，有(只)兔子．注意：假設(shè)為兔子時(shí)，按照“多算的腿數(shù)”計(jì)算出的是雞的數(shù)目；假設(shè)為雞時(shí)，按照“少算的腿數(shù)”計(jì)算出的是兔子的數(shù)目．同學(xué)們可以自己來(lái)做一下當(dāng)假設(shè)為雞時(shí)的算法．⑵“金雞獨(dú)立”法（砍足法）：假設(shè)所