數(shù)值計算課后習(xí)題四答案

習(xí)題四解答

1、設(shè)，寫出的一次插值多項式，并估計插值誤差。

解：根據(jù)已知條件，有

x01

y1

設(shè)插值函數(shù)為，由插值條件，建立線性方程組為

解之得

則

因為

所以，插值余項為

所以

0

2、給定函數(shù)表

-0.10.30.71.1

0.9950.9950.7650.454

選用合適的三次插值多項式來近似計算f(0.2)和f(0.8)o

解：設(shè)三次插值多項式為，由插值條件，建立方程組為

即

解之得

則所求的三次多項式為。

所以

3、設(shè)是n+1個互異節(jié)點，證明:

(1);

(2)。

證明:(1)由拉格朗日插值定理，以x0,x1,x2,…xn為插值節(jié)點，對y=f(x)=xk作n

次插值，插值多項式為

而yi=xik,

所以

同時，插值余項

所以

結(jié)論得證。

(2)取函數(shù)

對此函數(shù)取節(jié)點，則對應(yīng)的插值多項式為

由余項公式，得

所以

令t=x,

4、給定數(shù)據(jù)()

x2.02.12.22.4

f(x)1.4142141.4491381.483201.54919

(1)試用線性插值計算f(2.3)的近似值，并估計誤差；

(2)試用二次Newton插值多項式計算f(2.15)的近似值，并估計誤差。

解：用線性插值計算f(2.3),取插值節(jié)點為2.2和2.4,則相應(yīng)的線性插值多項式是

用x=2.3代入，得

(2)作差商表如下

Xf(x)一階差商二階差商三階差商

2.01.414214

0.3501

2.11.449138-0.047

0.34074.1075

2.21.483201.596

0.6599

2.41.54919

根據(jù)定理2,

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+

+f[x0,x1,…，xn](x-x0)(x-x1)--(x-xn—1)

+f[x0.x1,…，xn,x]兀(x)o

以表中的上方一斜行中的數(shù)為系數(shù)，得

f(2.15)=1.41421+0.3501X(2.15-2.0)-0.047X(2.15-2.0)X(2.15-2.1)

=1.663725

指出：

誤差未討論。

5、給定函數(shù)表

x01245

y01646880

試求各階差商，并寫出牛頓插值多項式和插值余項。

解：作差商表如下

xf(x)一階差商二階差商三階差商四階差商

00

16

1167

30

246-3

21

488

-88

50

根據(jù)定理2,以表中的上方一斜行中的數(shù)為系數(shù)，得

指出：

余項未討論。

5*、給定函數(shù)表

x01234

y01646880

試求各階差分，并求等距節(jié)點插值。

解：由已知條件，顯然，xO=0,h=1,x=t(>

作差分如下

Xf(x)一階差分二階差分三階差分四階差分

00

16

11614

30-2

24612-140

42-142

488-130

-88

50

根據(jù)等距節(jié)點插值公式,

指出：

在本題這種情況卜，實際上，也就是說，在這樣的條件下,t的多項式就是x的多項式，可

以直接轉(zhuǎn)換。

一般情況下，把t的關(guān)系轉(zhuǎn)換為X的關(guān)系需要根據(jù)x=xO+th,將t用x表示，即將代

入得到的多項式。

6、給定數(shù)據(jù)表

x0.1250.2500.3750.5000.6250.750

f(x)0.796180.773340.743710.704130.65632

0.60228

試用三次牛頓差分插值公式計算f(0.1581)及f(0.636)。

解：所給節(jié)點是等距結(jié)點：

O

計算差分得

Xf(x)一階差分二階差分三階差分四階差分五階差分

0.1250.79618

-0.02284

0.2500.77334-0.00679

-0.02963-0.00316

0.3750.74371-0.009950.00488

-0.039580.00172-0.00460

0.5000.70413-0.008230.00028

-0.047810.00200

0.6250.65632-0.00623

-0.05404

0.7500.60228

令，根據(jù)等距結(jié)點插值公式，得

則

O

7、設(shè)f(x)在［-4,4］有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且

(1)試構(gòu)造一個次數(shù)最低的插值多項式p(x),使其滿足

(2)給出并證明余項f(x)-p(x)的表達式。

解:

(1)由7*可以求出滿足

的三次埃爾米特插值多項式

O

設(shè)，則P(x)滿足

由得

所以

O

(2)余項具有如卜結(jié)構(gòu)

作輔助函數(shù)

則顯然在點處有6個零點(其中0,3是二重零點)，即

不妨假設(shè)。

由羅爾定理，存在，

使得，

再注意到，即有5個互異的零點

再次由羅爾定理得，存在，

使得

第三次應(yīng)用羅爾定理得，存在

使得，

第四次應(yīng)用羅爾定理得，存在

使得，

第五次應(yīng)用羅爾定理得，存在

使得

注意到

（中p⑴是4次函數(shù)，其5次導(dǎo)數(shù)為0）。

所以

代入余項表達式，有

指出：

本題是非標準插值問題，比較簡單的求解方法有：

①求插值問題的基本方法是待定系數(shù)法。以本題來說，有5個條件，可以確定一個4

次的插值多項式，設(shè)為，將條件代入，建立一個5元的線性方程組，求出各參數(shù)，就

可以求出插值多項式。

②求插值問題的第二種方法是基函數(shù)法，即根據(jù)給定條件設(shè)定插值多項式的結(jié)構(gòu)和各

基函數(shù)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)條件確定基函數(shù)即可。具體方法與拉格朗日插值基函數(shù)構(gòu)造和埃

爾米特插值基函數(shù)構(gòu)造相似。

③以標準插值為基礎(chǔ)的方法是一種更簡單的方法，本題中，首先利用4個條件構(gòu)造一

個埃爾米特插值，在此基礎(chǔ)上設(shè)定所求插值多項式的一般形式，保證其滿足埃爾米特

插值條件，代入未利用條件解方程（組），求出其中的未知參數(shù)，即可求出插值多項

式。

本題也可以先利用構(gòu)造一個2次插值多項式，以此為基礎(chǔ)構(gòu)造4次插值多項式，的

結(jié)構(gòu)是

滿足

再根據(jù)列出兩個線性方程組成的方程組，求出a、b兩個參數(shù)，即可求出所求的插值

多項式。

求插值函數(shù)余項的常用方法是：

應(yīng)具有如下形式（以本題為例）

作輔助函數(shù)

則在點處有6個零點（其中0,3是二重零點）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，直到至少有一

個，使得。此時即有

代入余項表達式即可求出。

7*、設(shè)f(X)在卜4,4］有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且

試用兩種方法構(gòu)造三次埃爾米特插值多項式H(x),使其滿足

0

解一(待定系數(shù)法)：

解：設(shè)，則

由插值條件得

解之得，

所以。

解二(基函數(shù)法)：

解：設(shè)，

因為線性拉格朗日插值基函數(shù)為，，

由④得

同理

由⑤得

則

O

8、設(shè)，試作一個二次多項式p(x),使其滿足

,并導(dǎo)出余項估計式。

解：設(shè)此二次式為，

因為，

所以，由已知條件

將其代入，得

所以，要求的二次多項式為

O

因為0是2重零點，1是1重零點，因此可以設(shè)余項具有如下形式:

其中K(x)為待定函數(shù)。

固定x,作輔助函數(shù)

顯然

不妨假設(shè)。

由羅爾定理，存在，

使得，

再注意到

再次由羅爾定理得，存在，

使得

再次應(yīng)用羅爾定理，存在

使得

O

注意到

(中p⑴是2次函數(shù)，其3次導(dǎo)數(shù)為0)。

所以

代入余項表達式，有

指出:

石瑞民《數(shù)值計算》關(guān)于余項討論很清楚。

9、給出sinx在［0,叫上的等距結(jié)點函數(shù)表，用線性插值計算sinx的近似值，使其截斷

誤差為，問該函數(shù)表的步長h取多少才能滿足要求？

解：設(shè)為等距結(jié)點，步長為h,則

當(dāng)時，作f(x)的線性插值

則有

>

由此易知

因此

由，得。

指出：關(guān)于最大值的計算與12題相同。

10、求在區(qū)間［a,b］上的分段埃爾米特插值，并估計誤差。

解：由分段三次埃爾米特插值多項式

則的分段埃爾米特插值為

其中

其余項估計式為

O

11、已知數(shù)據(jù)表

i012

2.57.510

4.07.05.0

0.13-0.13

求三次樣條插值函數(shù)。

解：這是第一類邊界條件，要求解方程組

其中

將以上數(shù)據(jù)代入方程組

解之得

將獲得的數(shù)據(jù)代入到

中，得

12、設(shè)(具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù))，且f(a)=f(b)=0,證明:

證明：以a、b為節(jié)點進行插值，得

因為在處取得最大值，故

13.給定數(shù)據(jù)表

x-2-1012

y-0.10.10.40.91.6

用兩種方法求其二次擬合曲線。

解一：

設(shè)所求的擬合函數(shù)為，

則。

對a、b、c分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得

將各數(shù)據(jù)點的數(shù)值代入，得方程組為

解之得a=0.4086,b=0o42,c=0.0857,

所以數(shù)據(jù)點所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為

解二：設(shè)所求的擬合函數(shù)為，

將數(shù)據(jù)代入方程得

方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為

因為

所以

解之得a=0.4086,b=0o42,c=0.0857,

所以數(shù)據(jù)點所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為

14、已知試驗數(shù)據(jù)

x1925313844

y19.032.349.073.397.8

用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式，并計算均方誤差。

解：設(shè)

則

對a、b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得

將數(shù)據(jù)代入得

化簡得

第二個方程減去第一個方程乘以1065進?步化簡得

解之得

則x與y的函數(shù)關(guān)系是

y=1.01+0.05x2,

此時，平方逼近誤差為

所以，均方誤差為。

指出：

均方誤差實際上就是按最小二乘法則確定的殘差。

15、觀測物體的直線運動，得出如下數(shù)據(jù)：

時間t(s)00.91.93.03.95.0

距離s(m)010305080110

求運動方程。

解：設(shè)運動方程為s=a+bt則

將上述數(shù)據(jù)代入方程組

得方程組

解之得

所以，。

指出：

利用統(tǒng)計型計算器，有關(guān)中間數(shù)據(jù)可以簡單求出。

16、在某化學(xué)反應(yīng)中，由實驗得分解物濃度與時間關(guān)系如下:

時間t05101520253035

濃度

01.272.162.863.443.874.154.37

時間t40455055

濃度

4.514.584.624.64

用最小二乘法求y=f(t)o

解：描草圖，觀察草圖可以發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)分布近似于指數(shù)函數(shù)曲線，而且隨著t的

增大，y的增速放緩，故設(shè)

兩邊取對數(shù)，得

令，

則擬合函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性擬合關(guān)系。

將上述數(shù)據(jù)代入

得

解之得

所