四年級奧數(shù)-高斯求和

四年級奧數(shù)-高斯求和四年級奧數(shù)-高斯求和/NUMPAGES7四年級奧數(shù)-高斯求和四年級奧數(shù)-高斯求和第3講高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋…＋31＝？在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例33＋7＋11＋…＋99＝？分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。例5在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。

練習(xí)31.計算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的