測量誤差理論基本知識

關于測量誤差理論基本知識第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述1.基本概念誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之差。真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界條件。誤差產生原因：實踐表明，由于三大客觀條件的存在，對同一量進行觀測多次時，測量結果總是存在著差異。第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述1.基本概念粗差：讀錯、記錯、測錯等錯誤，統(tǒng)稱粗差。粗差在測量中不允許出現，它不屬于誤差的范疇。等精度觀測：三大客觀條件相同的觀測。不等精度觀測：三大客觀條件不同的觀測。

第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述2.誤差的分類誤差按性質分為：系統(tǒng)誤差、隨機（偶然）誤差。2.1系統(tǒng)誤差⑴定義在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，若誤差出現的符號、數值的大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑵性質系統(tǒng)誤差具有累積性。它可以通過適當的觀測方法或計算方法加以消除。第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述2.2隨機（偶然）誤差⑴定義在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，若誤差出現的大小和符號均不一致，且從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為隨機誤差。例如，估讀誤差、氣泡居中誤差、照準誤差等。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑵性質隨機誤差表面上無規(guī)律可尋，但受其內部必然規(guī)律的支配。實踐表明：對某量進行多次觀測，在只含有隨機誤差的情況下，其誤差出現統(tǒng)計學上的規(guī)律性。觀測次數越多，規(guī)律性越明顯。例如，擲硬幣，出現正反面的機會，隨次數的增多而趨于相等。

正面反面正面反面反面正面正面反面反面第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑶隨機誤差的特性①有界性在一定的觀測條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定限度。②范圍性在一定的觀測條件下，絕對值較小的隨機誤差出現的概率比絕對值較大的誤差出現的概率大。第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述③對稱性在一定的觀測條件下，絕對值相等的正、負誤差出現的概率相等。+--++-第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月④抵償性在一定的觀測條件下，同一量的等精度觀測，其隨機誤差的算術平均值，隨著觀測次數的增多而趨于0，即其中，[]為總和的意思，相當于“∑”§5-1測量誤差概述+-++--第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.學習誤差理論知識的目的了解隨機誤差的特性；正確處理觀測值，得出最可靠結果，衡量精度；用誤差理論指導實踐，規(guī)劃測量作業(yè)，達到預期精度?！?-1測量誤差概述OY(k/n/d△)X(△)第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.算術平均值在等精度觀測條件下，對某量進行多次觀測，通常取其平均值作為最后結果，認為是最可靠的。例如，對某量丈量4次，觀測值為l1，l2，l3，l4

則算術平均值為§5-2觀測值的算術平均值

若觀測n次，則第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.觀測值的改正數v改正數的定義：觀測值與算術平均值之差。即

§5-2觀測值的算術平均值

上式兩端取和有：因所以即，觀測值的改正數之和為0，它可以作為計算工作的檢核。第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂精度，即是指誤差分布的集中與離散程度，誤差分布集中，說明觀測值精度好（高），誤差分布離散，說明觀測值精度低。標準有：方差或中誤差、相對誤差、極限誤差§5-3衡量精度的標準第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差在同精度觀測條件下，對某量進行了n次觀測，得觀測值為l1,l2,……,ln，設其真誤差分別為△1，△2，……，△n，則定義該組觀測值的精度為：§5-3衡量精度的標準方差其中第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差當n有限時，用均方差，即中誤差m來衡量精度，即菲列羅公式：§5-3衡量精度的標準第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差菲列羅公式：§5-3衡量精度的標準注意：m代表一組觀測值的精度。即這組觀測值中的每一個觀測值都具有這樣的精度，或者說，同精度觀測值具有相同的精度。

△彼此并不相同，這是由于隨機誤差的性質所決定的。

m的取位，要取2-3位有效數字。

第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差例1：設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它們進行10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內角和真誤差為：第1組：

+3″、-2″、-4″、+2″、0″、-4″、+3″、+2″、-3″、-1″第2組：

0″、-1″、-7″、+2″、+1″、+1″、-8″、0″、+3″、-1″試求這兩組觀測值的中誤差，并比較精度高低?！?-3衡量精度的標準第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解：依據菲列羅公式得

m1=±2.7″m2=±3.6″故第1組觀測值精度高于第2組觀測值精度?！?-3衡量精度的標準第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月白塞爾公式：通常觀測值的真值是不知道的。如某一段距離、某一角度、某一點高程等，因此，無法計算真誤差△，因而就不能用菲列羅公式計算一組觀測值的中誤差。但是觀測量的最或是值是可求的，這時可用改正數v來計算中誤差，即用白塞爾公式計算：§5-3衡量精度的標準第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月白塞爾公式：

§5-3衡量精度的標準第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月方差與中誤差結論：已知觀測值真值時，用菲列羅公式求觀測值得中誤差；

未知觀測值真值時，用白塞爾公式求觀測值中誤差?！?-3衡量精度的標準第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差真誤差△與中誤差m都是絕對誤差。相對誤差(k)：

絕對誤差的絕對值與相應的測量成果之比，并化成1/N形式，即§5-3衡量精度的標準——相對中誤差——相對誤差第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差例2：分別丈量兩段距離，其結果為100m±0.02m和200m±0.02m，試比較其角度高低。解：兩者中誤差分別為

m1=±0.02，m2=±0.02m相對誤差為

§5-3衡量精度的標準通過比較可知，后者較前者精度高。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差例3：試比較角20°35′25″±10″和角70°20′42″±10″精度的高低。解：因為m1=m2=±10″

且角度無論大小均為兩方向讀數之差，故只要中誤差相等，說明精度相同。

§5-3衡量精度的標準第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差結論：經緯儀測角時，不能用相對誤差的概念衡量精度，相對誤差用于衡量與長度、面積、體積等有關的量。§5-3衡量精度的標準第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差根據隨機誤差的有界性可知，在一定的觀測條件下隨機誤差的絕對值不會超過一定的限度。中誤差只能代表一組觀測值的精度，而不能代表某一個觀測值的真誤差大小，但二者之間有一定的統(tǒng)計學上的關系?！?-3衡量精度的標準第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差在一系列等精度觀測誤差中：

|△|>|m|的隨機誤差出現的概率為30%|△|>2|m|的隨機誤差出現的概率為5%|△|>3|m|的隨機誤差出現的概率為0.3%§5-3衡量精度的標準第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差換言之，

|△|≤|m|的隨機誤差出現的概率為70%|△|≤2|m|的隨機誤差出現的概率為95%|△|≤3|m|的隨機誤差出現的概率為99.7%

§5-3衡量精度的標準第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差故一般認為大于3m的隨機誤差是不可能的，所以一般取3m為隨機誤差的極限誤差，即

|△極|=3|m|測量中，取2m為△的容許值△容，即

|△容|=2|m|若觀測值的隨機誤差超過2m，認為該值不可靠（但不是錯誤），應舍去不用?！?-3衡量精度的標準第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.誤差傳播定律的定義在實際工作中，某些未知量不能直接觀測而求得，而是需要用觀測值間接求得，如HB=HA+∑h中，HB是獨立觀測值h1,h2,…,hn的函數，那么就需要由觀測值的中誤差求出函數的中誤差。定義：闡述觀測值中誤差與觀測值函數中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。

§5-4誤差傳播定律

——觀測值函數的中誤差

第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用求函數中誤差的步驟①根據題意，列出函數式②求增量，即求全微分。若為線性函數，則可省略此步驟③應用誤差傳播定律求出函數中誤差第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用例1：在三角形ABC中，直接觀測了角A和角B，其中誤差分別為mA=±3″，mB=±4″，試求角C的中誤差mC

。解：①列函數式：C=180°-A-B②求增量（此步可省略）：△C=-△A-△B

③應用誤差傳播定律求mCABC?mc=±5″第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用例2：若題為已知mA=±３″，為使C角具有±5″的精度，問B角需以多高的精度觀測？分析：題中觀測量為A、B角，函數為C。ABC?第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用解題：①列函數式：C=180°-A-B②求增量（此步可省略）：③應用誤差傳播定律ABC?即，B角需以不低于±4″的精度觀測，才能使C角具有±5″的精度。第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用例3：已知水準測量中，每測站高差中誤差均為m站，由A測向B共測n站，求總高差的中誤差AB1342第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應用解：①列函數式AB1342②應用誤差傳播定律第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年