工程力學(xué)之應(yīng)力應(yīng)變

應(yīng)力應(yīng)變分析本章研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變是變形體力學(xué)中非常重要的概念。主要內(nèi)容如下：應(yīng)力應(yīng)變分析§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)§11.2應(yīng)力張量的表示方法§11.3平面應(yīng)力狀態(tài)§11.4應(yīng)力圓§11.5三向應(yīng)力狀態(tài)§11.6應(yīng)變狀態(tài)(與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的)§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)內(nèi)力是截面上的分布內(nèi)力的等效力系載荷集度稱為上的平均應(yīng)力將分解為與法向和切向的力，內(nèi)力與應(yīng)力的概念則稱為正應(yīng)力（法向應(yīng)力）

稱為剪應(yīng)力（切應(yīng)力）M點(diǎn)在截面上的正應(yīng)力M點(diǎn)在截面上的剪應(yīng)力應(yīng)力的量綱一點(diǎn)處所有各方位截面上的應(yīng)力的集合稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一點(diǎn)處的應(yīng)力與其集度以及的法向相關(guān),因此可用兩個并在一起的矢量表示,并且在不同的坐標(biāo)系中滿足一點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，這在數(shù)學(xué)上成為張量，描述應(yīng)力的張量稱為應(yīng)力張量§11.2應(yīng)力張量的表示方法取一包圍該點(diǎn)的微元體（單元體）其各棱邊相互垂直，各棱邊的長分別為或由于單元體很小其上的應(yīng)力可看作均勻分布各面上的應(yīng)力可用3*3的矩陣表示（i,j=1,2,3）應(yīng)力分量,應(yīng)力張量。按上述約定假設(shè)應(yīng)力的方向?qū)φ龖?yīng)力，則是拉應(yīng)力為正。考慮單元體力矩對軸的平衡方程有：（不考慮體力偶）同理上述關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理設(shè)表示軸與軸的方向余弦。則可以證明應(yīng)力張量可用來描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)坐標(biāo)變換矩陣§11.3平面應(yīng)力狀態(tài)若單元體上不為零的應(yīng)力分量都位于同一平面內(nèi)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板設(shè)不為0的應(yīng)力分量都位于xy平面內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)給出各方位截面上的應(yīng)力情況，截面

上的應(yīng)力,其與

軸正向的夾角以逆時(shí)針方向?yàn)檎跏紗卧w：顯然：由將代入

由同理可得(a)(b)(c)式有兩個解將(c)式代入(b)式有單元種體上搭剪應(yīng)末力為售0的男截面蒸稱為廢主平贊面主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力為各方程截面上正應(yīng)力的極值一個為極大值一個為極小值、以主平面為單元體的各面稱為主單元體同理可求出的極值及例已染知初懇始單射元體個上的被應(yīng)力惕（Mp工a）求主奇單元嶄體上許的應(yīng)攪力并毅畫出結(jié)主單殖元體解：§1挎1.計(jì)4缸應(yīng)孕力圓一點(diǎn)盜處平脖面應(yīng)題力狀豈態(tài)的嶄圖解涌法，貌直觀第各方跟位的傾應(yīng)力考情況去一目滾了然鏡。由(a)(b)上兩覆式兩脖邊平廢方后絨相加則上弊式在恭應(yīng)力刃坐標(biāo)單中為學(xué)一圓摧稱為墳應(yīng)力大圓莫割爾圓圓心坐標(biāo)：半徑：因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周

應(yīng)力圓的畫法：建應(yīng)力坐標(biāo)系，取比例尺,定點(diǎn)或由圓心,半徑——畫圓

應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力

應(yīng)璃力綠圓受畫烏法證明：同理可以證明：

及的方位極值點(diǎn)的方位與主平面方位相差對應(yīng)的應(yīng)力

任意事兩相趴互垂承直截紗面上步的正柱應(yīng)力件之和列由(a)式例確定主平面方程畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力單位：

解：主單輩元體娃：例2已知應(yīng)力圓畫出初始單元體及其應(yīng)力主單元體及應(yīng)力單位解：烈初始謹(jǐn)單元艙體半徑

主單倡元體圾：§1識1.刃5蜓三向翁應(yīng)力滾狀態(tài)將三杰個主紐奉應(yīng)力或按代掙數(shù)量壘的大摔小順勒序排抱列因此裂根據(jù)央每一受點(diǎn)的去應(yīng)力只狀態(tài)面可以抹找到耗3個續(xù)相互姑垂直并的主繪應(yīng)力三向胡應(yīng)力胖圓空間任意方程截面上的應(yīng)力，與三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。

一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力

三向牌應(yīng)力南圓單向夠、雙鈴向、道三向毅應(yīng)力積狀態(tài)例：求

解：在，平面內(nèi)

三向寒應(yīng)力斗圓如紹圖注意園：不教是同徒一平覆面的騰應(yīng)力欣不能籌用平雪面應(yīng)稠力狀殖態(tài)方填法求蓬解?！?幻玉1.室6敬應(yīng)變涂狀態(tài)（與捐平面宅應(yīng)力恢狀態(tài)我對應(yīng)但的）一點(diǎn)的變形有線應(yīng)變和剪應(yīng)變，單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的變形

在，坐標(biāo)下

在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角

令，各個方位應(yīng)變的情況稱為一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有

應(yīng)變輸花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方位是重合的?；⒖硕?/p>

比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§1鳳1.零7變應(yīng)批力應(yīng)攪變關(guān)旅系1、挑單向落應(yīng)力集狀態(tài)2、征純剪久應(yīng)力煙狀態(tài)在線彈性范圍內(nèi)

剪切虎克定律

——剪切彈性模量

可證明

只有作用時(shí)3、吉廣義叔虎克械定律對主陪單元飯?bào)w例：已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變

求寧該點(diǎn)遞的主殿應(yīng)力網(wǎng)和最萄大剪俊應(yīng)力解：設(shè)

則

整理鼻后例2已知，求設(shè)

解：取一單元體體積受應(yīng)力作用變形變形后的體積

4、攪體積榜變形單位體積的改變