2023屆全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專(zhuān)題6 立體幾何（文科）解答題30題 含答案

2023屆全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專(zhuān)題6立體幾何（文科）解答題30題1．（貴州省貴陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．2．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.4．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．(1)證明：平面PAB；(2)求三棱錐的體積．5．（新疆阿克蘇地區(qū)柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知平面，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求證：；6．（內(nèi)蒙古烏蘭浩特第一中學(xué)2022屆高三全真模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖在梯形中，，，，為中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.7．（山西省運(yùn)城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））如圖，四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面為矩形，，，.(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.8．（黑龍江省八校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若底面ABC邊長(zhǎng)為2的正三角形，，求三棱錐的體積．9．（青海省西寧市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．10．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；11．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在正三棱柱中，，D，E分別是棱BC，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.12．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在三棱錐中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為棱BC的中點(diǎn)O，且PB與底面ABC所成角為，點(diǎn)M為線(xiàn)段PO上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)M到平面PAB的距離.13．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線(xiàn)，P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點(diǎn)B到平面的距離.14．（江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，．(1)證明：平面平面PAC；(2)若，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．15．（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱上，且．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．16．（新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在等腰梯形中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，將沿著折起，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，平面平面，如圖2．(1)證明：平面．(2)求點(diǎn)到平面的距離．17．（寧夏銀川市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在直角梯形中，，點(diǎn)在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖2）.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（陜西省漢中市2023屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.19．（內(nèi)蒙古赤峰市2022屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．(1)證明：平面；(2)若，求四棱錐的體積．20．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若是棱的中點(diǎn)，，求點(diǎn)到平面的距離.21．（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，平面平面.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積.22．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知三角形是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為120°，此時(shí)恰有.(1)求的長(zhǎng)；(2)求三棱錐的體積.23．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是長(zhǎng)方形，，，二面角為，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.(1)平面平面；(2)求棱錐的高.24．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.25．（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（五）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．26．（山西省運(yùn)城市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)若點(diǎn)N到平面PCM的距離為，求的值．27．（2020屆河南省許昌濟(jì)源平頂山高三第二次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.28．（青海省海東市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，,是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.29．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測(cè)試（四）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，，，．(1)證明：；(2)若，，，且點(diǎn)到平面的距離為，求的長(zhǎng)．30．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開(kāi)學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.專(zhuān)題6立體幾何（文科）解答題30題1．（貴州省貴陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用等體積公式，轉(zhuǎn)化為，即可求解體積.【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面平面，且平面平面，因?yàn)?，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）三棱錐,由條件可知是等腰直角三角形，，所以，點(diǎn)到平面的距離，.2．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直證明面面垂直；（2）利用割補(bǔ)法分別計(jì)算四棱錐與三棱錐的體積，再求和即可.【詳解】（1）如圖所示，連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的體積，所以幾何體的體積.3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明；(2)利用，求得點(diǎn)B到平面的距離.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，平?所以,因?yàn)?平面，所以平面，且平面,所以,因?yàn)?，，所以，所?,,所以且,所以,取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)槭橇庑?，，所以為等邊三角形，所?且,又因?yàn)槠矫?，平?所以,且平面,所以平面,又因?yàn)?因?yàn)?，?所以.4．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．(1)證明：平面PAB；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明即可證明結(jié)論；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【詳解】（1）證明：在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得，所以，在中，，且，因?yàn)樵谒倪呅沃?，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）作交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，所以，又，與交于點(diǎn)，所以面，，又，所以，所以，所以，得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以5．（新疆阿克蘇地區(qū)柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知平面，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】1）根據(jù)中位線(xiàn)定理，可得，即可由線(xiàn)面平行的判定定理證明平面；（2）由已知推導(dǎo)出，再由，得平面，由此能證明；【詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，，平面，且平面，平面；（2）平面，，分別是，的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，.6．（內(nèi)蒙古烏蘭浩特第一中學(xué)2022屆高三全真模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖在梯形中，，，，為中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意易證，，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證明平面平面.（2）利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解即可.（1）在梯形中，，所以，在中，，，所以，所以，即，梯形為直角梯形.因?yàn)?，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，又平面，所以，所以，即為等邊三角?取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，因?yàn)?，，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，解?即點(diǎn)到平面的距離為.7．（山西省運(yùn)城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））如圖，四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面為矩形，，，.(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可證，易證，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）因?yàn)?，由?）可知平面，由此可知是三棱錐的高，再根據(jù)，由此即可求出結(jié)果.（1）證明：中，因?yàn)?，，，所?所以，又側(cè)面為矩形，所以，又，，平面.所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)?，平面，所以平面，易得，，，，所以的面積.三棱錐的體積.8．（黑龍江省八校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若底面ABC邊長(zhǎng)為2的正三角形，，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，連接DE，由三角形中位線(xiàn)定理，得，進(jìn)而由線(xiàn)面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，依題意，高為CD，再求底面的面積，進(jìn)而求三棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)E，連接DE∵四邊形是矩形，∴E為的中點(diǎn)，又∵D是AB的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中點(diǎn)，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD為三棱錐的高，，又∵，，∴，，∴三棱錐的體積．9．（青海省西寧市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出側(cè)面積，再求出底面積相加即可得解；（2）通過(guò)證明平面，可得平面平面.（1）圓錐的側(cè)面積，底面積，故表面積.（2）證明：由圓錐的性質(zhì)知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭堑酌鎴A的一條直徑，所以又是的中點(diǎn)，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面．10．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，由線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，由勾股定理得到各邊長(zhǎng)，得到和，從而得到線(xiàn)面垂直，證明面面垂直；（2）求出四棱錐的體積，進(jìn)而由E為棱PC的中點(diǎn)得到四棱錐的體積.【詳解】（1）∵在四棱錐中，底面，平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，，∴，，且，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，連接AE，則，，由勾股定理得：，故PB=BC，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，由勾股定理得，∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點(diǎn)，∴，∵，∴由得，又，故，又，所以平面⊥平面；（2）四邊形ABCD的面積為，故，∵點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，∴.11．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在正三棱柱中，，D，E分別是棱BC，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理證明；(2)根據(jù)等體積法求解.【詳解】（1）證明：由正三棱柱的性質(zhì)，所以，則，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，D是棱BC的中點(diǎn)，所以.由正三棱柱的定義可知平面ABC，則.因?yàn)锽C，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)锳D，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接.因?yàn)?，所以的面積.由正三棱柱的性質(zhì)可知平面，則點(diǎn)到平面的距離為AD.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，故三棱錐的體積.因?yàn)?，E是的中點(diǎn)，所以，，則的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離是d，則三棱錐的體積.因?yàn)?，所以，解?12．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在三棱錐中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為棱BC的中點(diǎn)O，且PB與底面ABC所成角為，點(diǎn)M為線(xiàn)段PO上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)M到平面PAB的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由三線(xiàn)合一得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得到面，則；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,點(diǎn)到面的距離為，利用等體積法有，即，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求出，則.【詳解】（1）分別連接，，為中點(diǎn)，為等邊三角形，點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，平面，平面，，又平面平面，面，面，.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,點(diǎn)到面的距離為，，為在底面上的投影,為與面所成角，，垂直平分，，為正三角形，，Rt中，易得，，到的距離為，，又，由，，，，點(diǎn)到平面的距離為13．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線(xiàn)，P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明，再證明進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，從而得證平面.（2）利用由等積法求解即可【詳解】（1）∵D，O為圓柱底面的圓心，∴平面.而為圓柱的一條母線(xiàn)，∴.又∵P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵P在上，而平面，∴O為P在內(nèi)的投影，且是圓內(nèi)接正三角形.∴三棱錐為正三棱錐.∴，∴，即.∵，平面.∴平面，∵，∴平面.（2）設(shè)點(diǎn)B到面的距離為h，設(shè)圓柱底面半徑為r，由母線(xiàn)及圓柱的側(cè)面積為，得，解得，則.在中，，則，，又，且，∴，解得.故點(diǎn)B到平面的距離為.14．（江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，．(1)證明：平面平面PAC；(2)若，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明，由及直線(xiàn)與平面垂直的判定定理得平面PAC，再由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面PAC；（2）由（1）得，，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理，平面ABCD，利用等體積法，求得D到平面PBC的距離.【詳解】（1）證明：取AB的中點(diǎn)為E，連接CE，由，可知四邊形ADCE是平行四邊形，所以，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，所以，又，，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PAC．（2）因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以，由，，得，又因?yàn)?，，，，因?yàn)槠矫鍼AC，又平面ABCD，平面平面PAC，連接DE交AC于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，連接PO，則，．因?yàn)槠矫嫫矫鍼AC，平面平面，所以平面ABCD，設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d，由得，，所以．15．（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱上，且．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)通過(guò)證明平面得到.(2)將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積求解.【詳解】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，面A1DC，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）在平面中，由得，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以DC為三棱錐的高，所以.16．（新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在等腰梯形中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，將沿著折起，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，平面平面，如圖2．(1)證明：平面．(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明平面平面，再由性質(zhì)得出平面；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由向量法得出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以.又四邊形是菱形，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?同理可證平面，因?yàn)槠矫?所以平面平面，又平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，由題意易知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為，，取，則則點(diǎn)到平面的距離17．（寧夏銀川市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在直角梯形中，，點(diǎn)在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖2）.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線(xiàn)面垂直,再應(yīng)用等體積法,計(jì)算距離即可;(2)因?yàn)槠矫?可求得分的比例關(guān)系,根據(jù)(1)即可求得三棱錐的高,計(jì)算即可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）取中點(diǎn)，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?在直角三角形中，.,.（2）存在點(diǎn)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，連接因?yàn)?，所以所以四邊形EFPC為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)?，所以由?）知平面，點(diǎn)到平面的距離,.18．（陜西省漢中市2023屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理即可得解；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求解.【詳解】（1）證明：平面，平面，四邊形為菱形，，又，平面平面，平面（2）平面，，由四邊形為菱形，，可得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由可得，解得.點(diǎn)到平面的距離為.19．（內(nèi)蒙古赤峰市2022屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．(1)證明：平面；(2)若，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）根據(jù)題干中的已知條件結(jié)合菱形的性質(zhì)，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）在中，利用余弦定理求得的值，在中，利用勾股定理證明，即可證明為四棱錐的高，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.(1)解：如圖，記與的交點(diǎn)為，連接.因?yàn)榈酌鏋榱庑?，故，為、的中點(diǎn)，，又，故，所以，故，又,故平面.(2)解：因?yàn)椋谥?，由余弦定理得：，解得?同理.又，故為等邊三角形，則，，,所以.在中，，，，故，所以，又，，故平面.所以四棱錐的體積為.20．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若是棱的中點(diǎn)，，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線(xiàn)面垂直判定可證得平面，進(jìn)而得到；利用勾股定理和線(xiàn)面垂直的判定得到平面，從而得到；利用勾股定理可證得，由此可得結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積轉(zhuǎn)換的方式，由，結(jié)合棱錐體積公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，，，，又，，為棱中點(diǎn)，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中點(diǎn)，連接，，，又，，，四邊形為正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.（2），，，，由（1）知：平面，，則點(diǎn)到平面的距離，；，，，分別為棱中點(diǎn)，，，，，，，，，由余弦定理得：，則，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，解得：，即點(diǎn)到平面的距離為.21．（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，平面平面.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由勾股定理可得，結(jié)合為等腰直角三角形，可得平面，進(jìn)而得到.（2）考慮到條件平面平面，故以△ABC為底面，△ABP底邊AB上的高為體高進(jìn)行求解.(1)證明：∵，，，∴，∵為等腰直角三角形，，∴又∵，平面.∴平面.∵平面，∴命題得證.(2)解取的中點(diǎn).連接（如圖）.∵為等腰直角三角形，，∴，，.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵平面.∴，由（1）得，，，平面∴平面.又∵平面，∴∴，∴∴.所以三棱錐的體積為.22．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知三角形是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為120°，此時(shí)恰有.(1)求的長(zhǎng)；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，先證明平面，進(jìn)而得到再計(jì)算的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)為二面角的平面角可得三棱錐的高，進(jìn)而利用體積轉(zhuǎn)換求三棱錐的體積即可（1）取中點(diǎn)，連接，∵是正三角形，∴，又∴∴平面，∴，故為等腰三角形又菱形，故，，∴，故（2）由（1）知，為二面角的平面角，∴∵AD⊥平面PMC，∴平面PAD⊥平面PMC．交線(xiàn)為PM.故三棱錐的高∵∴23．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是長(zhǎng)方形，，，二面角為，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.(1)平面平面；(2)求棱錐的高.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明線(xiàn)面垂直，再利用面面垂直的判定進(jìn)行證明；（2）利用等體積法求解棱錐的高.【詳解】（1）∵，∴.又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）如圖，作于，于，連接，∵平面，平面，∴；∵,面ABCD，∴平面；∵平面，∴；∵，面EHM，∴平面面EHM，∴.設(shè)棱錐的高為，∵平面，∴，∵二面角為，∴.∵底面是長(zhǎng)方形，，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且.∴，，，.∴，∵，∴，∴棱錐的高.24．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明平面，得線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用體積法求點(diǎn)面距：．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又，所以.又，所以為正三角形，所以.因?yàn)?，且在平面?nèi)，所以平面.又平面，所以.（2）因?yàn)?，所?又，所以，則.由，得，故，連接，則.因?yàn)槠矫娴酌?，平面，所以平面，則連接.因?yàn)?，所以，在中，到的距離，則.設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由，得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.25．（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（五）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)(2)【分析】（1）連接與DE相交于，連接，連接交于點(diǎn)，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形相似得到，，從而得到，即可得到，從而得解；（2）取的中點(diǎn)，連接，，即可得到，再由面面垂直的性質(zhì)得到平面，求出的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)到平面的距離，從而得到點(diǎn)到平面的距離，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：如圖，連接與相交于，連接，連接交于點(diǎn)，∵平面，平面平面，平面，∴，∵，，∴，，又，所以，∵，，∴，∴點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，∵四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形，，∴，為等邊三角形，∵，為等邊三角形，∴，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又由，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，∵四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，，∴，∵D為的中點(diǎn)，平面平面，∴點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，∴，∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離為，∴三棱錐的體積為．26．（山西省運(yùn)城市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)若點(diǎn)N到平面PCM的距離為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接AC，通過(guò)證明，即可得平面PAB；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，利用可得的值，則可得答案.【詳解】（1）證明：連接AC在中，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，所以是等邊三角形．因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，在中，，，，滿(mǎn)足，所以，而，所以平面；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由（1）可知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，平面平面，所以平面．由得，，解得，所?27．（2020屆河南省許昌濟(jì)源平頂山高三第二次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可得，由線(xiàn)面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理證明平面平面即可.（2）由，利用等體積法，即可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）解：取、的中點(diǎn)分別為、，連結(jié)，，，因?yàn)?，，所以四邊形為梯形，又、為、的中點(diǎn)，所以為梯形的中位線(xiàn)，所以，又，所以，因?yàn)?，?/p>