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2022年湖南省常德市盤石中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(不包括邊界),且滿足,則△ABC一定為(
)A.直角三角形;B.等邊三角形;C.等腰直角三角形;D.等腰三角形參考答案:解析:因為,所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。
因此選D。2.如圖,某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為(
)A. B. C. D.3參考答案:A【分析】首先根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖,進(jìn)一步利用幾何體的體積公式求出結(jié)果.【詳解】解:根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:故:V.故選:A.【點睛】本題考查的知識要點:三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,幾何體的體積公式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè),集合,則
(
)1
B、
C、2
D、參考答案:D略4.如圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中,七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4參考答案:C略5.已知數(shù)列{an}滿足:,.設(shè),,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是(
)(A)(-∞,2)
(B)
(C)(-1,1)
(D)(-1,2)
參考答案:B∵數(shù)滿足:,,化為∴數(shù)列是等比數(shù)列,首項為,公比為2,
∴,
∵,且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴,∴,
解得,由,可得對于任意的*恒成立,,
故答案為:.
6.已知函數(shù)f(x)=4﹣x2,g(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,g(x)=log2x,則函數(shù)y=f(x)?g(x)的大致圖象為()A. B. C. D.參考答案:B【考點】函數(shù)的圖象;函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】由已知中函數(shù)f(x)=4﹣x2,當(dāng)x>0時,g(x)=log2x,我們易判斷出函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的形狀,再根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),我們根據(jù)“奇×偶=奇”,可以判斷出函數(shù)y=f(x)?g(x)的奇偶性,進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)圖象的特點得到答案.【解答】解:∵函數(shù)f(x)=4﹣x2,是定義在R上偶函數(shù)g(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),故函數(shù)y=f(x)?g(x)為奇函數(shù),共圖象關(guān)于原點對稱,故A,C不正確又∵函數(shù)f(x)=4﹣x2,當(dāng)x>0時,g(x)=log2x,故當(dāng)0<x<1時,y=f(x)?g(x)<0;當(dāng)1<x<2時,y=f(x)?g(x)>0;當(dāng)x>2時,y=f(x)?g(x)<0;故D不正確故選B7.若集合,,且,則的值為A.
B.
C.或
D.或或參考答案:D8.若函數(shù)(其中)的圖像關(guān)于點成中心對稱,則的最小值為(
)A. B. C. D.參考答案:A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱,可知,求出,即可求出.【詳解】因為函數(shù)(其中)的圖像關(guān)于點成中心對稱,所以,,,當(dāng)時,的最小值為.
故選A.9.如圖,在正四棱錐P﹣ABCD中,AB=2,側(cè)面積為8,則它的體積為()A.4 B.8 C.12π D.16π參考答案: A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.【分析】作PO⊥平面ABCD,取BC中點E,連結(jié)OE,PE,求出PE=2,從而PO=1,由此能求出正四棱錐P﹣ABCD的體積.【解答】解:作PO⊥平面ABCD,取BC中點E,連結(jié)OE,PE,∵正四棱錐P﹣ABCD中,AB=2,側(cè)面積為8,∴O是四邊形ABCD的中點,E是BC的中點,PE⊥BC,4×BC×PE=8,解得PE=2,∴PO===1,∴正四棱錐P﹣ABCD的體積V===4.故選:A.10.若函數(shù),在處取最小值,則=(
)A.
B.
C.3
D.4參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正方形.(1)在,,,四點中任取兩點連線,則余下的兩點在此直線異側(cè)的概率是__________.(2)向正方形內(nèi)任投一點,則的面積大于正方形面積四分之一的概率是__________.參考答案:見解析(1)共有種,異側(cè)2種,∴.(2)在內(nèi),,而,∴.12.已知α為第二象限角,sinα=,則tan2α=
.參考答案:【考點】GL:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【分析】由已知求出cosα,進(jìn)一步得到tanα,代入二倍角公式得答案.【解答】解:∵α為第二象限角,且sinα=,∴cosα=,則tanα=.∴tan2α===.故答案為:.13.若與為非零向量,,則與的夾角為
.參考答案:考點:數(shù)量積表示兩個向量的夾角;向量的模.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:利用模的計算公式和數(shù)量積即可得出.解答: 解:∵,∴,∴=,∴.∵與為非零向量,∴.∴與的夾角為.故答案為.點評:熟練掌握模的計算公式和數(shù)量積是解題的關(guān)鍵.14.已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增,若,則的取值范圍是
參考答案:;15.已知函數(shù),若,且,則
.參考答案:216.設(shè),則為的調(diào)和平均數(shù).如圖,為線段上的點,,,為的中點,以為直徑作半圓.過點作的垂線交半圓于,連結(jié).過點作的垂線,垂足為.則圖中線段的長度為的算術(shù)平均數(shù),線段__________的長度是的幾何平均數(shù),線段__________的長度是的調(diào)和平均數(shù).
參考答案:CD,DE略17.一枚硬幣連擲兩次,出現(xiàn)一次正面的概率為_________;參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,△ABC為等邊三角形.將函數(shù)f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摩斜逗?,再向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)利用等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)已知,可以求出函數(shù)的周期,利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出,最后根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)求出的解析式;(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的解析式,原不等式等價于在恒成立,利用換元法,構(gòu)造二次函數(shù),分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)點的縱坐標(biāo)為,為等邊三角形,所以三角形邊長為2,所以,解得,所以,將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到,再向右平移個單位,得到.(Ⅱ),所以,原不等式等價于在恒成立.令,,即在上恒成立.設(shè),對稱軸,當(dāng)時,即時,,解得,所以;當(dāng)時,即時,,解得(舍);當(dāng)時,即時,,解得.綜上,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象變換和性質(zhì),考查了利用換元法、構(gòu)造法解決不等式恒成立問題,考查了數(shù)學(xué)運算能力.19.已知函數(shù)f(x)=,(1)若a=﹣1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范圍.參考答案:【考點】指數(shù)函數(shù)綜合題.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】(1)當(dāng)a=﹣1時,f(x)=,令g(x)=﹣x2﹣4x+3,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令h(x)=ax2﹣4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)應(yīng)有最小值﹣1,進(jìn)而可得a的值.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,要使y=h(x)的值域為(0,+∞).應(yīng)使h(x)=ax2﹣4x+3的值域為R,進(jìn)而可得a的取值范圍.【解答】解:(1)當(dāng)a=﹣1時,f(x)=,令g(x)=﹣x2﹣4x+3,由于g(x)在(﹣∞,﹣2)上單調(diào)遞增,在(﹣2,+∞)上單調(diào)遞減,而y=t在R上單調(diào)遞減,所以f(x)在(﹣∞,﹣2)上單調(diào)遞減,在(﹣2,+∞)上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(﹣2,+∞),遞減區(qū)間是(﹣∞,﹣2).(2)令h(x)=ax2﹣4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)應(yīng)有最小值﹣1,因此=﹣1,解得a=1.即當(dāng)f(x)有最大值3時,a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,要使y=h(x)的值域為(0,+∞).應(yīng)使h(x)=ax2﹣4x+3的值域為R,因此只能有a=0.因為若a≠0,則h(x)為二次函數(shù),其值域不可能為R.故a的取值范圍是a=0.【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔.20.已知函數(shù).(Ⅰ)求;(Ⅱ)設(shè),,求的值.參考答案:(Ⅰ).(Ⅱ).由,得,因為,所以,因此,所以.21.(14分)已知三條直線2x﹣y﹣3=0,4x﹣3y﹣5=0和ax+y﹣3a+1=0相交于同一點P.(1)求點P的坐標(biāo)和a的值;(2)求過點(﹣2,3)且與點P的距離為2的直線方程.參考答案:考點: 點到直線的距離公式;兩條直線的交點坐標(biāo).專題: 直線與圓.分析: (1)聯(lián)立,解得點P(2,1).將P的坐標(biāo)(2,1)代入直線ax+y﹣3a+1=0中,解得a即可.(2)設(shè)所求直線為l,當(dāng)直線l的斜率不存在時,則l的方程為x=﹣2;不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y﹣3=k(x+2),利用點到直線的距離公式即可得出.解答: 解:(1)聯(lián)立,解得,∴點P(2,1).將P的坐標(biāo)(2,1)代入直線ax+y﹣3a+1=0中,可得2a+1﹣3a+1=0,解得a=2.(2)設(shè)所求直線為l,當(dāng)直線l的斜率不存在時,則l的方程為x=﹣2,此時點P與直線l的距離為4,不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,因此點P到直線l的距離d==2,解方程可得k=2.所以直線l的方程為2x﹣y+7=0.點評: 本題考查了直線的交點、點到直線的距離公式、點斜式,考查了分類討論思想方法,屬于基礎(chǔ)題.22.點A(1,7)是銳角α終邊上的一點,銳角β滿足sinβ=,(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.參考答案:【考點】兩角和與差的正切函數(shù);任意角的三角函數(shù)的定義.【專題】計算題;函數(shù)思想;
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