【2020年考研數(shù)學(xué)】公式大全(高數(shù)、線代、概率論應(yīng)有盡有)

#(42 2]A=24—22—2 4I"NrJ附錄二向量空間.n維向量空間及其子空間記為Rn由全部n維實(shí)向量構(gòu)成的集合，這是一個(gè)規(guī)定了加法和數(shù)乘這兩種線性運(yùn)算的集合，我們把它稱為n維向量空間。設(shè)V是Rn的一個(gè)子集，如果它滿足(1)當(dāng)a,a都屬于V時(shí)，a+a也屬于V。1 2 1 2(2)對(duì)V的每個(gè)元素a和任何實(shí)數(shù)c,ca也在V中。則稱V為Rn的一個(gè)子空間。例如n元齊次方程組AX=0的全部解構(gòu)成Rn的一個(gè)子空間，稱為AX=0的解空間。但是非齊次方程組AX=p的全部解則不構(gòu)成Rn的子空間。對(duì)于Rn中的一組元素a,a,A,a，記它們的全部線性組合的集合為1 2 sLQ,a,A,a)=Ca+ca+A+cac任意｝，它也是Rn的一個(gè)子空間。1 2 s11 22 ssi.基，維數(shù)，坐標(biāo)設(shè)V是Rn的一個(gè)非0子空間(即它含有非0元素)，稱V的秩為其維數(shù)，記作dimV。稱V的排了次序的極大無(wú)關(guān)組為V的基。例如AX=0的解空間的維數(shù)為n-r(A)，它的每個(gè)有序的基礎(chǔ)解系構(gòu)成基。又如dimLQ,a,A,a)]=rQ,a,A,a),a,a,A,a的每個(gè)有序的極大無(wú)關(guān)組構(gòu)成TOC\o"1-5"\h\z1 2 s 1 2 s 1 2 s基。設(shè)n,n,a,n是v的一個(gè)基，則v的每個(gè)元素a都可以用n,n,a用唯一線性表示：1 2k 1 2ka=cn+cn+a+cn11 22 kk稱其中的系數(shù)(c,c,A,c)為a關(guān)于基n,n,A,n的坐標(biāo)，它是一個(gè)k維向量。1 2k 1 2k

坐標(biāo)有線性性質(zhì)：(1)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于它們的坐標(biāo)的和：如果向量a和B關(guān)于基n川八川的坐標(biāo)分別為Q,C,A,c)和Q,d,A,d),則a+pTOC\o"1-5"\h\z1 2k 1 2k 1 2 k關(guān)于基WAE卜的坐標(biāo)為(c+d,c+d,A,c+d)=(c,c,A,c)+(d1 12 2kk1 2k1(2)向量的數(shù)乘的坐標(biāo)等于坐標(biāo)乘數(shù)：如果向量a關(guān)于基n,n,a,n的坐標(biāo)為(c,c,a,c)，則ca關(guān)于基n,n,a,n的坐標(biāo)為1 2k 1 2k 1 2k)。)二c()。1坐標(biāo)的意義：設(shè)V中的一個(gè)向量組a,a,A,a關(guān)于基n,n,A,n的坐標(biāo)依次為1 2 t 1 2 kY2,A,y，則a,a,A,a和y2,A,y有相同的線性關(guān)系。1 2 t 1 2 t1 2 t于是，我們可以用坐標(biāo)來(lái)判斷向量組的相關(guān)性，計(jì)算秩和極大無(wú)關(guān)組等等。3.過(guò)渡矩陣，坐標(biāo)變換公式設(shè)n設(shè)n1，n2,A，nk和A‘&2,A,&k都是V的一個(gè)基，并設(shè)己1在n1，n2，A，nk中的坐標(biāo)為(c,c,A,c )，構(gòu)造矩陣1i2ikiTOC\o"1-5"\h\z(c c A11 12c c AC= 21 22AAAckk稱C為［1A，nk到&,己2,A‘&k的過(guò)渡矩陣。收,己,a,&)=&,n,a,nC。TOC\o"1-5"\h\z1 2k1 2k如果v中向量a在其n,n,a,n和自「自?！瓵‘自，中的坐標(biāo)分別為1 2k1 2 kx=Q,X,A,x方和y=(y,y,A,y方，貝U1 2k 1 2ka=G,n,a,n)x1 2 ka=侶,己,A,己)y=&,n,A,n)Cy1 2k 1 2k于是關(guān)系式:X=Cy

稱為坐標(biāo)變換公式。4.規(guī)范正交基如果v的一基WA川k是單位正交向量組,則稱為規(guī)范正交基。兩個(gè)向量的內(nèi)積等于在規(guī)范正交基下的它們坐標(biāo)的內(nèi)積。設(shè)a的坐標(biāo)為（c,c,A,c）,P的坐標(biāo)為（d,d,A,d）則Q,P)=cd+cd+A+cd兩個(gè)規(guī)范正交基之間的過(guò)渡矩陣是正交矩陣。做題思路先化簡(jiǎn)再計(jì)算例5例5.(03)設(shè)n維列向量a=(a,0,A,0,a規(guī)定A=E-aar,B=E-1aa。a已知AB=E，求a。注意化簡(jiǎn)技巧（中間過(guò)程也很重要）例13.（00例13.（00）己知A*=，求矩陣B,使得ABA-1=BA-1+3E證明一個(gè)矩陣可逆切入點(diǎn) 行列式=0證明Ax=E,證明兩