平面問題的基本理論

平面問題的基本理論要點——建立平面問題的基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等彈性力學(xué)主要內(nèi)容§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力§2-4幾何方程剛體位移§2-5斜方向的應(yīng)變及位移§2-6物理方程§2-7邊界條件§2-8圣維南原理§2-9按位移求解平面問題§1-10按應(yīng)力求解平面問題相容方程§1-11常體力情況下的簡化§1-12應(yīng)力函數(shù)逆解法與半逆解法彈性力學(xué)§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題1.平面應(yīng)力問題(1)幾何特征xyyztba一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多?！桨迦纾喊迨降蹉^，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。彈性力學(xué)xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個薄板的各點都有：由剪應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。彈性力學(xué)2.平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面彈性力學(xué)水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}——平面應(yīng)變問題注：(1)平面應(yīng)變問題中但是，(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：——僅為xy的函數(shù)?？山茷槠矫鎽?yīng)變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。彈性力學(xué)如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題非平面問題彈性力學(xué)3.平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)需建立三個方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；彈性力學(xué)兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題幾何特征受力特征應(yīng)力特征幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。上節(jié)課小結(jié)：外力、應(yīng)力、形變、位移?；炯俣ǎ海?）連續(xù)性假定；（2）線彈性假定；（3）均勻性假定；（4）各向同性假定；（5）小變形假定。（注意：剪應(yīng)力正負(fù)號規(guī)定）（掌握這些假定的作用）基本概念：彈性力學(xué)§2-2平衡微分方程PBACxyO取微元體PABC（P點附近），DXYZ方向取單位長度。設(shè)P點應(yīng)力已知：體力：X，YAC面：BC面：注：

這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。彈性力學(xué)PBACxyODXY由微元體PABC平衡，得整理得：當(dāng)時，有——剪應(yīng)力互等定理彈性力學(xué)PBACxyODXY兩邊同除以dxdy，并整理得：兩邊同除以dxdy，并整理得：彈性力學(xué)平面問題的平衡微分方程：（2-2）說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：——超靜定問題，需找補充方程才能求解。（2）對于平面應(yīng)變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對整個彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。PBACxyODXY彈性力學(xué)§2-3斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力1.斜面上的應(yīng)力（1）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN設(shè)P點的應(yīng)力分量已知：斜面AB上的應(yīng)力矢量:s斜面外法線N的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：

由微元體平衡：

整理得：

（2-3）整理得：

（2-4）外法線

彈性力學(xué)xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力（2-3）（2-4）將式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（2-5）（2-6）說明：（1）運用了剪應(yīng)力互等定理：（2）的正負(fù)號規(guī)定：將N轉(zhuǎn)動90°而到達(dá)的方向是順時針的，則該為正；反之為負(fù)?！我庑苯孛嫔蠎?yīng)力計算公式（3）若AB面為物體的邊界S，則（2-18）——平面問題的應(yīng)力邊界條件彈性力學(xué)2.一點的主應(yīng)力與應(yīng)力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主應(yīng)力若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點一個主應(yīng)力；當(dāng)時，有求解得：（2-7）——平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計算公式彈性力學(xué)主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；由式（2-7）易得：——平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力第一不變量（2）應(yīng)力主向設(shè)σ1與x軸的夾角為α1，σ1與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l1、m1，則

設(shè)σ2與x軸的夾角為α2，σ2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為l2、m2，則彈性力學(xué)應(yīng)力主向的計算公式：（2-8）由得顯然有表明：σ1與σ2互相垂直。結(jié)論任一點P，一定存在兩

互相垂直的主應(yīng)力σ1、σ2。（3）σN的主應(yīng)力表示xyOsdxdydsPABN由σ1與σ2分別為最大和最小應(yīng)力。彈性力學(xué)（4）最大、最小剪應(yīng)力由顯然，當(dāng)時，τN為最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs彈性力學(xué)小結(jié)：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）——廟平蜘面問嗽題的坦應(yīng)力綱邊界妖條件（1械）斜娘面上荒的應(yīng)耐力彈敏性扎力游學(xué)（2-8）表明廁：σ1與σ2互相矛垂直裹。（2哀）一革點的鑄主應(yīng)京力、會應(yīng)力召主向差、最乖大最老小應(yīng)簽力（2-7）τma性x、τmi毒n的方袋向與σ1（σ2）成4淺5°孤。彈燈性玩力間學(xué)§2煎-4蝴幾何劉方程棉剛駁體位炒移建立臉：平歷面問雜題中瞇應(yīng)變丘與位狠移的羞關(guān)系——引幾攀何方感程1.護幾遙何方竿程一點腐的變助形線段鼻的伸識長或住縮短糾；線段澆間的瀉相對埋轉(zhuǎn)動雙；xyOP考察P點鄰抄域內(nèi)騾線段灘的變宣形：AdxBdyuv變形林前變形胃后PABuv注：辮這里茄略去句了二供階以透上高暫階無聰窮小龜量。彈男性文力習(xí)學(xué)xyOPAdxBdyuvPA的正議應(yīng)變拾：PB的正技應(yīng)變爬：P點的緒剪應(yīng)跑變：P點兩詠直角緒線段請夾角賽的變捷化彈漫性吳力箭學(xué)xyOPAdxBdyuv整理膊得：——罵幾何山方程（2關(guān)-9碑）說明伐：（1溉）反映吧任一小點的創(chuàng)位移等與該果點應(yīng)饞變間覽的關(guān)維系，譽是彈漲性力田學(xué)的膝基本剖方程鍛之一抹。（2像）當(dāng)u、v

已知，則可完全確定；反之，已知，不能確定u、v。（∵仰積分陶需要照確定肝積分獵常數(shù)論，由諸邊界紛條件夢決定貓。）（3疤）——許以礎(chǔ)兩線麗段夾南角減恭小為拖正，奏增大樣為負(fù)言。彈歲性遙力叔學(xué)2.掃剛錘體位燒移物體予無變冠形，們只有疼剛體汪位移梢。鍛即：(a止)(b懇)(c隱)由(怎a)腿、(緒b)油可求響得：(d嗽)將(群d)摔代入樂(c顛)，念得：或?qū)懩愠桑骸呱蠟I式中日，左舒邊僅滋為y的函葵數(shù)，椒右邊革僅x的函勇數(shù)，蔥∴兩攀邊只酬能等極于同徹一常暢數(shù)，借即(d旱)積分駕(e道)材，得美：(e每)其中鑄，u0、v0為積肝分常方數(shù)。組（x、y方向奶的剛童體位磚移）櫻，代責(zé)入（潮d）夠得:(2鑰-1兵0)——鉆剛體看位移排表達(dá)井式彈墻性憤力阻學(xué)討論掉：(2-10)——剛體位移表達(dá)式（1彎）僅有x方向憐平移裹。（2決）僅有y方向立平移恨。（3秘）xyOPyxr說明具：——啦P點沿字切向鎖繞O點轉(zhuǎn)響動ω——繞O點轉(zhuǎn)獄過的談角度終（剛劫性轉(zhuǎn)戀動）彈塑性飾力負(fù)學(xué)§2裹-5睛斜方臭向的妹應(yīng)變艘及位峽移1.喪斜薪方向罷的正嘗應(yīng)變εN問題沾：已知，求任意方向的線應(yīng)變εN和線段夾角的變化。xyOP(x,y)N設(shè)P點的雀坐標(biāo)睬為(x，y)，N點的充坐標(biāo)潔為（x+dx，y+dy），PN的長選度為dr，PN的方追向余該弦為談：于是PN在坐肯標(biāo)軸統(tǒng)上的褲投影脆為：P1N1N點位壟移：變形認(rèn)后的P1N1在坐驚標(biāo)方卷向的專投影柄：設(shè)PN變形晉后的熱長度P1N1=dr滑′，厘P碗N方向歉的應(yīng)王變?yōu)棣臢，由應(yīng)題變的角定義銹：vu彈佛性戀力智學(xué)兩邊管同除釋以(dr)2，得化開六上式安，并賠將的二犯次項圍略去堆，有xyOP(x,y)NvuP1N1dr彈平性魂力符學(xué)（2降-1喂1）2.驅(qū)P訊點兩爐線段歡夾角病的改母變1xyOvuP(x,y)NP1N1變形禮前：PN的方墊向余議弦PN享′的方蠢向余童弦變形列后：P1N1的方巾向余濁弦P1N1′的方茫向余甘弦彈閥性滲力山學(xué)2.P點兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN的方向余弦PN′的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′的方向余弦利用：化簡切，得賣：略去默二階介小量芹；彈騾性川力覽學(xué)2.P點兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦同理項，得蘭：PN與PN′變艦形后瓣的夾產(chǎn)角改痰變?yōu)檠ǎ捍胨?，并俘利用絨：并略陜?nèi)ジ呖螂A小暴量，嶄有彈核性持力福學(xué)2.P點兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NP1N1變形前：PN的方向余弦PN′的方向余弦變形后：P1N1

的方向余弦P1N1′的方向余弦PN與PN′變形后的夾角改變?yōu)椋海?甘-1命2）從中貪求出突變形王后兩增線段轉(zhuǎn)間的府夾角進一絮步求臥出3.擾斜層方向謀應(yīng)變籃公式屆的應(yīng)談用彈洽性買力活學(xué)3.緣瑞斜酒方向褲應(yīng)變泊公式翠的應(yīng)搬用（1護）已知一點的應(yīng)變，可計算任意方向的應(yīng)變。的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)變方向等。（2兵）已知一點任意三方向的應(yīng)變，可求得該點的應(yīng)變分量。xy45°若察用45府°應(yīng)變迷花測坡構(gòu)件金表面帽應(yīng)變錢：彈霸性逝力醒學(xué)若童用12歸0°應(yīng)變亡花測溪構(gòu)件逝表面口應(yīng)變杏，即膠：xy求得葡該點得的應(yīng)據(jù)變分依量:作為魄作業(yè)栽！彈占性利力稍學(xué)§2拋-6彩物理償方程建立藝：平面村問題番中應(yīng)懼力與設(shè)應(yīng)變狐的關(guān)擔(dān)系物理房誠方程碰也稱安：本巧構(gòu)方波程、并本構(gòu)懶關(guān)系敵、物象性方材程。1.呀各音向同隆性彈肺性體架的物筒理方題程在完裙全彈厲性和作各向戶同性妙的情討況下分，物權(quán)性方護程即憤為材頭料力炭學(xué)中唱的廣義?；⒖巳猓℉犧oo聚ke武）定訴律。（2請-1壇3）其中野：E為拉聚壓彈前性模梯量；G為剪末切彈鎮(zhèn)性模戚量；μ為側(cè)決向收態(tài)縮系候數(shù)，副又稱染泊松綁比。彈佳性葡力慕學(xué)（1鍛）平僚面應(yīng)吃力問須題的傻物理住方程由于晨平面竄應(yīng)力壞問題中（2熊-1恨5）——平面皆應(yīng)力坑問題漸的物慕理方斧程注：(1拼)(2拍)——近物心理方敘程的乏另一掠形式彈紫性畏力逐學(xué)（2漆）平口面應(yīng)薯變問包題的降物理物方程由于懇平面風(fēng)應(yīng)變園問題中（2魂-1柳6）——平面鑄應(yīng)變居問題痰的物間理方創(chuàng)程注：(2阻)平面溪應(yīng)變傷問題蛇物隨理方牙程的墊另一隨形式特：由式邊（2聽-1爛3）臉第三投式，窯得（2-13）(1)平面應(yīng)變問題中，但？彈豈性項力添學(xué)（3糞）兩樸類平烤面問還題物里理方標(biāo)程的嶄轉(zhuǎn)換攪：（2-16）——平面應(yīng)變問題的物理方程——平面應(yīng)力問題的物理方程（2-15）(1身)平面膨應(yīng)力題問題平面捐應(yīng)變腹問題材料留常數(shù)浸的轉(zhuǎn)粥換為半：(2障)平面查應(yīng)變新問題平面桶應(yīng)力鼻問題材料乏常數(shù)未的轉(zhuǎn)旦換為她：彈匯性鳥力羅學(xué)§2宿-7跪邊界匯條件1.拐彈滅性力扶學(xué)平蠶面問收題的辰基本褲方程（1罵）平賽衡方鉗程：（2盲-2塵）（2支）幾院何方論程：（2茶-9森）（3獄）物窩理方揮程：（2-15）未知危量數(shù)虎：8個方程伏數(shù)：8個結(jié)論覆：在適膀當(dāng)?shù)挠柽吔鐭龡l件尋下，智上述碼8個六方程顏可解創(chuàng)。彈羅性絮力迫學(xué)2.岸邊夾界條賓件及拾其分母類邊界黃條件刑：建立掘邊界屯上的抖物理悼量與碗內(nèi)部舊物理略量間毯的關(guān)瘡系。xyOqP是力滔學(xué)計火算模注型建粘立的偷重要意環(huán)節(jié)膠。邊界售分類（1鋤）位屠移邊司界（2瘡）應(yīng)茄力邊災(zāi)界（3星）混贊合邊營界——三類私邊界（1氏）位飄移邊兼界條婦件位移體分量歌已知吸的邊鑰界史——篩位桌移邊皮界用us

、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：（2擇-1元7）——平面箏問題古的位暫移邊用界條才件說明膝：稱為乎固定公位移觸邊界敞。彈壟性均力亮學(xué)xyOqP（2掩）應(yīng)誤力邊件界條辜件給定面力分量邊界——應(yīng)力邊界xyOdxdydsPABXNYNN由前責(zé)面斜都面的故應(yīng)力搬分析里，得式中付?。旱玫街椋海?苦-1窗8）式中盈：l、m為邊捕界外瘡法線援關(guān)于x、y軸的孩方向堅余弦票。如尋：——平面中問題即的應(yīng)糟力邊陸界條需件垂直x軸的愚邊界挎：垂直y軸的棋邊界即：彈孫性表力集學(xué)例1如圖達(dá)所示盒，試賄寫出切其邊涼界條籃件。xyahhq(1僚)(2旦)(3樂)(4沒)說明昨：x=博0癥的邊械界條捧件，鏡是有釘矛盾稿的。翅由此濕只能離求出怒結(jié)果陷：彈爆性窯力澤學(xué)第二寫章內(nèi)踢容回交顧：1.兩類里平面耽問題鬧：平面齊應(yīng)力通問題平面曲應(yīng)變桑問題幾何謙特征升;受力膊特征送;應(yīng)力特征辯。幾何遠(yuǎn)特征柳;受力纖特征日;應(yīng)變特征妥。xyyztba水壩滾柱彈漁性忽力朽學(xué)——沿位移洞邊界典條件2.平面主問題戲的基忙本方碌程：（1資）平室衡方揭程：（2桑-2訓(xùn)）（2徐）幾丹何方堅程：（2濾-9箭）（3判）物得理方伐程：（2-15）（4陵）邊蔥界條咳件：（1跟）（2獄）——胡應(yīng)力穩(wěn)邊界楊條件——喚平面伏應(yīng)力棒問題彈砌性包力等學(xué)例2如圖塵所示依，試強寫出著其邊薪界條揭件。(1鼻)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入記邊界絮條件誤公式娘，有(2頭)BC段（x=l）：(3曠)AC段（y=xta舒nβ）:N彈攀性旱力忙學(xué)例3圖示光水壩姐，試唱寫出江其邊鮮界條寄件。左側(cè)敢面：由應(yīng)匯力邊大界條料件公盞式，催有右側(cè)滋面：彈半性芳力衫學(xué)例4圖示彈薄板渣，在y方向估受均掌勻拉斬力作朗用，扎證明肢在板籃中間尿突出勉部分鮮的尖葛點A處無拋應(yīng)力譜存在訊。解：——平面河應(yīng)力抵問題碗，在AC、AB邊界素上無厭面力為作用擱。即AB邊界齊：由應(yīng)森力邊校界條池件公蠢式，兩有（1泡）AC邊界嘗：代入勇應(yīng)力燒邊界滿條件點公式貓，有（2窩）∵A點同陰處于AB和AC的邊冠界，蜘∴滿轎足式星（1靠）和霸（2疾），參解得∴A點處滲無應(yīng)憐力作舍用彈盲性聞力何學(xué)例5圖示率楔形跳體，良試寫柿出其豎邊界格條件時。圖示棚構(gòu)件貍，試指寫出及其邊超界條沃件。例6彈膛性霸力憲學(xué)例5圖示臺楔形榜體，滾試寫朱出其餅邊界費條件純。上側(cè)抄：下側(cè)稱：彈希性譜力賓學(xué)圖示鄭構(gòu)件節(jié)，試慌寫出醬其應(yīng)氏力邊棗界條抽件。例6上側(cè)基：下側(cè)電：N彈紡性摧力挖學(xué)（3絮）混谷合邊卡界條懇件(1宣)物體伍上的垂一部修分邊滲界為干位移察邊界虧，另早一部逝為應(yīng)崖力邊蓮界。(2禽)物體搖的同腳一部稿分邊咱界上縫，其抹中一防個為臣位移憤邊界裂條件嗎，另膀一為趕應(yīng)力跳邊界仔條件丟。如土：圖(a叼)：——陰位賤移邊豎界條爸件——半應(yīng)陵力邊甲界條念件圖(b綱)：——蒼位濕移邊逮界條亞件——樓應(yīng)離力邊葵界條翁件彈丹性涉力羅學(xué)平面絲式問題您的基茫本方箏程1.紹平庸衡微揭分方環(huán)程（2鞠-2翁）2.洪幾何院方程（2娘-9保）3.忌物理健方程（平原面應(yīng)飄力問瓜題）（2-15）4.泡邊界敞條件位移體：（2-17）應(yīng)力夠：（2烏-1長8）彈籮性大力隱學(xué)§2眾-8芒圣評維南護原理問題廢的提張出：PPP求解蹲彈性眨力學(xué)小問題環(huán)時，遵使應(yīng)愧力分據(jù)量、悔形變盜分量超、位吸移分底量完呼全滿曉足8察個基祥本方陶程相物對容光易，拒但要屆使邊唐界條狠件完福全滿刮足，塵往往如很困犁難。如圖駝所示忍，其資力的判作用績點處鑄的邊賽界條貧件無畢法列夏寫。1.幟靜烘力等軌效的護概念兩個燃力系窄，若因它們旺的主提矢量痰、主飽矩相事等，亂則兩唐個力差系為問靜力頂?shù)刃вX力系反。這種店等效粘只是謝從平得衡的板觀點處而言市的，搭對剛山體來擱而言饅完全笑正確找，但伯對變秩形體福而言慢一般萄是不暖等效貸的。彈煎性涉力雙學(xué)2.圣維奧南原陳理(S拜ai迷nt剃-V朽en螞an秒t升Pr足in狹ci勝pl圣e)原理杠：若把紙物體最的一售小部顫分邊忙界上致的面疊力，南變換標(biāo)為分直布不類同但拳靜力亮等效悶的面裹力，鏟則近腹處的書應(yīng)力蓬分布死將有圣顯著周改變?nèi)?，而矮遠(yuǎn)處丙所受均的影雙響可嶼忽略錦不計嗚。PPPP/2P/2彈夸性倚力澇學(xué)3.圣維醒南原諸理的作應(yīng)用(1篇)對復(fù)雜漂的力茄邊界，用碧靜力英等效位的分偉布面尸力代拋替。(2竟)有些位移就邊界不易惕滿足燈時，滿也可物用靜乞力等效效的廈分布謎面力霞代替逐。注意眠事項惠：(1逐)必須淹滿足靜力喂等效條件格；(2繡)只能愛在次要六邊界弄上用圣件維南巴原理運，在主要丈邊界上不逃能使什用。如：AB主要邊界P次要邊界彈刷性筐力萌學(xué)例7圖示熟矩形滋截面豈水壩磨，其拋右側(cè)階受靜稈水壓狐力，殘頂部遍受集值中力襯作用候。試溜寫出鍵水壩病的應(yīng)盼力邊嫌界條睡件。左側(cè)擾面：代入組應(yīng)力絞邊界內(nèi)條件筐公式右側(cè)亂面：代入筐應(yīng)力拒邊界倡條件爬公式田，有上端聚面：為次唱要邊乓界，鉛可由茂圣維鞏南原數(shù)理求賴解。y方向吳力等畜效：對O點的木力矩牽等效帶：x方向巡壽力等屋效：注意磚：必須侍按正減向假甘設(shè)！彈馬性獵力敗學(xué)xy上端勤面：（方膝法2巖）取圖花示微倚元體夫，可見露，與葬前面樸結(jié)果犯相同警。注意：必須按正向假設(shè)！由微毅元體集的平鑒衡求笛得，彈差性食力庭學(xué)§2抽-9屈按罪位移股求解機平面書問題1.彈性吹力學(xué)驢平面徑問題侮的基血本方塔程（1士）平沸衡方啦程：（2厚-2蘋）（2叨）幾圖何方沃程：（2迅-9羽）（3腸）物醒理方滿程：（2-15）（4閉）邊盈界條甩件：（1乏）（2勿）彈邀性幟力免學(xué)2.彈性為力學(xué)評問題低的求扯解方負(fù)法（1扮）按植位移孤求解殿（位寶移法蜻、剛續(xù)度法調(diào)）以u、v為基牛本未伙知函沃?jǐn)?shù)，侮將平耽衡方黎程和瞞邊界百條件懼都用u、v表示跟，并者求出u、v，再由兆幾何估方程私、物賭理方嘩程求劈燕出應(yīng)器力與刪形變四分量劇。（2劃）按醋應(yīng)力皮求解朝（力決法，條柔度攀法）以應(yīng)力表分量為基袋本未喪知函惱數(shù)，威將所最有方切程都赴用應(yīng)力關(guān)分量表示癥，并匯求出應(yīng)力易分量針，再由勸幾何毀方程仿、物瘦理方本程求開出形贊變分霧量與能位移幫。（3見）混竹合求攝解以部鵲分位移蘿分量和部飯分應(yīng)力擦分量為基妙本未述知函冰數(shù)，腥將，爭并求哲出這般些未雀知量，再求刷出其愚余未州知量舒。彈都性身力進學(xué)3.按位充移求秩解平步面問仿題的火基本占方程（1秤）將宏平衡披方程泄用位受移表遮示由應(yīng)夫變表配示的愚物理劈燕方程將幾剝何方尖程代跌入，罵有（2夏-1輛9）（a參）將式豆(a罷)代饑入平仰衡方霧程，窄化簡說有（2聽-2每0）彈尺性深力濱學(xué)（2星）將勺邊界勺條件灶用位挨移表厲示位移黑邊界場條件趨：應(yīng)力宗邊界屠條件?。海╝）將式謝（a階）代控入，情得（2怕-2星1）（2帳-1盞7）式（形2-朱20慶）、沖（2冒-1師7）城、（碌2-青21禍）構(gòu)仁成按捎位移態(tài)求解旨問題艘的基巷本方茫程說明稍：（1拌）對制平面襪應(yīng)變裹問題奏，只冬需將積式中債的E、泛μ作相普替換卻即可質(zhì)。（2證）一課般不播用于醫(yī)解析雄求解富，作慮為數(shù)惕值求錯解的筒基本淹方程控。彈栽性氧力山學(xué)（3截）按執(zhí)位移等求解捉平面副問題視的基迫本方支程（1逼）平院衡方碗程：（2農(nóng)-2橋0）（2揭）邊達(dá)界條鼻件：位移總邊界鴨條件付：（2昆-1吸7）應(yīng)力英邊界融條件訴：（2狀-2煮1）彈架性養(yǎng)力臣學(xué)§2象-1孔0灰按應(yīng)墨力求靜解平柱面問趨題輩相容煌方程1.變形婆協(xié)調(diào)鑒方程廢（相戒容方擊程）按應(yīng)撓力求讓解平氏面問護題的城未知挺函數(shù)橋：（2蔽-2布）平衡聾微分遞方程踩：2個點方程襖方程丹，3途個未狹知量鏈，為存超靜嶼定問金題。需尋也求補鞭充方梢程，從形恐變、依形變與贊應(yīng)力卸的關(guān)搜系建糠立補漆充方新程。將幾聚何方描程：（2末-9螞）作如念下運加算：彈編性倦力魄學(xué)顯然未有：（2苗-2巡壽2）——份形形變協(xié)仔調(diào)方德程（問或相進容方移程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。例：其中逮：C父為常課數(shù)。由幾庭何方這程得森：積分伴得：由幾尖何方兇程的劫第三扮式得臉：顯然嶼，此床方程上是不鎖可能估的，恨因而變不可賢能求域出滿扛足幾漢何方裝程的借解。彈頸性列力連學(xué)2.變形訂協(xié)調(diào)盯方程耳的應(yīng)攀力表飽示（1給）平祝面應(yīng)頂力情腸形將物夕理方呀程代撿入相砍容方寫程，叨得：（2-22）利用祖平衡朗方程純將上旦述化短簡：（2-15）（2-2）（a宗）將上祝述兩創(chuàng)邊相勇加：（b貍）彈著性罪力違學(xué)將路(b延)巴代入棍(壇a)戰(zhàn)，謹(jǐn)?shù)茫簩⑻鲜讲闭沓涞茫海?去-2勸3）應(yīng)力草表示災(zāi)的相溝容方訴程（2偵）平扎面應(yīng)偵變情瞇形將上式中的泊松比μ代為：，得（2勝-2濾4）（平貓面應(yīng)蛙力情忠形）應(yīng)力拍表示籠的相屢容方冷程（平熔面應(yīng)愿變情請形）注意請：當(dāng)體笛力X、Y為常甜數(shù)時辭，兩盡種平龍面問謝題的攜相容劈燕方程西相同蚊，即（2辣-2畏5）彈駁性膚力劈燕學(xué)3.按應(yīng)刃力求內(nèi)解平流面問袍題的滿基本井方程（1量）平搭衡方案程（2-2）（2猜）相附容方爆程（也形變音協(xié)調(diào)揪方程膽）（2-23）（3居）邊積界條喬件：（2-18）（平潑面應(yīng)牙力情憂形）說明往：（1激）對池位移奶邊界臺問題淋，不膊易按地應(yīng)力陡求解將。（2勻）對寺應(yīng)力從邊界雞問題頃，且膝為單叉連通忽問題嶺，滿飼足上降述方怕程的憑解是析唯一銹正確灑解。（3弱）對勉多連笨通問守題，蟻滿足籌上述噸方程零外，譯還需雕滿足糊位移呢單值鑰條件示，才非是唯釋一正災(zāi)確解昨。彈鵝性輔力露學(xué)例8下面休給出里平面脫應(yīng)力考問題碗（單乘連通脊域）舍的應(yīng)香力場僻和應(yīng)拴變場閣，試紋分別津判斷提它們鍵是否咽為可精能的柜應(yīng)力任場與梢應(yīng)變倦場（絨不計胳體力主）。（1益）（2貫）解（a堵）（b井）（1靠）將式歉（a斜）代央入平境衡方貴程：（2-2）——非滿足將式傍（a春）代袖入相氧容方恰程：∴嚇式（屯a）毫不是但一組舒可能冰的應(yīng)數(shù)力場芽。彈刪性糕力閱學(xué)例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計體力）。（1）（2）（a）（b）（2涼）解將式異（b財）代寺入應(yīng)惜變表硬示的晴相容港方程號：式（吵b）恨滿足蛛相容傲方程歷，∴虎（b輛）為俱可能證的應(yīng)還變分昏量。彈懶性型力色學(xué)式（衡a）紅滿足長相容流方程德。再驗淚證，程式（孝a）錫是否土滿足哲邊界絮條件繳？——男滿詢足——午滿足——咳近似錄滿足近似滿滿足結(jié)論結(jié)：式飽（a六）為尸正確怨解代入熟相容棄方程鍬：上、場下側(cè)酸邊界逮：右側(cè)霞邊界丑：左側(cè)俊邊界屢：彈脊性汗力院學(xué)§2膛-1別1膊常體炭力情班況下蒼的簡師化1.常體板力下濱平面曬問題連的相貍?cè)莘綈偝塘睿骸獣闫绽梗▊騆a綁pl勾ac認(rèn)e）毫算子則相沙容方水程可齡表示爸為：——伙平鏈面應(yīng)踩力情漁形——卵平已面應(yīng)燈變情虎形當(dāng)體沒力X、Y為常間數(shù)時哈，兩鈴種平鬧面問囑題的披相容肉方程塔相同柳，即或（2訓(xùn)-2頌5）彈賢性址力遞學(xué)2.常體陡力下籃平面值問題晨的基漲本方和程（1賞）平珍衡方帖程（2-2）（2斃）相撒容方滴程（政形變茂協(xié)調(diào)籃方程慶）（3鋤）邊視界條裕件（2-18）（4帳）位講移單值值條鏟件——事對斥多連有通問專題而鐘言。討論畢：（1賺）——劑L嬌ap目la畜ce劇方程魯，或稱闖調(diào)和塑方程猶。（2俘）常體明力下速，方差程中躺不含E、μ（a護）兩種平面問題，計算結(jié)果相同）不同。（但（b塑）不同焦材料葵，具摧有相獅同外充力和持邊界蛛條件己時，謊其計旗算結(jié)悶果相驗同。——緒光殊彈性捉實驗何原理須。（3論）用平蔽面應(yīng)言力試拖驗?zāi)８敌?，爬代替芽平面守?yīng)變弟試驗琴模型急，為搭實驗青應(yīng)力蠅分析巡壽提供占理論伙基礎(chǔ)勁。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。彈輝性孤力彈學(xué)3.常體薦力下頭體力哨與面傲力的助變換平衡踐方程則:相容弓方程律:邊界仔條件辯:令：常體力下，滿足的方程：(a婆)將式抓(b陽)代削入平暫衡方斜程、神相容危方程頭、邊奴界條援件，秋有(b躺)(c童)彈羨性林力出學(xué)(c)表明呢：（1瓦）變兆換后戀的平蘆衡方擔(dān)程、篩相容怎方程漠均為叛齊次牌方程丸（容掃易求只解）林；（2午）變貴換后匹問題絡(luò)的邊脂界面李力改晉變?yōu)榉牵航Y(jié)論呆：當(dāng)體力X=常數(shù)，Y=常數(shù)時，可先求解無體力而面力為：問題的解：，而原問題的解為：彈暴性第力匆學(xué)xyxy例如億：pFABCDEhh(a)圖示家深梁傳在重妹力作慎用下俯的應(yīng)霞力分炸析。原問扶題：體力蝕：邊界倒面力恒：所求志應(yīng)力咸：ABCFDEhh(b)ph2ph變換投后的閥問題資：體力寧：邊界崗面力炸：(1瞎)糞當(dāng)y=除0襖時，(2崗)緞當(dāng)y=–h時，(3樣)幼當(dāng)y=–2h時，所求墳得的絲式應(yīng)力慶：原問偶題的帽應(yīng)力彈螺性艷力意學(xué)常體雖力下民體力圈與面汪力轉(zhuǎn)巷換的年優(yōu)點猛（好只處）直：原問修題的遼求解減方程變換耗后問家題的送求解凳方程常體堤力問盾題無體攻力問廉題作用如：(1狹)方便范分析冬計算盈（齊段次方瞎程易滑求解宰）。(2著)實驗測測試劍時，噸一般物體力行不易塘施加就，可右用加呼面力妖的方憂法替削代加突體力側(cè)。注意免：面力變換公式：與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此扮，適翼當(dāng)選吹取坐堆標(biāo)系盒，可雪使面遙力表洲達(dá)式燭簡單駕。彈歌性垂力昨?qū)W本章丟前面色主要慈內(nèi)容出回顧往：1.兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題幾何特征;受力特征;應(yīng)力特征。幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。xyyztba水壩滾柱彈猛性書力部學(xué)2.平面問題的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-9）——位移邊界條件（4）邊界條件：（1）（2）——應(yīng)力邊界條件（3）物理方程：（2-15）——平面應(yīng)力問題彈植性德力拐學(xué)3.平面問題一點的應(yīng)力、應(yīng)變分析(b)主應(yīng)力與應(yīng)力主向（2-7）（2-8）(c)最大、最小剪應(yīng)力及其方向τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。(a)任意斜面上應(yīng)力或彈背性近力撈學(xué)4.圣維南原理的應(yīng)用（d）任意斜方向的線應(yīng)變（2-11）（e）一點任意兩線段夾角的改變（2-12）若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。P次要邊界彈油性茄力奮學(xué)5.平面問題的求解方法：（2-17）——位移邊界條件（2-21）——應(yīng)力邊界條件（1彈）按尖位移漫求解酸基本吃方程（2-20）——平衡方程彈錯性恢力拐學(xué)（2饅）按高應(yīng)力局求解叉平面市問題扒的基窄本方雀程（2-22）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）相容碑方程（2-23）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力扣表示絞的相優(yōu)容方副程（2-24）（平面應(yīng)變情形）（2-25）（體力X、Y為常數(shù)情形）彈踐性策力科學(xué)（1）平衡方程（2-2）（3）邊界條件：（2-18）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-23）（平面應(yīng)力情形）按應(yīng)櫻力求心解的武基本扒方程常體寒力下造可以幟簡化羽：求解爬方法妥？（兩種平面問題形式相同）（1）體力X、Y轉(zhuǎn)化為面力處理。（2）彈朱性釘力艦學(xué)§2瞧-1邊2典應(yīng)力蝴函數(shù)怪逆解桿法與怕半逆飲解法常體奴力下逝問題層的基拖本方針程：邊界造條件隔、位羽移單糞值條搖件。(a蜜)(b禁)式(a夫)為非鋼齊次完方程孤，其旅解：全解=旗齊次承方程通解1.平衡壞微分彼方程繡解的烘形式(1竊)裝特揪解常體趴力下喇特解弦形式螞：+非輩齊次搜方程段的特解。(1照)(2略)(3浙)(2矮)筐通罷解式(a劍)的齊沾次方恨程：(c輝)(d侍)的通澡解。彈鄙性喊力輩學(xué)將式匙(d委)第捏一式茄改寫漫為由微相分方慈程理柳論，詠必存表在一淡函數(shù)A(x,y)，使滑得(e彩)(f址)同理傳，將折式(碗d)特第二接式改罷寫為(g仇)(h訂)比較剩式(f)與孕(h)，抓有也必巖存在望一函堂數(shù)B(x,y)，使客得(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解。由微射分方雄程理場論，掙必存襯在一亞函數(shù)φ(x,y)，使蔑得彈薯性遇力品學(xué)(i討)(j乘)將式杰(i摘)、譽(j腦)矛代入價(e描)、姥(f和)、把(g須)、串(h箭)，溜得通解同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得(k自)彈沫性厭力償學(xué)(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解：(k)——黃對應(yīng)洪于平以衡微耐分方推程的嚼齊次繡方程損通解南。(3變)氏全匪解取特役解為圣：則其防全解地為：(2欲-2煤6)——常體汽力下煮平衡硬方程說（a或）的摩全解希。由式司（2薯-2尊6）難看：剩不管φ(x,y)是什傳么函湯數(shù)，彼都能跨滿足逃平衡運方程義。φ(x,y)汽—盞—蘿平面儀問題殖的應(yīng)默力函憲數(shù)——患Ai脊ry烘應(yīng)力謀函數(shù)彈威性弱力揀學(xué)2.相容抖方程睛的應(yīng)拜力函偉數(shù)表畜示(2-26)將式更（2偷-2腫6）鋼代入倒常體鏡力下找的相取容方雞程：(2逆-2晨5)有：注意舒到體野力X、Y為常壁量，黎有將上蜜式展苦開，型有(2些-2茫7)——應(yīng)力露函數(shù)葛表示崖的相腐容方枝程給出跡了應(yīng)適力函盜數(shù)滿菌足的貼條件排。彈竭性形力宴學(xué)2.相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示將式（2-26）代入常體力下的相容方程：(2-25)有：注意到體力X、Y為常量，有將上式展開，有(2-27)——應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。式（身2-生27花）可帳簡記課為：或：式中土：滿足呼方程孤(2刺-2炮7)屢的函邁數(shù)φ(x,y)訊稱為碗重調(diào)和和函癥數(shù)（絞或雙碎調(diào)和繞函數(shù)桑）結(jié)論華：應(yīng)力復(fù)函數(shù)φ應(yīng)為暮一重背調(diào)和航函數(shù)彈墓性佩力嚷學(xué)按應(yīng)粘力求緊解平未面問等題（X=素常量孝、Y=卷常量軍）的趁歸結(jié)須為：（1室）(2竭-2畫7)（2防）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2隔-2龜6)（3虹）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。3.應(yīng)力函數(shù)求解方法(2志-2誕8)（無四體力濃情形世）彈唱性蛾力拆學(xué)3.應(yīng)力函數(shù)求解方法（1歐）逆解演法（2）半逆解法（1學(xué)）根據(jù)民問題擴的條竄件（幾炊何形然狀、立受力達(dá)特點材、邊員界條韻件等心），假設(shè)追各種商滿足月相容惱方程緒（