卓越聯(lián)盟歷年自主招生真題及模擬題

卓越聯(lián)盟歷年自主招生真題及模擬題

大學(xué)自主招生

華南理工大學(xué)2009年保送生、自主招生選拔試題

《理科數(shù)學(xué)》試題A

選擇題

1）已知復(fù)數(shù)z0x0i,且x0i的幅角主值是2

2

五

，則滿足Z2z0Z的幅角主值的取值范圍是（）

A、

12,75935B、C、D>,,,

1212121212631

2）b0是函數(shù)fxbxc在［0,）單調(diào)的（）

B、必要而不充分條件

2A、充分而不必要條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

223）已知a,bR,a2b6,則ab的最小值為（

）

A、

56

B、

2n3C、3D>724）在1xx1x2n1xn1xn的展開式

中，x的系數(shù)為（）n

A、2n1!2n2!2n+l!2n+2!B、C、D、

n!n1!n!n1!n!n!n!n!

225）已知圓0:xy

2r,點(diǎn)Pa,b,ab0是圓0內(nèi)一點(diǎn)。過點(diǎn)P的圓0的最短的弦在直線11上，直線

12的方程為2bxayr,那么（）

A、11//12,且12與圓0相交B、1112,且12與圓0相切

C、11//12,且12與圓0相離D、1112,且12與圓0相離

6）已知0

2,函數(shù)fxxcosxcosx1的值域?yàn)椋ǎ?

A、3,1B、3,2

C、1,3D、2,3

87）在三角形ABC中，向量aABAC,b3AB

()ACBC,c4CB,B則A下列結(jié)論一定成

立的是

A、向量ac一定與向量b平行B、向量bc一定與向量a平行相約鷺園，相約南昌

C、向量ab一定與向量c平行D、向量ab一定與向量c平行

2

8）已知c是橢圓x2

a2yb21ab0的半焦距，則2bc2a的取值范圍是（）

A1,1C

、（1

B、（,1],D

、（1

2222,2

二.填空題

9）已知A,B,C,D

是某球面上不共面的四點(diǎn)，且ABBCAD,BDAC2,BCAD,則此球的表面積等

于。

10）已知雙曲線x2y2

a2b21a0,b0右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線1與兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)。若

PQF是直角

三角形，則雙曲線的離心率e

O

11）已知函數(shù)fX是定義在0,上的增函數(shù)，且滿足f31,

fxyfxfy,x0,y0,則不等式fxfx33的解集為。

x1

12）已知xy0,則x2y的最大值為。

x2y22x6y60

13）甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲平均能贏二盤，某日，甲、乙進(jìn)行五打三勝制比

賽，那么甲勝出的概率為。

三.設(shè)三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A2,1,B1,2,C3,1D,E分別

為AB,BC上的點(diǎn)，M是DE上一點(diǎn)，且BEADM

BCABD

DE

1）求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍；

2）求點(diǎn)M的軌跡方程。

四.已知函數(shù)fx是定義在［4,）的單調(diào)增函數(shù)，要使得對于一切

的實(shí)數(shù)x不等式fcosxb2fsin2xb3恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

P

五.如圖，在正三棱錐PABC中，側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E為BC的中點(diǎn)，EFPA

于F。

1）求證：EF為異面直線PA與BC的公垂線；

3）求點(diǎn)B到面APC的距離。F六.已知a2a10,b2b10,ab,設(shè)

all,a2b,CAEB2

大學(xué)自主招生

2）求異面直線PA與BC的距離；

an1anan10

n2,bn

an1aan

1）證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；2）求數(shù)列an的通項(xiàng)；

3）設(shè)clc21,cn2cn1cn,證明：當(dāng)n3時(shí)有1

n

cn2acnbbn1。

3

2011卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)

（1）向量a,b均為非零向量，（a-2b）±a,（b-2a）±b,則a,b的夾角為（A）

6

(B)

3

(0

23

(D)

56

(2)已知sin2(+)=nsin2,則

tan(

)tan()

等于n

nIn1

(A)

n1n1

(B)

nn1

(O

n1

(D)

(3)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱A1B1上的點(diǎn)，且A1F：

FB1=1：3,則異面直線EF與BC1所成角的正弦值為

>/iT

(A3

在

(B)

5

正

(C)

3

正

(D5

(4)i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則

z2z2z1i

(C)

2

的最大值為

+1(D(5)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，4ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且

△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC邊所在直線的方程為4x+y-20=0,則拋物線方程為

(A)y2=16x

(D)y2=-8x

(6)在三棱錐ABC—A1B1C1中，底面邊長與側(cè)棱長均等于2,且E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)

C1到平面ABIE的距離為

G

(B)y2=8x

(C)y2=T6x

(A

五

(B

V

(O

2

6

(D)

2

(7)若關(guān)于x的方程

|x|x4

=kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為()相約鷺園，相約南昌

(A)(0,1)(B)(l,1)(C)(1,+8)(D)(l)+8)

44

(8)如圖，^ABC內(nèi)接于00,過BC中點(diǎn)D作平行于AC的直線1,1交AB于E,交。。于

G、F,交。

0在A點(diǎn)的切線于P,若PE=3,ED=2,EF=3,則PA的長為

(A

(B

(C

(D

)2(9)數(shù)列｛an｝共有11項(xiàng)，al=O,al1=4,且|ak+l-ak」=l,k=l,2,…，10.滿足這

種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為()

(A)100(B)120(C)140(D)160

(10)設(shè)是坐標(biāo)平面按順時(shí)針方向繞原點(diǎn)做角度為2的旋轉(zhuǎn)，表示坐標(biāo)平面關(guān)于y

軸的鏡面反射.用表示變換的復(fù)合，先做，

7

再做，用k表示連續(xù)k次的變換，則234是()

(A)4(B)5(C)2(D)2

(11)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足al=a,a2=b,2an+2=an+l+an.

(I)設(shè)bn=an+l-an,證明：若aWb,則｛bn｝是等比數(shù)列；

(II)若lim(al+a2+…+an)=4,求a,b的值.

n

(12)在AABC中，AB=2AC,AD是A的角平分線,且AD=kAC.

(I)求k的取值范圍：

(II)若SaABC=1,問k為何值時(shí)，BC最短？

(13)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl(-1,0),F2(L0),且橢圓與直線y=x

(I)求橢圓的方程；

(II)過F1作兩條互相垂直的直線11,12,與橢圓分別交于P,Q及M,N,求四邊形

PMQN面積的最大值與最小值.

(14)一袋中有a個(gè)白球和b個(gè)黑球.從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中;

如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中.在重復(fù)n次這樣的操作后,

記袋中白球的個(gè)數(shù)為Xn.

(I)求EX1；

(H)設(shè)P(Xn=a+k)=pk,求P(Xn+l=a+k),k=0,1,…，b；

(IU)證明:EXI

n+l=(l-)abEXn+1.

(15)(I)設(shè)f(x)=xlnx,求f'(x)；

(H)設(shè)0<a〈b,求常數(shù)C,使得lb

baa|InxC|dx取得最小值；

(III)記(II)中的最小值為ma,b,證明：ma,b<ln2.

4

大學(xué)自主招生

2012卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)

(8)(本小題滿分10分)

如圖，48是。。的直徑，弦CD垂直48于點(diǎn)石是CQ延長線上一點(diǎn)，/

3ED=4OM,石尸OO的切線，尸是切點(diǎn)，5下與CD相交于點(diǎn)G,

(I)求線段EG的長；

(H)連線。尸，判斷。產(chǎn)是否平行于N2,并證明你的結(jié)論。(注：根據(jù)解題目

畫在大題卡上。)

相約鷺園，相約南昌

6

(9)(本小題滿分10分)

如圖，在四棱錐尸-中，底面488是直角梯形，ADIIBC,ABLBC,

ABCD,PA—AD=AB=1,BC=2□

(I)證明平面尸BC_L平面尸DC；

(II)若2?=120。，求二面角3-尸。-。的正切值。(注：根據(jù)解題需要，

答題卡上)

(10)(本小題滿分10分)

設(shè)拋物線丁=2內(nèi)3>0)的焦點(diǎn)是尸，A,5是拋物線上互異的兩點(diǎn)，直線4

段48的垂直平分線交x軸于點(diǎn)0(4.0),記〃/=|4F|+|377|。

(I)證明a是o與的等差中項(xiàng)

(II)設(shè)〃/=3P,直線/平行y軸，且/被以4D為直徑的動(dòng)圓截得的弦長恒為定

(11)(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(，)=竺士，其中。是非零實(shí)數(shù)，b>0o

bx

(I)求/(t)的單調(diào)區(qū)間

(II)若a>0,設(shè)I$|>，7=12,3,且演+?2>0，％+，3>°，“3+：

小)+/?)+〃&)>手:

(HD若/(")有極小值糯，且?guī)?"1)=2,證明1/31”—1/(父論2”—2

(12)(本小題滿分15分)

設(shè)數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為5“，《工。，TS”+I-〃5”=%r,其中〃，i'是正整數(shù)，

(I)證明｛4｝為等比數(shù)列；

(H)設(shè)可，，兩項(xiàng)均為正整數(shù)，其中0之3。

(i)若pNq,證明V整除〃；

plp

(ii)若存在正整數(shù)〃/，使得q>7/尸1,ap<(m+l),證明=(7〃+l)-nt

大學(xué)自主招生

2013大學(xué)自主招生模擬試題一

一.選擇題

1.把圓x2+(y—1)2=1與橢圓9x2+(y+D2=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來所得到的圖形

為()

(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

12.等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)al=1536,公比q=一用nn表示它的前n項(xiàng)之積。則

nn(nWN*)最大的是()2

(A)Jt9(B)Jt11(C)n12⑻頁13

3.存在整數(shù)n,使+n+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p()

(A)不存在(B)只有一個(gè)

(0多于一個(gè)，但為有限個(gè)(D)有無窮多個(gè)

14.設(shè)xw(―0),以下三個(gè)數(shù)al=cos(sinxm),a2=sin(cosxJi),a3=cos(x+1)k的

大小關(guān)系是()2

(A)a3<a2<a1(B)al<a3<a2(C)a3<aKa2(D)a2<a3<a1

15.如果在區(qū)間［1,2］上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+2f(x)在該區(qū)間上的最大值是()

x

(A)4+3311353(B)4-22

313(D)以上答案都不對27(C)1-

6.高為8的圓臺內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球01,球心01在圓臺的軸上，球01與圓臺的

上底面、側(cè)面都相切，圓臺內(nèi)可再放入?個(gè)半徑為3的球02,使得球02與球01、圓臺的

下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球02,圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

二.填空題

11.集合｛x|—lWlogllO<—xGN*｝的真子集的個(gè)數(shù)是.2x

_n2.復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)zl,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，zl?z2的實(shí)部為

零，zl,則z2=.6

3.曲線C的極坐標(biāo)方程是P=l+cos6,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是⑵0),曲線C在它所在的平

面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是.

4.已知招給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等

的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是.

5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每面恰

染一種顏色，每兩個(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有—

種.(注：如果我們對兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體

相約鷺園，相約南昌

的上、下、左、右、前、后六個(gè)對應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個(gè)正方體的

染色方案相同.)

6.在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為

整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為.

2013大學(xué)自主招生模擬試題二

選擇題

1.設(shè)等差數(shù)列｛an｝滿足3a8=5al3且al>0,Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()

(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21

2.設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z199519951995

1,Z2,…,Z20,則復(fù)數(shù)Zl,Z2，…,Z20所對應(yīng)的不

同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子

中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最

多可能有()

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(050個(gè)(D)100個(gè)

4.已知方程|x-2n|=kx(nCN*)在區(qū)間(2n-l,2n+l］上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k

的取值范圍是()

(A)k>0(B)O<kl

n+1

(01

2n+lkl

n+1(D)以上都不是

5.logsinlcosl,logsinltanl,logcoslsinl,logcosltanl的大小關(guān)系是

(A)logsinlcosKlogcoslsinKlogsinltanKlogcosltanl

(B)logcoslsinKlogcosltanKlogsinlcosKlogsinltanl

(C)logsinltanKlogcosltanKlogcoslsinKlogsinlcosl

(D)logcosltanKlogsinltanKlogsinlcosKlogcoslsinl

6.設(shè)。是正三棱錐P—ABC底面三角形ABC的中心，過0的動(dòng)平面與PC交于S,與

PA,PB的延長線分別交于交R,則和式1PQ+1

PR+1

PS(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)與面QPS無關(guān)的常數(shù)

二.填空題

1.設(shè)a,6為一對共舸復(fù)數(shù)，若|a—B|=23,且a

B2為實(shí)數(shù)，則|a|=.

2.一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為

3.用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x—[Igx]—2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是

yW3x,

4.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組yx的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是

3

x+yW100

5.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5

種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是.

6.設(shè)M={1,2,3,…，1995},A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xGA時(shí)，15xA,則A

中元素的個(gè)數(shù)最多是.8大學(xué)自主招生

三.解答題

1.給定曲線族2(2sin0—cos。+3)x2—(8sin。+cos0+1)y=0,0為參數(shù),求該曲線在

直線y=2x上所截得的弦長的最大值.

2,求一?切實(shí)數(shù)p,使得三次方程5x3—5(p+l)x2+(71p—Dx+l=66p的三個(gè)根均為正整

數(shù).3.如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓0與各邊分別切于E,F,G,H,在弧EF與GH上分別作

圓0的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求證：MQ〃NP.

4.將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色。證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它

們的相似比為1995,并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色.

C

B

2013大學(xué)自主招生模擬試題三

選擇題

1.對于每個(gè)自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2(2n+l)x+1與x軸交于An,Bn兩點(diǎn)，以

AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|++|A1992B19921的值是()(A)

1991199219911993

(B)(C)(D)1992199319931992

2.已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

(A)(x+—y)(y+—x)=0(B)(x—y)(y—x)=0(C)(x+—y2)(y—x2)=0(D)(x—

y2)(y+—x2)=0

4

3.設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為SI,S2,S3,S4,它們的最大值為S,記入=(

i=l

2

2

2

2

Si)/S,則X一定滿足()

(A)2〈AW4(B)3<X<4(C)2.5<、W4.5(D)3.5<X<5.5

CsinB

4.在aABC中，角A,B,C的對邊分別記為a,b,c(b1)都是方程logx=logb(4x-4)

的根，

AsinA貝QABC()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等

腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5.設(shè)復(fù)數(shù)zl,z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,月」zl|=4,4zl2zlz2+z2=0,0

為坐標(biāo)原點(diǎn),則aOAB的面積為()(A)8B)4C)6D)126.設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函

數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10x),f(20x)=f(20+x),則f(x)是(A)偶函數(shù),

又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不

是周期函數(shù)二.填空題

1llxz

1.設(shè)X,y,z是實(shí)數(shù)，3x,4y,5z成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是.

2

2

xyzzx

2.在區(qū)間［0,］中，三角方程cos7x二cos5x的解的個(gè)數(shù)是.

3.從正方體的棱和各個(gè)面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線

都是異面直線，則k的最大值是..4.設(shè)zl,z2都是復(fù)數(shù)，且|zl|二3,

Iz2|=5|zl+z2|=7,則arg()的值是.

5.設(shè)數(shù)列al,a2,,an,滿足al=a2=l,a3=2,且對任何自然數(shù)n,都有

anan+lan+21,又anan+lan+2an+3=an+an+l+an+2+an+3,則al+a2++al00的值是

z2

zl3

相約鷺園，相約南昌

6.函數(shù)f(x)=4-3x2-6x+13-4-x2+l的最大值是___.

4三.求證：16〈1<17.2i=l四.)設(shè)1,m是兩條異面直線，在1上有A,B,C三點(diǎn)，

且AB=BC,過A,B,C分別作m的垂線AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD二，

BE二7

210,求1與m的距離.

xn+1-x—n—1

五.設(shè)n是自然數(shù)，fl

n(x)=x—x—lx0,±1),令y=x+x

1.求證：fn+1(x)=yfn(x)fnT(x),(n>l)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

n

yn-Cln-2iin—2in

n—ly+…+(—l)Cn—iy+…+(—1)2,(i=l,2,…，2,n為偶數(shù))

fn(x)=n-In-1

yn-Cl-2+…+(-1)iCin—1

n—lynn—1+,,,+(-l)2Cn2+ly,(i=l,2,…,2n為奇數(shù))

2

模擬題答案

模擬一

1.解：9—9(y—1)2=9—(y+l)2,8y2—20y+8=0,y=2或1

2,相應(yīng)的，x=0,或x=±.

此三點(diǎn)連成一個(gè)正三角形.選C.

n(n-1)

2.解：“二1536nx(—ln22,故冗11<0,冗9,n12,n13>0.作商比較：

又，冗12

n=15363(166-36>1,n13=1536(1)78-66<1.故選C.

92n122

3.解：如果p為奇質(zhì)數(shù),p=2k+l,則存在n=k2(k￡N+),使+n+2k+L故選D.

4.解：a1=cos(sin|x|n)>0,a2=sin(cos|x|n)>0,a3=cos(l—|x|)n<0,排除

B、D.

sin|x|兀+cos|x|n二x|n+n

4n2cos|xn<n

2—sin|x|n,

sin(cos|x|n)<cos(sin,x|n),故選A.

又解：取X=-1

4cl23nJI

l=cos2,a2=sin2a3=cos4<0.由于6<24a1>a2.

5.：g(x)=x+11113x2x++2>34332.當(dāng)且僅當(dāng)1

213

22xx2x二時(shí)g(x)取得最小值.

/.—p

2=3,4q—p24=332,p=-23,q=323.由于3—"2—3.故在[1.2]上f(x)的最大值

為f(2)=4-533

2.故選B.100003

大學(xué)自主招生

6.解：02與下底距離=3,與01距離=2+3=5,與軸距離=4,問題轉(zhuǎn)化為在以4為半徑的

圓周上，能放幾個(gè)距離為6的點(diǎn)？右圖中，由sinN02HC=3/4>0.707,即

Z02II03>90°,即此圓上還可再放下2個(gè)滿足要求的點(diǎn).故選B.二

1

1.解由已知，得xlOWll^lgx<210^x<100.故該集合有90個(gè)元

2素.其真子集有290-1個(gè).

n1_nJI

2.解:zl滿足|z—i|二l；argzl=,得zl=+i,zl=cos(—)+isin(—).

62266

_JInnJI2n

設(shè)z2的輻角為。(0<0<“)，貝ijz2=2sin。(cos。+isin。).zl?z2=2sin0[cos(9

-)+isin(0-)],若其實(shí)部為0,則0。二z2二

66623-3

i.22

0

02

3

H

11

3.解：只要考慮|AP最長與最短時(shí)所在線段掃過的面積即可.設(shè)P(l+cos。，0),

貝|J|AP|2=22+(l+cos0)2-2?2(l+cos0)cos0二一3cos20-2cos0+5

116161616=-3(cos0+2+.且顯然IAP|2能取遍［0,］內(nèi)的一切值，故所求面積二.

333334.解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為2a,側(cè)棱為b.取

CD中點(diǎn)G,則AGLCD,EG1CD,故NAGE是二面角A—CD—E的平面角.由

BD±AC,

作平面1?「_1_棱A(；交AC于F,則NBFD為二面角B—AC—D的平面角.2a2-a222

AG二EG二一a,BF=DF=，AE=2

b

2

2

2

2

b2-(a)2=3

2

4

b2-2.

3

B

D

由cosNAGE二cosNBFD,得

2AG-AE2BF-BD

2AG22BF2

4

4(b2-2a2)

34a2b2422

???222229b=16a,b=,從而b=2,2a=3.b-a4a(b-a)3AE=2.即最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)距

離為3.5.解：至少3種顏色：

6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有(4—1)!二6種方法，

共計(jì)30種方法；用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：C5(4-l)!=30；

6X30?2=90種方法；.用4種顏色：C6c4二90種方法.用3種顏色：C6=20種方

法..??共有230種方法.

6.解：把圓心平移至原點(diǎn)，不影響問題的結(jié)果.故問題即求x2+y2=1992的整數(shù)解

數(shù).顯然x、y一奇一偶，設(shè)x=2m,y=2n—1.且IWm,nW99.

3224

相約鷺園，相約南昌

則得4m2=1992—(211—1)2=(198+211)(200—211).m2=(99+n)(100-n)三(n-l)(—n)

(mod4)0,(當(dāng)n0,1(mod4)時(shí))

由于m為正整數(shù)，m2三0,1(mod4)；(n—1)(—n)三

2,(當(dāng)n2,3(mod4)時(shí))二者矛盾，故只有(0,±199),(±199,0)這4解.

共有4個(gè).(199,±199),(0,0),(398,0).

模擬二

1.解：3(a+7d)=5(a+12d),d=-

222

a,令an=a-a(n-l)^0,an+l=a<0,得n=20.選C.393939

JIJI

2.解：設(shè)zl=cos0+isin0,貝ijzk二zl&k-1,其中e=isinE20=1.E15=—i,e10=

—1,￡5=i.

1010Zkl995=(cosl9950+isinl995e)e1995(k:.共有4個(gè)值.選A.

3.解：把身高按從高到矮排為廣100號，而規(guī)定二人比較，身高較高者體重較小，則

每個(gè)人都是棒小伙子.故選D.4.解：由|x—2n20,故k,0,若k=0,可知在所給區(qū)

間上只有1解.故k>0.由圖象可得，x=2n+l時(shí)，kWl.即kln+1

.故選B.

—1)

=(cosl9950+isinl9950)(-i)kl.

又解：y=(x—2n)2與線段y=k2x(2n—l<xW2n+l)有兩個(gè)公共點(diǎn).x2—(4n+k2)x+4n2=0

有(2n-L2n+l］上有兩個(gè)根.故△=(4n+k2)2—16n2>0.且(2n—l)2—(4n+k2)(2n—

l)+4n2>0,(2n+l)2-(4n+k2)(2n+l)+4n2^0,11

2n-K2n+k2<2n+l.kW.

22n+l

5.解：<K,故O〈cosl<sinl<l〈tanl.logsinltanKO,logcosltanKO,

421ogsinlcosl>0,logcoslsinl>0,

設(shè)logsinlcosl=a,則得(sinl)a=cosl<sinl,a>l；logcoslsinl=b,則

(cosl)b=sinl>cosl,0<b<l；即logcoslsinKlogsinlcosl.

設(shè)logsinltanl=c,logcosltanl=d,則得(sinl)c=(cosl)d=tanl,(指數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行

比較)，c<d.即logsinltanlVlogcosltanl故選C.

6.解：0至IJ面PAB、PBC、PCA的距離相等.設(shè)/APB=a,則

1

VPQRS=(PQ?PR+PR-PS+PS?PQ)sina.(其中d為0與各側(cè)面的距離).

61

VPQRS=?PR?PSsinasin9.(其中9為PS與面PQR的夾角)

6d(PQ-PR+PR?PS+PS-PQ)=PQ?PR-PSsin0....二

1.解：設(shè)a=x+yi,(x,yGR),貝|a—B|=2：y|.，y=±3.

2

設(shè)arga=6,則可取6+28=2n,(因?yàn)橹灰髄a|,故不必寫出所有可能的

角).。=,于是x=±l.|a|=2.

32.解：設(shè)球半徑為R,其內(nèi)接圓錐的底半徑為r,高為h,作軸截面，則r2=h(2R-

h).

h

lllsinOD.PQPRPSd大學(xué)自主招生

1nJIit4R3843V錐=itr2h=2(2R—h)=?h(4R—2h)W=兀R.33663273)

所求比為8:27.

3.解：令lgx=t,則得t2—2=[t].作圖象，知t=-1,t=2,及l(fā)〈t<2內(nèi)有一解.

13當(dāng)l〈t<2時(shí),t=.故得：x=x=100,x=10,即共有3個(gè)實(shí)根.10

4.解：如圖，即AOAB內(nèi)部及邊界上的整點(diǎn).由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)

的整點(diǎn)數(shù)=1+2+3+…+101=5151個(gè).

11由x軸、y=,x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=上)內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)(x=l,2,3時(shí)各有1個(gè)整

點(diǎn)，x=4,5,6時(shí)各有2個(gè)整點(diǎn)，…，33

x=73,74,75時(shí)有25個(gè)整點(diǎn),x=76,77,…，100時(shí)依次有25,24,1個(gè)整

點(diǎn).共有3X1+3X2+…+3X25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300.由對稱性，由y軸、

y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個(gè)整點(diǎn).

.?.所求區(qū)域內(nèi)共有5151-2600=2551個(gè)整點(diǎn).

5.解：頂點(diǎn)染色，有5種方法，

底面4個(gè)頂點(diǎn)，用4種顏色染，A4=24種方法，用3種顏色，選1對頂點(diǎn)C2,這一對頂

點(diǎn)用某種顏色染C4,余下2個(gè)頂點(diǎn)，任選2色染，A3種，共有C2c4A3=48種方法；用2

種顏色染：A4=12種方法；

二共有5(24+48+12)=420種方法.

6.解：1995=15X133.故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù)，共1862個(gè)，這此數(shù)均符合要

求.

在所有15的倍數(shù)的數(shù)中，152的倍數(shù)有8個(gè)，這此數(shù)又可以取出，這樣共取出了1870

個(gè).即|A|》187O.又{k,15k}(k=9,10,11,…，133)中的兩個(gè)元素不能同時(shí)取出，故

A1995-133+8=1870.

1.解：以y=2x代入曲線方程得x=0,x=8sin0+cos0+l2sin0-cos0+32112241113

8sin6+cos6+1/.所求弦長l=2sin0—cose+3.故只要求|x的最大值即可.

由(2x—8)sin0—(x+1)cos6=1—3x.(2x—8)2+(x+l)22(1—3x)2,即x2+16x—

16W0.

解之得,-8WxW2.即|x|W8(當(dāng)sin8=±247cos。=干時(shí)即可取得最大值).故得最大

弦長為8.2525

2.解：x=l是方程的一個(gè)根.于是只要考慮二次方程5x2—5px+66p—1=0的兩個(gè)根為

正整數(shù)即可.

設(shè)此二正整數(shù)根為u、V.則由韋達(dá)定理知，u+v=p①

1uv=5(66p—1)②

消去p,得5uv—66(u+v)=—1.同乘以5：52uv—5X66u—5X66v=-5.(5u—

66)(5v—66)=662-5=4351=19X229.由于u、v均為整數(shù)，故5u-66、5V-66為整數(shù).

5u-66=l,-1,19,-19,5v-66=4351,一4351,229,-229.

其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17,v=59這一組值.此時(shí)p=76.

3.分析要證MQ〃NP,因AB〃DC,故可以考慮證明/AMQ=NCPN.現(xiàn)/A=NC,故可證

△AMQsACPN.于是要證明AM：AQ=CP：CN.

證明設(shè)/ABC=2，NBNM=2,ZBMN=2￥.則

相約鷺園，相約南昌

由ON平分Z0NM,得N0NC=Z1A

2(180-2)=90-；

MQ

同理，Z0MN=Z0MA=90-Y.B2

而/C0N=180-ZOCN-Z0NC=+=90-Y,于是

FG

同理，AQ?CP=A02,AAM?CN=AQ?CP.C

，△AMQsACPN,，ZAMQ=ZCPN.

；.MQ〃NP.

4.證明：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形.

任取平面上的一條直線1,則直線1上必有兩點(diǎn)同色.設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q,不妨設(shè)P、Q

同著紅色.過P、Q作直線1的垂線11、12,若11或12上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則

存在紅色直角三角形.若11、1

/

/

G/M￡

/

/HNF

12上除P、Q外均無紅色點(diǎn)，則在11上任取異于P的兩點(diǎn)R、S,則R、S必著藍(lán)色，過

R作11的垂線

交12于T,則T必著藍(lán)色.aRST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.1設(shè)直角三角形ABC

三頂點(diǎn)同色（/B為直角）.把a(bǔ)ABC補(bǔ)成矩形ABCD（如圖）.把矩形的每邊都分成

n等分（n為正奇數(shù)，n>l,本題中取n=1995）.連結(jié)對邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2

個(gè)小矩形.

AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，（否則

任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色），不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色.考察E、F所在的

小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F，若E、F異色，則AEFE或ADEF為三個(gè)頂點(diǎn)同色

的小直角三角形.若E、F同色，再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩

形，….這樣依次考察過去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色.

同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q,則考察PQ所在的小

矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同E色的小

直角三角形.否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色.F現(xiàn)考察EF所在行

與PQ所在列相交的矩形GHNM,如上述，M、H都與N同C色，AMNH為頂點(diǎn)同色的直角三

角形.由n=1995,故△MNHS^ABC,且相似比為1995,且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別

同色.

證明2：首先證明：設(shè)a為任意正實(shí)數(shù)，存在距離為2a的同色兩點(diǎn).任取一點(diǎn)0（設(shè)為

紅色點(diǎn)），以。為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個(gè)紅點(diǎn)，則存在距離為2a的兩個(gè)紅

點(diǎn)，若圓上沒有紅點(diǎn)，則任?圓內(nèi)接六邊形

ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色，但此六邊形邊長為2a.故存在距離為2a的兩個(gè)藍(lán)色

點(diǎn).下面證明：存在邊長為a,,2a的直角三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色.如上證，存在距

離為2a

的同色兩點(diǎn)A、B（設(shè)為紅點(diǎn)），以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF,若C、D、

E、F中有任一點(diǎn)為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形.若C、D、E、F為藍(lán)色，則存在

滿足要求

的藍(lán)色三角形.下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a,,2a及1995a,1995,

19952a的兩個(gè)同色

三角形，滿足要求.

證明3：以任一點(diǎn)。為圓心，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，必

有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E,作射線OA、OB、OC、OD、0E,交大圓于A,B,

C,D,E,則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C.則ABC與

ABC為滿足要求的三角形.

模擬三

1.解：y=((n+1)x—1)(nx—1),

A111992nBn)=nn+l|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993B.

2.解：(x1—y2)=0表示y軸右邊的半圓，(y+-x2)=0表示x軸下方的半圓，故選

D.14大學(xué)自主招生

444

3.解：SiW4S,故SiW4,又當(dāng)與最大面相對的頂點(diǎn)向此面無限接近時(shí)，Si接近2S,

故選A.

i=￡li=￡li=￡l

4.解：x2=4x-4.根為x=2.C=2A,B=180°-3A,

sinB=2sinA.sin3A=2sinA,3~4sin2A=2.A=30°,C=60°,B=90".選B.

5.解：2zlcosn

3±isinn

3.，|zl3

z2|=8,zl、z2的夾角=60°.S=

224?8?2=8.選A.

6.解：f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x)./.

f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x)./.是周期函數(shù)；

f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).是奇函數(shù).選

C.二

22xz(x+z)21.解：16y=15xz,y=x+z,1624x2z2=15xz(x+z)2.由xzWO,得64xz34

xzl5,zx=15

2.解：7x=5x+2kn,或7x=-5x+2kn,(keZ)x=kn,x=lD，C

6JI(k￡Z),共有7解.

3.解：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點(diǎn)，即至多可選

出4條，又可以選出4條兩兩異面的線（如圖），故所求k的最大值二4.C

A

4.解：cosZOZ32+52-7211Z3=25-20ZlZ3==120°,

arg(z2

z=n5n

313

三/

Kin/

o\F

arg(z2

z3=n.

1

5.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,

an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,

相減，得anan+lan+2(a4—an)=an+4—an,由anan+lan+21,得an+4=an.又，

anan+lan+2an+3=an+an+l+an+2+an+3,al=a2=l,a3=2,得a4=4.

al+a2++al00=25(l+l+2+4)=200.

6.解:f(x)=x2—2)2+(x—3)2—x2—1)2+x2,表示點(diǎn)(x,x2)與點(diǎn)A(3,2)的距離及

B(0,1)距離差的最大值.由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于

兩點(diǎn).對于拋物線上任意一點(diǎn)，到此二點(diǎn)距離之差大于|AB|=.即所求最小值為.三

證明：122k=2(——1),

+k—l+k=

1>2

=2(+1—).

+l+k

808080

于是得2(+1—)〈1

k<l+2(——1)

k=Slk=Xlk=Sl

80即16<1

S<l+2(80-1X1+2(9-1)=17

k=l四

解：過m作平面a〃1,作AP±a于P,AP與1確定平面P,13Aa=1,

1Am=K.15相約鷺園，相約南昌

作BQ，a,CR±a,垂足為Q、R,則Q、Rei,且AP=BQ=CR=1與m的距離d.連

PD、QE、RF,則由三垂線定理之逆，知PD、QE、RF都，m.PD=—d2,QE=

49

d2,RF=-d2.4

r

當(dāng)D、E、F在K同側(cè)時(shí)2QE=PD+RF,

KF

E-4d2=一d2+10—d2.解之得d=當(dāng)D、E、F不全在K同側(cè)時(shí)2QE=PD-RF,49-

4d2二一d2——d2.無實(shí)解.???1與m距離為.五

(x+1

xn+1-x—n—1)—xn+x—n

證明：⑴由yfxn+2—x—n—2n(x)fn—1(x)=

x

x-x—1

x-x—1

n+1(x).故證.(2)fix

)=x2+l+x—2=(x+l

1(x)=x+f2(xx

2-l=y2-l.故命題對n=l,2成立.

設(shè)對于nWm(m22,m為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對于n二m+1成立.1.若m為

偶數(shù)，則m+1為奇數(shù).由歸納假設(shè)知，對于n=m及n=m—1,有

m

m

f=ym-Cli

m—1

ym—2+C2m(x)m—2

ym-4+…+(-1)iC—2im—iym+…+(-1)2C2m—2

m

2m—

my

2

m—2

m—2

fm-l-C13i-l

—2im-1(x)=ym—lym—+?,,+(-1)i—ICm—iym+l+***+(-1)22C2my2

mmm

yfm+li

i

i-l-2i

m(x)—fm—1(x)=y---+(-1)(Cm—i+C

m—i

)y

m+l+―+(-l)2(C22-l

m-m+Cm)y2m—

2

m

m

=ym+1-Cl

m-lm+1-ly+…+(-1)iCi

im—i+lym+1—2+***+(—1)22Cm2y2即命題對n=m+l成立.

2.若m為奇數(shù)，則m+1為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對于n初及n=m-l,有

m—1

m—1

f(x)=ym—1—Clmm—2

ym-2+-+(-l)i2Ci

m—2im-iy+***+(—1)22Cm—

21y③2

m—Im—1

fym—1—Clm—3i-1

m—1(x)=m-2y+…+(-1)i-ICm+l—2im-iy+…+(-1)2Cm—

21@2

用y乘③減去④，同上合并，并注意最后一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為

m-lm—Im-lm+lm+1

—(―1)2Cm—21=—(—l)2Cm2+l=(-1)2.

22

m+1

于是得到y(tǒng)fllm(x)—fm—1(x)=ym+l—Cmym—+?-?+(—1)2,即仍有對于n=m+l,命題成

立綜上所述，知對于一切正整數(shù)n,命題成立.

①

②16

大學(xué)自主招生

華南理工大學(xué)2009年保送生、自主招生選拔試題

《理科綜合》試題A

選擇題

1.一個(gè)作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其速度v與時(shí)間t的關(guān)系曲線如圖所示.設(shè)時(shí)刻tl至t2

間外力作功為W1；時(shí)刻t2至t3間外力作功為W2；時(shí)刻t3至t4間外力作功為W3,

則E]

(A)Wl>0,W2<0,W3<0.(B)Wl>0,W2<0,W3>0.

(C)W1=O,W2V0,W3>0.

(D)W1=O,W2<0,W3<0

2如圖所示，兩板間夾一木塊A,向左右兩板加壓力F時(shí)，木塊A

到2F,則木塊A所受的摩擦力()(A)是原來的2倍，(B)是原來的4倍，

(C)因摩擦系數(shù)未知無法計(jì)算，(D)與原來