第八講機器人動力學牛頓歐拉方程詳解演示文稿

第八講機器人動力學牛頓歐拉方程詳解演示文稿山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前一頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點優(yōu)選第八講機器人動力學牛頓歐拉方程山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度機器人桿件的速度包括線速度和角速度，下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。如圖所示，設已知i桿件的速度為ωi和vi，i+1桿件繞Zi+1軸旋轉的角速度為。

山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度則：在{i+1}坐標系中表示的i+1桿件桿的角速度為：在{i+1}坐標系中表示的i+1坐標系原點的線速度為：在{i+1}中表示的i+1桿的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原點的距離。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關節(jié)機器人如圖所示，計算以關節(jié)速度為函數(shù)的手尖處的速度。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前五頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度解：1、建立坐標系，如圖：2、求位姿矩陣：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前六頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度得：1桿在{1}中表示的速度山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前七頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度如果在基座坐標系中表示，僅需乘以R03。則：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前八頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關節(jié)機器人的雅克比矩陣。解：由例1知：則：及山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前九頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度雅克比矩陣的行數(shù)等于笛卡爾空間自由度，列數(shù)等于機器人的關節(jié)數(shù)。同理，我們可以求相對基座坐標系的雅克比矩陣。所以：10山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.4.3、機器人的桿件的速度雅克比矩陣的逆為：當手尖沿X方向以速度1m/s運動時，由雅克比逆矩陣可得：當θ2=0時，上式分母為零，兩關節(jié)速度將趨于無窮大，它對應機器人的奇異位置。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十一頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點第4章機器人操作動力學4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學方程4.3、機器人拉格朗日動力學方程簡介山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十二頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.1、概述為什么要研究機器人的動力學問題？1、為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，機器人的運動是作用于關節(jié)上的力矩與其他力或力矩作用的結果。2、力或力矩的作用將影響機器人的動態(tài)性能。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十三頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.1、概述機器人動力學研究內容：正問題：已知作用在機器人機構上的力和力矩，求機器人機構各關節(jié)的位移、速度、加速度，即：F=ma。反問題：已知機器人機構各關節(jié)的位移、速度和加速度，求作用在各關節(jié)上的驅動力或驅動力矩，即：am=F。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十四頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.1、概述機器人動力學研究方法：目標：根據(jù)機器人機構的結構特點、運動學和動力學原理，提出通用、快捷的建立動力學方程的方法。數(shù)學工具：矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。力學原理：動量矩定理、能量守恒定理、牛頓－歐拉方程、達朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十五頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.1、概述幾項假設：1、構成機器人的各桿件都是剛體，即不考慮桿件的變形。2、忽略各種間隙等因數(shù)的影響。3、暫不考慮驅動系統(tǒng)的動力學。15山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十六頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程機器人動力學的特點：1、串聯(lián)機器人由多個桿件經關節(jié)軸串聯(lián)構成，屬于多體動力學的研究范疇。2、各桿件的速度、加速度是關節(jié)位置及時間的函數(shù)，隨機器人桿件構形的不同而改變。3、機器人動力學的計算復雜，多采用數(shù)值遞推的方法計算。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十七頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程我們知道：剛體運動=質心的平動+繞質心的轉動其中：質心平動：用牛頓方程描述。繞質心的轉動：用歐拉方程定義。它們都涉及到質量及其分布，我們先復習一下轉動慣量的計算。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十八頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程

如圖所示，設剛體的質量為，以質心為原點的隨體坐標系下的慣量矩陣由六個量組成，表示為：一、慣量矩陣（張量）圖3.1式中：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前十九頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程

慣量矩陣中的元素稱為慣量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指標的元素稱為慣量積(Massproductsofinertia)。對于給定的物體，慣量積的值與建立的坐標系的位置及方向有關；如果我們選擇的坐標系合適，可使慣量積的值為零。這樣的坐標系軸稱為主軸（Principleaxes）,相應的慣量稱為主慣量。事實上，主慣量是慣量矩陣的三個特征值。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程平行軸定理（Parallel-axistheorem）:已知相對于某一原點位于物體質心坐標系{C}的慣量張量，坐標系{A}平行于坐標系{C}，則相對于{A}坐標系的慣量張量為：其中：為質心相對于{A}坐標系的坐標。20山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十一頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程二、牛頓—歐拉方程我們假設機器人的每個桿件都為剛體，為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，運動桿件所需要的力或力矩是所需加速度和桿件質量分布的函數(shù)；牛頓方程和用于轉動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅動力矩、負載力（力矩）、慣量和加速度之間的關系。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十二頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程

我們先研究質心的平動，如圖4.1所示，假設剛體的質量為，質心在C點，質心處的位置矢量用表示，則質心處的加速度為；設剛體繞質心轉動的角速度用表示，繞質心的角加速度為，根據(jù)牛頓方程可得作用在剛體質心C處的力為：圖4.1山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十三頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程

根據(jù)三維空間歐拉方程，作用在剛體上的力矩為：

圖4.1以上兩式合稱為牛頓—歐拉方程。式中，M為作用力對剛體質心的矩，為繞質心的角速度和角加速度。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十四頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程三、加速度計算1、線加速度

如圖所示，設坐標系i與i-1桿固聯(lián)，其原點加速度為ai-1,角速度為ωi-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標系旋轉，相對轉速為

。P為i桿上任意一點。15山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十五頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程Pi點的相對速度和加速度為：

Pi點的絕對加速度為：erk代入并化簡得：即：上述參數(shù)都是在基礎坐標系中表示的。26山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十六頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程i+1坐標系原點的加速度為：設i桿件質心為ci,則其加速度為：2、角加速度i桿的角加速度為：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十七頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程四、作用力和力矩

計算出每個桿件質心的加速度后，我們可以應用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質心的慣性力和慣性力矩。根據(jù)牛頓-歐拉方程，有：28山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十八頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點4.2機械人的牛頓—歐拉方程圖2構件受力圖

如圖2所示，將第i個構件Li作為隔離體進行分析，作用在其上的力和力矩有：作用在i桿件上的外力和外力矩，i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩，以及i+1桿件作用在i桿件上的力和力矩。29山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前二十九頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程其中：

Fi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力。Mi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力矩。Fi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力。Mi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力矩。Fi—作用在第i個構件Li上的外力簡化到質心C處的合力，即外力的主矢。Mi—作用在第i個構件Li上的外力矩簡化到質心C處的合力矩，即外力的主矩。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅動力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i個構件上的所有力化簡到質心的總的合力為：它們都在基礎坐標系中表示。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十一頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程相對于質心的總的合力矩Mi為：

最后，為了便于遞推計算，重新安排力和力矩計算公式為：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十二頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

i桿件需要的關節(jié)力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量，即：牛頓-歐拉方程的遞推算法：由兩部分組成：首先，從1號桿到n號桿，向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后，再從n號桿到1號桿，向后遞推計算作用力和力矩，以及關節(jié)驅動力矩。算法過程總結如下：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十三頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程向前遞推：i:0→6向后遞推：i:6→1慣性力慣性力矩條件：基礎桿件和各關節(jié)的角速度和角加速度已知山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十四頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

引力對桿件作用的影響可以通過設置來實現(xiàn)，這里，G為引力常數(shù)。上面給出了關節(jié)型機器人的動力學計算方法，對于移動關節(jié)可以推導相應的方程。對一些相對簡單的問題，用上述方法，也可能得到閉式解析結果。上述遞推算法是一種通用算法，可以用于任意自由度數(shù)的關節(jié)型機器人。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十五頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例圖3平面兩自由度機器人機構例1如圖3所示的平面兩自由度機器人機構。連桿L1質心為C1，質量為m1，驅動力矩為m1=[00m11]T，角速度為ω1=[00ω1]T,加速度為ε1=[00ε1]T;連桿L2質心為C2，質量為m2，驅動力矩為m2=[00m22]T，角速度為ω2=[00ω2]T,加速度為ε2=[00ε2]T，山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十六頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例選取關節(jié)O和關節(jié)A處的轉角θ1和θ2為系統(tǒng)的廣義坐標，可以寫出連桿L1的牛頓—歐拉方程為:連桿L2的牛頓—歐拉方程為:式中:重力驅動力矩山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十七頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例由以上幾式消去桿件間作用力，可解得:考慮質心位置：求導得：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十八頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例另外：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前三十九頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例有：即：對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量，得：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例化簡可得：

上式即為各桿件關節(jié)的驅動力計算公式，它是一個以角加速度為變量、變系數(shù)的非線性動力學方程。山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十一頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例以上兩式進一步寫成：式中：

系數(shù)是位置的函數(shù)山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十二頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例

例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設每個桿件的質量集中于桿件的尾部，其大小為m1和m2。解：每個桿件的質量中心矢量為：由于點質量假設，每個桿件相對質心的慣性張量為零，即：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十三頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十四頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例應用遞推公式有：向前：1桿件：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十五頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例2桿件：山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十六頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02目前四十七頁\總數(shù)五十三頁\編于十八點牛頓—歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1