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文檔簡(jiǎn)介
3.6直線和圓的位置關(guān)系導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第三章圓第2課時(shí)切線的判定及三角形的內(nèi)切圓直線與圓的位置關(guān)系有幾種直線和圓相交相交dr;d
r;直線和圓相切直線和圓相離dr;<=>相離相切如果直線l是⊙O的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),那么半徑OA與l垂直嗎?∵直線l是⊙O的切線
性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑?!鄨A心O到直線l的距離等于半徑∴l(xiāng)⊥OA
∴OA是圓心O到直線l的距離●OAl思考:OABC問(wèn)題:已知圓O上一點(diǎn)A,怎樣根據(jù)圓的切線定義過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線?觀察:(1)圓心O到直線AB的距離
和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?(2)二者位置有什么關(guān)系?為什么?講授新課切線的判定定理一O經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC
⊥
OA于ABC為⊙O的切線OABC切線的判定定理應(yīng)用格式O判一判:下列各直線是不是圓的切線?如果不是,請(qǐng)說(shuō)明為什么?O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是,因?yàn)闆](méi)有垂直.(2),(3)不是,因?yàn)闆](méi)有經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)A.
在此定理中,“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”,兩個(gè)條件缺一不可,否則就不是圓的切線.注意判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法:1.定義法:直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),我們說(shuō)這條直線是圓的切線;要點(diǎn)歸納2.數(shù)量關(guān)系法:圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí),直線與圓相切;3.判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd例1已知:直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB.求證:直線AB是⊙O的切線.OBAC分析:由于AB過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,所以連接OC,只要證明AB⊥OC即可.
證明:連接OC(如圖).
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.典例精析
例2
如圖,△ABC
中,AB
=AC
,O是BC的中點(diǎn),⊙O
與AB
相切于E.求證:AC
是⊙O的切線.BOCEA分析:根據(jù)切線的判定定理,要證明AC是⊙O的切線,只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了,而OE是⊙O的半徑,因此只需要證明OF=OE.F證明:連接OE,OA,過(guò)O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E
,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB=AC,
O是BC的中點(diǎn).∴AO平分∠BAC,F(xiàn)BOCEA∴OE=OF.∵OE是⊙O半徑,OF=OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線.又OE⊥AB,OF⊥AC.
(1)
有交點(diǎn),連半徑,證垂直;
(2)
無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑.要點(diǎn)歸納證切線時(shí)輔助線的添加方法例1例2有切線時(shí)常用輔助線添加方法
(1)見(jiàn)切點(diǎn),連半徑,得垂直.切線的其他重要結(jié)論
(1)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.問(wèn)題1
一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,使截出的圓與三角形各邊都相切呢?ABCABC三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心二問(wèn)題2
如何作圓,使它和已知三角形的各邊都相切?已知:△ABC.求作:和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法:1.作∠B和∠C的平分線BM和CN,交點(diǎn)為O.2.過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC,垂足為D.3.以O(shè)為圓心,OD為半徑作圓O.⊙O就是所求的圓.1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.B2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.4.三角形的內(nèi)心就是三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).┐ACO┐┐DEF3.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,△ABC是⊙O的外切三角形.概念學(xué)習(xí)名稱確定方法圖形性質(zhì)外心:三角形外接圓的圓心內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部.三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等;2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部.填一填:ABOABCO
1.判斷下列命題是否正確.
⑴
經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線.
⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.
⑶過(guò)直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.
⑷和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.
⑸過(guò)直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.(×)(×)(√)(√)(√)當(dāng)堂練習(xí)證明:連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB,∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE為⊙O的切線.2.如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交邊BC于P,PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.OABCEP拓展提升:直角三角形的兩直角邊分別是3cm,4cm,試問(wèn):(1)它的外接圓半徑是
cm;內(nèi)切圓半徑是
cm?(2)若移動(dòng)點(diǎn)O的位置,使⊙O保持與△ABC的邊AC、BC都相切,求⊙O的半徑r的取值范圍.·ABCEDFO51解:如圖所示,設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點(diǎn)分別為B、D,連接OB、OD,則四邊形BODC為正方形.·ABODC∴OB=BC=3,∴半徑r的取值范圍為0<r≤3.
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