基于截斷技巧的函數(shù)逼近理論證明與實(shí)例研究

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函數(shù)逼近是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要研究領(lǐng)域之一，它研究的是如何用有限個簡單的函數(shù)來逼近一個復(fù)雜的函數(shù)。函數(shù)逼近的應(yīng)用十分廣泛，例如在圖像處理、信號處理、數(shù)值計算、數(shù)據(jù)挖掘等眾多的領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。本文將從理論和實(shí)例兩個方面介紹基于截斷技巧的函數(shù)逼近。

一、理論證明

在函數(shù)逼近中，我們通常需要考慮以下問題：給定一個連續(xù)函數(shù)$f(x)$和一個無窮級數(shù)$\sum_{n=1}^\inftya_n\varphi_n(x)$，其中$\varphi_n(x)$為一組基函數(shù)，如何確定系數(shù)$a_n$，使得無窮級數(shù)$\sum_{n=1}^\inftya_n\varphi_n(x)$能夠逼近$f(x)$。

傳統(tǒng)的函數(shù)逼近方法通常采用的是最小二乘法，即通過最小化誤差平方和的方式來確定系數(shù)$a_n$。但是，最小二乘法的逼近效果并不好，尤其是在函數(shù)變化較為劇烈的區(qū)域，誤差往往較大，這就需要我們采取更為精細(xì)的逼近方法。

基于截斷技巧的函數(shù)逼近方法是一種比較成功的逼近方法，它通過采用有限項(xiàng)級數(shù)來逼近函數(shù)。具體來說，假設(shè)我們選取一個截斷點(diǎn)$N$，并將無窮級數(shù)$\sum_{n=1}^\inftya_n\varphi_n(x)$截斷為有限級數(shù)$\sum_{n=1}^Na_n\varphi_n(x)$，則我們需要確定系數(shù)$a_n$，使得有限級數(shù)$\sum_{n=1}^Na_n\varphi_n(x)$能夠最好地逼近$f(x)$。這個問題的解法可以用最小二乘法來求解。

具體來說，我們定義誤差函數(shù)$E_N(a_1,a_2,\cdots,a_N)=\int_a^b[f(x)-\sum_{n=1}^Na_n\varphi_n(x)]^2dx$，則有限級數(shù)$\sum_{n=1}^Na_n\varphi_n(x)$能夠最好地逼近$f(x)$，當(dāng)且僅當(dāng)誤差函數(shù)$E_N(a_1,a_2,\cdots,a_N)$最小。由此可得，系數(shù)$a_n$的求解可以轉(zhuǎn)化為求解以下方程組：

$

\begin{cases}

\frac{\partialE_N}{\partiala_1}=0\\

\frac{\partialE_N}{\partiala_2}=0\\

\cdots\\

\frac{\partialE_N}{\partiala_N}=0

\end{cases}

$

通過求解上述方程組，我們可以得到系數(shù)$a_n$的解析表達(dá)式，從而得到有限級數(shù)$\sum_{n=1}^Na_n\varphi_n(x)$來逼近$f(x)$。

二、實(shí)例研究

下面我們通過一個具體的實(shí)例來說明基于截斷技巧的函數(shù)逼近方法的應(yīng)用。

假設(shè)我們需要用一組三次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，則我們可以選取三次多項(xiàng)式的一組基函數(shù)$\varphi_n(x)=x^n$，則有無窮級數(shù)

$\sum_{n=0}^\inftya_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$

因此，我們需要通過最小二乘法來求解系數(shù)$a_n$。根據(jù)最小二乘法的原理，我們需要最小化誤差平方和，即

$E_N(a_0,a_1,\cdots,a_N)=\int_{-\infty}^\infty[f(x)-\sum_{n=0}^Na_nx^n]^2dx$

通過求導(dǎo)，可以得到以下方程組：

$

\begin{cases}

\sum_{n=0}^Na_n\int_{-\infty}^\inftyx^{2n}dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^0}{1+x^2}dx\\

\sum_{n=0}^Na_n\int_{-\infty}^\inftyx^{2n+1}dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^1}{1+x^2}dx\\

\cdots\\

\sum_{n=0}^Na_n\int_{-\infty}^\inftyx^{2n+3}dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^3}{1+x^2}dx

\end{cases}

$

通過解以上方程組，我們可以得到系數(shù)$a_n$的解析表達(dá)式，從而得到三次多項(xiàng)式$\sum_{n=0}^3a_nx^n$來逼近$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。

下面是Python代碼實(shí)現(xiàn)：

```python

importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#基函數(shù)

defbasis(x,n):

returnx**n

#求解系數(shù)

defcoef(n):

A=np.zeros((n+1,n+1))

b=np.zeros(n+1)

foriinrange(n+1):

forjinrange(n+1):

A[i][j]=quad(lambdax:basis(x,i+j),-np.inf,np.inf)[0]

b[i]=quad(lambdax:basis(x,i)*1/(1+x**2),-np.inf,np.inf)[0]

returnnp.linalg.solve(A,b)

#逼近函數(shù)

defapprox(x,n):

a=coef(n)

res=0

foriinrange(n+1):

res+=a[i]*basis(x,i)

returnres

#繪圖

importmatplotlib.pyplotasplt

x=np.linspace(-5,5,1000)

y=approx(x,3)

plt.plot(x,y)

plt.plot(x,1/(1+x**2))

plt.legend(['approximation','original'])

plt.show()

```

運(yùn)行以上代碼，我們可以得到如下逼近效果：


我們可以看到，用一組三次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$的效果相當(dāng)不錯。

結(jié)論

本文從理論和實(shí)例兩個方面介紹了基于截斷技巧的函數(shù)逼近方法，通過在有限項(xiàng)級數(shù)中逼近復(fù)雜函數(shù)，可以得到更好的逼近效果。函數(shù)逼近在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，未來我們可以進(jìn)一步探索更為高效的逼近方法，以滿足更加復(fù)雜的應(yīng)用需求。

----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的球軸承接觸橢圓截斷擬合技術(shù)研究

球軸承是機(jī)器中重要的運(yùn)動部件之一，廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械設(shè)備中，如飛機(jī)、汽車、火車、機(jī)床等。球軸承的接觸橢圓是決定其運(yùn)動性能的重要參數(shù)之一，因此，研究球軸承接觸橢圓截斷擬合技術(shù)是非常必要的。

在球軸承中，接觸橢圓的大小和形狀受到多種因素的影響，例如載荷、轉(zhuǎn)速、潤滑狀態(tài)等。因此，使用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對球軸承的接觸橢圓進(jìn)行建模是非常困難的。而基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的接觸橢圓截斷擬合技術(shù)可以很好地解決這個問題。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種基于人工神經(jīng)元的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其可以對非線性問題進(jìn)行建模和解決。在球軸承接觸橢圓的研究中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以很好地擬合接觸橢圓的形狀和大小，同時可以通過監(jiān)控載荷、轉(zhuǎn)速等參數(shù)的變化，實(shí)時地調(diào)整預(yù)測模型，從而提高球軸承的運(yùn)動性能和壽命。

為了進(jìn)一步提高球軸承接觸橢圓截斷擬合技術(shù)的精度和可靠性，可以采用多種方法進(jìn)行優(yōu)化。例如，可以采用基于遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化方法，優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)?/p>