結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第十章隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)響應(yīng)關(guān)系

第十章隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系§10-1線性時(shí)不變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的頻域與時(shí)域描述對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)，不管是已知激勵(lì)求響應(yīng)或是已知響應(yīng)求激勵(lì)，都必須知道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。動(dòng)態(tài)特性：指系統(tǒng)隨頻率、慣性、剛度和阻尼而變化的特性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性用H(ω)和h(t)來(lái)描述a)頻域內(nèi)的“頻率響應(yīng)函數(shù)”H(ω)b)時(shí)域內(nèi)的“脈沖響應(yīng)函數(shù)”h(t)1、頻率響應(yīng)函數(shù)(復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)或簡(jiǎn)稱頻響函數(shù))單度線性系統(tǒng)在激勵(lì)y(t)＝y(tǒng)0sinωt作用下，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)必定是x(t)＝x0sin(ωt-θ)振幅比x0/y0和相位差θ確定了系統(tǒng)在固定的激勵(lì)頻率ω下的傳遞特性或傳遞函數(shù)。若不斷改變?chǔ)?，那么傳遞函數(shù)作為ω的函數(shù)將形成一條曲線，這條曲線就確定了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。振幅比x0/y0和相位差θ用復(fù)函數(shù)H(ω)來(lái)表示：|H(ω)|稱為頻響函數(shù)的模，又稱為系統(tǒng)的增益因子，起放大作用；θ(ω)稱為頻響函數(shù)的相角或系統(tǒng)的相位因子。H(ω)的具體求法：由此可得求H(ω)的具體步驟如下：①建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，明確什么是輸入，什么是輸出②③將y(t)和x(t)及其導(dǎo)數(shù)代入運(yùn)動(dòng)微分方程，即可得到系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于激勵(lì)y(t)和響應(yīng)x(t)的頻響函數(shù)。[注意]：y(t)和x(t)可以是力、壓力、位移、速度和加速度等，故同一系統(tǒng)可有多個(gè)頻響函數(shù)(取決于輸入輸出是什么)[例]已知：m，k，c，無(wú)重板，受位移激擾y(t)，系統(tǒng)輸出為位移x(t)，求相應(yīng)的頻響函數(shù)H(ω)。解：運(yùn)動(dòng)微分方程[例](紐蘭P58)已知：k，c，無(wú)質(zhì)量小車，激勵(lì)是力y(t)，響應(yīng)是位移x(t)，求相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)。解：運(yùn)動(dòng)微分方程x(t)y(t)kC[例]圖示系統(tǒng)，桿重不計(jì)，已知：m，k，c及力激勵(lì)F(t)＝f0sinωt，響應(yīng)是AB桿轉(zhuǎn)角，用頻率響應(yīng)函數(shù)方法求響應(yīng)θ(t)

。解：運(yùn)動(dòng)微分方程AkBaaacF(t)Ak3aθθF(t)2、脈沖響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)態(tài)的靜止系統(tǒng)在受到單位脈沖δ(t)激勵(lì)后產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，記為h(t)。(1)單位脈沖δ(t)(狄拉克δ函數(shù))(2)δ函數(shù)的傅里葉變換(a)時(shí)域δ函數(shù)的傅里葉變換時(shí)移性：(b)頻域δ函數(shù)的傅里葉逆變換故：(3)脈沖響應(yīng)函數(shù)實(shí)際上，在第四章瞬態(tài)振動(dòng)一章已經(jīng)求過(guò)h(t)。求h(t)的步驟如下：①建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程②用脈沖響應(yīng)函數(shù)δ(t)代替微分方程中的激勵(lì)，并對(duì)方程兩邊從0-到0+進(jìn)行積分，得到等效的初始條件③求滿足初始條件的齊次微分方程的解，即為h(t)[例]已知：m，k，c及力激勵(lì)F(t)，響應(yīng)是位移x(t)，求h(t)

。解：(1)運(yùn)動(dòng)微分方程為(2)令F(t)＝δ(t)x(t)＝h(t)(比較求H(ω)是令F(t)＝eiωtx(t)＝H(ω)

eiωt)積分常數(shù)A和B由初始條件確定對(duì)(*)式兩邊從0-到0+積分兩次代入通解表達(dá)式可得：3、頻率響應(yīng)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系可以證明：H(ω)與δ(t)是互為傅里葉變換的關(guān)系，即對(duì)任意激勵(lì)y(t)和響應(yīng)x(t)，都有實(shí)際上對(duì)x(t)＝H(ω)

y(t)兩邊進(jìn)行傅里葉變換，有[例]已知：k，c，無(wú)質(zhì)量小車，激勵(lì)是力y(t)，響應(yīng)是位移x(t)，驗(yàn)證脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)為傅里葉變換對(duì)。x(t)y(t)kC解：運(yùn)動(dòng)微分方程由留數(shù)定理，有實(shí)際上，當(dāng)t<0時(shí)，有§10-2系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)褶積及其傅里葉變換1、系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)褶積積分設(shè)任意激勵(lì)y(t)滿足絕對(duì)可積，即一般地，上述積分難以求解，很少采用。下面采用脈沖響應(yīng)方法求x(t)在τ處作用的脈沖y(τ)Δτ的響應(yīng)為：所有脈沖引起的時(shí)刻t的總響應(yīng)為：此式也可以由上頁(yè)的(*)式推出：此式也可以由上頁(yè)的(*)式推出：2、褶積的傅里葉變換若§10叮-3單輸筐入單燃輸出者線性鄭系統(tǒng)務(wù)的隨辣機(jī)振姓動(dòng)設(shè)同型時(shí)進(jìn)票行著遇無(wú)限津個(gè)實(shí)雁驗(yàn)，貴每個(gè)送實(shí)驗(yàn)鑼系統(tǒng)皺是線澆性且盞動(dòng)態(tài)但特性中相同炕，脈暖沖響死應(yīng)函疲數(shù)為h(鵲t)，頻剖響函具數(shù)為H(ω)，激勵(lì)通是y(t)，響析應(yīng)是x(t)。我測(cè)們的啦目的犁是找屢出激祝勵(lì)、干響應(yīng)挎的統(tǒng)省計(jì)特映性與膏系統(tǒng)贏的動(dòng)抖態(tài)特亂性H(ω)或h(龜t)之間槽的關(guān)末系。yi(t)xi(t)h(t)H(ω)xi(t)yi(t)tti=1,2,3,…1、響微應(yīng)的糖均值誦和自銜相關(guān)順函數(shù)①均值μx對(duì)任意招激勵(lì)y(交t)，響應(yīng)x(霸t)為若激勵(lì)y(t)是一平澡穩(wěn)隨機(jī)伶過(guò)程，生則平均沈值E[y]與采杠樣時(shí)隙刻(t-λ)無(wú)關(guān)繪，于謠是有彎：②自相關(guān)Rx(τ)對(duì)平穩(wěn)展過(guò)程，陣有：若系統(tǒng)澆動(dòng)態(tài)特峽性和激響勵(lì)的自深相關(guān)函滿數(shù)已知隸，則可再由上式基求出響鬼應(yīng)的自兼相關(guān)函郊數(shù)，并豎且可知捧，若輸筐入是平歉穩(wěn)過(guò)程范，則輸殖出也是擔(dān)平穩(wěn)過(guò)門程。特減別，當(dāng)τ＝0時(shí)，可紹得響應(yīng)按均方值訪：2、響應(yīng)萬(wàn)的自譜①響應(yīng)側(cè)的自匙譜Sx(ω)H*(ω)是H(ω)的共軛年復(fù)數(shù)②用響樹應(yīng)的自覆譜求響吩應(yīng)的自企相關(guān)和魚均方值一般樓地，歲用這擁兩個(gè)味式子思求自糠相關(guān)弄和均結(jié)方值岸比上爺節(jié)直胡接從壓脈沖似響應(yīng)滾函數(shù)艱出發(fā)樂(lè)的積插分形閘式求永要方尚便些才。若輸莖入為違白噪疑聲，績(jī)即Sy(ω)＝S0＝常竿數(shù)，煩則③關(guān)于廣箭義積分域的詹姆代斯(J芳am握es嘗)公式Jam蒙es公式參疼見有關(guān)煌參考書旦，如莊挪表中、D.夜E.紐蘭等[例](陶P.俱13策8例4-1矩)已知：m，k，c及力激塌勵(lì)y(t)的Sy(ω)＝S0，求擺：位賞移響增應(yīng)x(總t)的自絡(luò)相關(guān)雙函數(shù)析、均劫方值烘和自譯功率埋譜密撿度函承數(shù)。解：思路輝：求H(ω)→Sx(ω)修→夕Rx鹽(τ)→ψ2x系統(tǒng)籠運(yùn)動(dòng)騾微分研方程萄為：Sx(ω)在上量半平酷面內(nèi)模只有ω1和ω2兩個(gè)墾奇點(diǎn)涂，由雹留數(shù)腿定理怨可得ω2ω1ω*1ω*2ReIm求Sx(ω)及ψ2x[例]已知超：m，k，c及輸淘入位狐移y(t)，輸白出位歲移x(財(cái)t)，輸殖入譜英密度納函數(shù)幣為：解：幼系統(tǒng)視運(yùn)動(dòng)憐微分觸方程鹽為：《討論》若用下汁式計(jì)算唐則ψ2x有不同扛答案，宅為什么字？存在，僅當(dāng)H(ω)分母的各個(gè)根都位于ω平面的上半平面時(shí)，積分才存在。而(iω-ω0)＝i(ω+iω0)的根剖是(-iω0)，位僅于ω平面襪的下退半平芝面，盞故不經(jīng)正確訓(xùn)。[例已知壞：L，EI，抗彎桃截面模郵量為W的懸嬸臂梁獸，質(zhì)票量不柿計(jì)，逝小球添質(zhì)量m，阻逝尼c，激拐勵(lì)是述地面任水平雞加速恥度a(t)，其自顆譜Sa(ω)＝S0，求踏：懸擴(kuò)臂梁左根部賤最大涼正應(yīng)借力的練均方構(gòu)根值荒。由材豆料力公學(xué)，痛對(duì)懸脖臂梁矛有解：思路：圖示系容統(tǒng)可看賤作高大甩建筑物(如煙筒坑、樓房注、水塔剩、路燈繭等)的粗勸糙模相型在宵地震訓(xùn)中的籠響應(yīng)昨問(wèn)題血。EIcmLa(t)xmaX為重物啊相對(duì)于杠