專題50 正態(tài)分布（原卷版）

專題50正態(tài)分布【題型歸納目錄】題型一：正態(tài)密度函數(shù)題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)題型三：正態(tài)曲線概率的計算題型四：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)題型五：正態(tài)分布的實際應(yīng)用題型六：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用【考點預(yù)測】知識點一、正態(tài)曲線1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙知識點二、正態(tài)分布1、定義隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計．2、原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．【方法技巧與總結(jié)】1、在解決有關(guān)問題時，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況．2、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．（2）將待求問題向，，這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．3、假設(shè)檢驗的思想（1）統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測的個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．（2）若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說明不服從正態(tài)分布．（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過應(yīng)注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，也有犯錯的可能性．【典例例題】題型一：正態(tài)密度函數(shù)例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，例2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知連續(xù)型隨機變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)例3．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三（理））已知正態(tài)分布密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說法不正確的是A．曲線與軸之間的面積為1B．曲線在處達(dá)到峰值C．當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移D．當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”變式1．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）海頭高級中學(xué)高二年級組織了一次調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?00B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在90分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在130分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在70分以下的人數(shù)大致相同D．這次考試的數(shù)學(xué)成績方差為10【方法技巧與總結(jié)】求正態(tài)曲線的兩個方法（1）圖解法：明確頂點坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值，縱坐標(biāo)為．（2）待定系數(shù)法：求出，便可．題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)例4．（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．例5．（2022·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）某地組織普通高中數(shù)學(xué)競賽.初賽共有20000名學(xué)生參賽，統(tǒng)計得考試成績（滿分150分）服從正態(tài)分布.考試成績140分及以上者可以進(jìn)入決賽.本次考試可以進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為（

）附：.A．26 B．52 C．456 D．13例6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越大，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等變式2．（多選題）（2022·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（

）A．越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大B．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50的概率為0.5C．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50.01的概率與小于49.99的概率相等D．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等【方法技巧與總結(jié)】（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；題型三：正態(tài)曲線概率的計算例7．（2022·浙江邵外高三階段練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（多選題）（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．變式4．（多選題）（2022·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）.（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機取一件，．A．B．C．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599變式5．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）已知隨機變量服從正態(tài)分布，，，則的最小值為____________．變式6．（2022·江蘇·淮安市欽工中學(xué)高三階段練習(xí)）某地有6000名學(xué)生參加考試，考試后數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計該地學(xué)生數(shù)學(xué)成績在130分以上的人數(shù)為___________.變式7．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）某品牌手機的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．變式8．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知某次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從這次考試隨機抽取3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，則這3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在內(nèi)的概率為_____．【方法技巧與總結(jié)】1、正態(tài)分布下兩類常見的概率計算（1）利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，曲線與軸之間的面積為1．（2）利用原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于，，中的哪一個．2、正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略（1）充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與軸之間面積為1．（2）熟記，，的值．題型四：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，若，則的最小值為__________.例11．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則_________．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量，若，則________.變式9．（多選題）（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知隨機變量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．函數(shù)的最大值為1 D．的正態(tài)曲線關(guān)于對稱變式10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，，，且，又，則實數(shù)（

）A．0 B． C． D．變式11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量，且對任意，，則（

）A． B． C． D．變式12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則a的值為（

）A． B．1 C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】①；②；③若，則．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于軸對稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于軸對稱．題型五：正態(tài)分布的實際應(yīng)用例13．（2022·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）某校高三年級有500名學(xué)生，一次考試的語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布表如下：數(shù)學(xué)成績頻率0.160.1680.480.160.032(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：若，則，，.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為應(yīng)對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標(biāo)”企業(yè)：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數(shù)56912864(1)假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，.試估計這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)；(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標(biāo)”企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計劃在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：若X~，則，，.）例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某共享單車集團(tuán)為了進(jìn)行項目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)（假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算），取，若該城市恰有1萬個用戶，試估計這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人，其中月使用次數(shù)在的有Y人，記“事件”的概率為，其中，1，2，…，10，當(dāng)最大時，求k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.變式13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚a(chǎn)品尺寸/mm[76，78.5](78.5，79](79，79.5](79.5，80.5]件數(shù)4272780產(chǎn)品尺寸/mm(80.5，81](81，81.5](81.5，83]件數(shù)36206根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．，，．(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費10元/件，次品檢測費15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．變式14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列，為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個．現(xiàn)從這7個零件中隨機抽取3個．記表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個零件是否合格相互獨立．現(xiàn)任取6個零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅成功．求技術(shù)攻堅成功的概率及的方差；(3)若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑X~N（9，0.04），從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于9.4nm的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．變式15．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎競賽（滿分100分），競賽獎勵規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等笑，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以黨為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（ⅰ）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ⅱ）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．變式16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著時代發(fā)展和社會進(jìn)步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一．當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分．已知某市2021年共有10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績（滿分視為100分）作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：筆試成績X人數(shù)5153530105(1)假定筆試成績不低于90分為優(yōu)秀，若從上述樣本中筆試成績不低于80分的考生里隨機抽取2人，求至少有1人筆試成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；(2)由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為100名樣本考生筆試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），，據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績不低于82.4的人數(shù)（結(jié)果四舍五入精確到個位）；(3)考生甲為提升綜合素養(yǎng)報名參加了某拓展知識競賽，該競賽要回答3道題，前兩題是哲學(xué)知識，每道題答對得3分，答錯得0分；最后一題是心理學(xué)知識，答對得4分，答錯得0分．已知考生甲答對前兩題的概率都是，答對最后一題的概率為，且每道題答對與否相互獨立，求考生甲的總得分Y的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．）變式17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）每年4月15口為全民國家安全教育日，某地教育部門組織大學(xué)生“國家安全”知識競賽．已知當(dāng)?shù)刂挥屑?、乙兩所大學(xué)，且兩校學(xué)生人數(shù)相等，甲大學(xué)學(xué)生的競賽成績服從正態(tài)分布，乙大學(xué)學(xué)生的競賽成績服從正態(tài)分布．(1)從甲大學(xué)中隨機抽取5名學(xué)生，每名學(xué)生的競賽成績相互獨立，設(shè)其中競賽成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)從兩所大學(xué)所有學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生競賽成績在內(nèi)的概率；(3)記這次競賽所有大學(xué)生的成績?yōu)殡S機變量，并用正態(tài)分布來近似描述的分布，根據(jù)（2）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值．（的值精確到0.1）附：若隨機變量，則，．題型六：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用例16．（2022·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時，，．例17．（2022·四川·石室中學(xué)三模（理））2021年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.例18．（2022·甘肅省民樂縣第一中學(xué)三模（理））已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨立的，且每個學(xué)生在每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機變量，令，則．當(dāng)時，對于任意實數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習(xí)時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？變式18．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（理））“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.某單位準(zhǔn)備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用300名職員，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.本次招聘考試的命題和組考非?？茖W(xué)，是一次成功的考試，考試成績服從正態(tài)分布.考試后考生成績的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：考試平均成績是180分，360分及其以上的高分考生30名.（1）求最低錄取分?jǐn)?shù)(結(jié)果保留為整數(shù))；（2）考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？請說明理由.參考資料：（1）當(dāng)時，令，則.（2）當(dāng)時，，，，.變式19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若，令，則，且．（ⅰ）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·山西長治·高三階段練習(xí)）若隨機變量從正態(tài)分布，則，．現(xiàn)有40000人參加語文考試，成績大致服從正態(tài)分布，則可估計本次語文成績在116分以上的學(xué)生人數(shù)為（

）A．3640 B．1820 C．910 D．4552．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）已知某地區(qū)成年女性身高(單位：cm)近似服從正態(tài)分布，且，則隨機抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過162cm的人數(shù)大約為（

）A．200 B．400 C．600 D．7003．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知隨機變量，則的值約為（

）附：若，則，，A． B． C． D．4．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（理））某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績采用分層抽樣的方式抽取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為（

）A．60 B．40 C．30 D．155．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取10個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．現(xiàn)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，則的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.6826 B．0.3174 C．0.9544 D．0.04566．（2022·全國·長垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量M服從正態(tài)分布，且函數(shù)沒有零點的概率為，函數(shù)有兩個零點的概率為，若，則（

）A．17 B．10 C．9 D．不能確定8．（2022·廣東·順德一中高三階段練習(xí)）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率論中有一個重要的結(jié)論：若隨機變量，當(dāng)充分大時，二項隨機變量可以由正態(tài)隨機變量來近似地替代，且正態(tài)隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗在1733年證明了時這個結(jié)論是成立的，法國數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家拉普拉斯在1812年證明了這個結(jié)論對任意的實數(shù)都成立，因此，人們把這個結(jié)論稱為棣莫弗一拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣900次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于420次的概率為（

）附：若，則，A． B． C． D．二、多選題9．（2022·江蘇·句容碧桂園學(xué)校高三開學(xué)考試）下列說法正確的有（

）．A．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為B．若隨機變量，則方差C．若隨機變量，，則D．已如隨機變量X的分布列為，則10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大11．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知隨機變量，隨機變量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）趙先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5min．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布，下車后從公交站步行到公司要12min；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到公司要5min．從統(tǒng)計的角度，下列說法中正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A．若8：00出門，則乘坐公交上班不會遲到B．若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D．若8：12出門，則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到三、填空題13．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））記（k，b為實常數(shù)），若，，則__________.14．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為____________．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）柯西分布(Cauchydistribution)是一個數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機變量服從柯西分布為，其中當(dāng)，時的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則________.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某省2021年開始將全面實施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A，B，C，D，E共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分．假設(shè)該省此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分Y服從正態(tài)分布．若，令，則．請解決下列問題：若以此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分D等級的最低分為實施分層教學(xué)的劃線分，試估計該劃線分大約為__________分（結(jié)果保留1位小數(shù)）附：若，．四、解答題17．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）鹽水選種是古代勞動人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測定，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和.(1)若將這批種子的密度測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)互相獨立）；(3)若該品種種子的密度，任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設(shè)隨機變量，則.18．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三階段練習(xí)）目前，教師職業(yè)越來越受青睞，