函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

極限的計(jì)算1．∞/∞未定式例12．0/0未定式例2補(bǔ)1求下列極限(1)(2)求下列極限(1)(2)求3．∞-∞未定式例3補(bǔ)2例4注常用技巧：通分、有理化4．0∞未定式注常用技巧：變量代換求下列極限(1)(2)求求下列極限(1)(2)5．利用有界函數(shù)與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小求極限注關(guān)鍵：合理分項(xiàng)例5求下列極限(1)(2)(3)6．利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限依據(jù)定理等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)常用等價(jià)無(wú)窮?。呵掖嬖?則設(shè)6．利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮?。豪?求下列極限(1)(補(bǔ))(2)(3)(補(bǔ))6．利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮小：(4)(5)(6)6．利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮?。?補(bǔ))(7)(8)(9)(10)(11)例77．利用重要極限求極限特點(diǎn)底數(shù)→1，指數(shù)→∞○和△呈倒數(shù)關(guān)系特點(diǎn)→0求下列極限(1)(2)(3)例88．利用夾逼準(zhǔn)則求極限9．利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限例9證明數(shù)列極限存在,并求此極限例10證明數(shù)列極限存在,并求此極限例11證明數(shù)列并求此極限極限存在,求下列極限二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）計(jì)算題（三）雜題二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）計(jì)算題（三）雜題1．求常數(shù)例12若求例13若求例14若求例15確定常數(shù)a,使當(dāng)時(shí)，極限存在2．無(wú)窮小的階例16例17例18當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)分別是x的幾階無(wú)窮小設(shè)求設(shè)求(1)(2)(3)(4)第八講函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)霞的連落續(xù)性忌與間歉斷點(diǎn)一、老函數(shù)搜的連繳續(xù)性二、趴函數(shù)候的間夸斷點(diǎn)函數(shù)旋的連爺續(xù)性沖與間薯斷點(diǎn)一、幟函數(shù)顧的連納續(xù)性二、架函數(shù)州的間可斷點(diǎn)一、炎函數(shù)殼的連殃續(xù)性（一展）函數(shù)熱在一盲點(diǎn)處脆連續(xù)須的概宮念（二究）函數(shù)口在區(qū)情間上姨連續(xù)刑的概解念一、終函數(shù)傭的連低續(xù)性（一紫）函數(shù)適在一柴點(diǎn)處攀連續(xù)脊的概緊念（二固）函數(shù)矩在區(qū)幻玉間上訴連續(xù)須的概費(fèi)念（一口）函驗(yàn)數(shù)在依一點(diǎn)倉(cāng)處連燦續(xù)的鹿概念1．定貫義12．定采義23．定生義34．左眉連續(xù)惑與右裳連續(xù)5．性譯質(zhì)（一治）函私數(shù)在訴一點(diǎn)濟(jì)處連擔(dān)續(xù)的豈概念1．定預(yù)義12．定鉗義23．定粒義34．左怖連續(xù)姿與右張連續(xù)5．性鋸質(zhì)增量注(1撓)可正可負(fù)(2闖)是一個(gè)整體記號(hào)定義1設(shè)函愈數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某支一鄰派域內(nèi)吉有定徐義，倆如果那么耕就稱沸函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).注在定踢義式橋中,Δx為變?nèi)崃?x0要視查為常雙量.例1證明在處連續(xù).（一越）函擊數(shù)在駱一點(diǎn)朽處連松續(xù)的扛概念1．定芬義12．定巴義23．定諒義34．左鄰連續(xù)村與右犧連續(xù)5．性償質(zhì)（一枕）函蝦數(shù)在辛一點(diǎn)卷處連孩續(xù)的扛概念1．定叔義12．定舟義23．定掃義34．左館連續(xù)至與右欄連續(xù)5．性王質(zhì)注定義2設(shè)函徐數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某開(kāi)一鄰抖域內(nèi)很有定纖義，辣如果那么裝稱函茂數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).令函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)傳的要齒點(diǎn)：注定義2設(shè)函色數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某兩一鄰不域內(nèi)懶有定披義，悉如果那么全稱函針數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).令函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)驚的要秒點(diǎn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某底一鄰?fù)暧騼?nèi)思有定類義注定義2設(shè)函帶數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某拉一鄰拜域內(nèi)難有定預(yù)義，書(shū)如果那么紐奉稱函裹數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).令函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)該的要顆點(diǎn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某蠅一鄰準(zhǔn)域內(nèi)驅(qū)有定闊義存在注定義2設(shè)函弟數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某堵一鄰嚴(yán)域內(nèi)配有定數(shù)義，跨如果那么京稱函豪數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).令函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)煌的要管點(diǎn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某瓶一鄰剃域內(nèi)支有定歡義存在（一也）函帆數(shù)在料一點(diǎn)鄉(xiāng)豐處連銅續(xù)的匠概念1．定音義12．定雜義23．定土義34．左況連續(xù)欠與右鎖連續(xù)5．性擺質(zhì)（一俯）函宇數(shù)在遼一點(diǎn)盒處連娛續(xù)的騾概念1．定呢義12．定愚義23．定倦義34．左扯連續(xù)始與右征連續(xù)5．性宋質(zhì)定義3注在上述定義中，不再要求當(dāng)時(shí)，恒有設(shè)函倚數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某脖一鄰扮域內(nèi)普有定杜義，柴如果那么嗚稱函鍛數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)傭．（一斯）函炮數(shù)在扒一點(diǎn)果處連繪續(xù)的史概念1．定忍義12．定沖義23．定輔義34．左垃連續(xù)增與右鄰連續(xù)5．性仍質(zhì)（一俯）函話數(shù)在明一點(diǎn)欣處連燭續(xù)的鋼概念1．定螞義12．定耐義23．定鄰義34．左桶連續(xù)診與右粗連續(xù)5．性舒質(zhì)類似竄可得泊左連妹續(xù)的捎定義定理例2討論函數(shù)在處的連續(xù)性.定義設(shè)函霧數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某欣右鄰臨域內(nèi)洗有定爛義，糖如果那么綿稱函菜數(shù)f(x)在點(diǎn)x0右連別續(xù).函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)y=f(x)在點(diǎn)x0既左改連續(xù)趁又右留連續(xù)（一陜）函尚數(shù)在鳴一點(diǎn)猜處連冤續(xù)的乒概念1．定蜘義12．定勻義23．定爹義34．左吧連續(xù)珠與右腔連續(xù)5．性擾質(zhì)（一予）函瞎數(shù)在甚一點(diǎn)迫處連戀續(xù)的端概念1．定制義12．定獨(dú)義23．定怠義34．左暫連續(xù)燒與右降連續(xù)5．性碌質(zhì)定理函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是：定理函數(shù)在處連續(xù)，則使y=f(x)在內(nèi)有界.定理函數(shù)在處連續(xù),且則內(nèi)恒有使y=f(x)在對(duì)于任意一個(gè)以為極限的數(shù)列組成的數(shù)列的極限都存在,且都等于對(duì)應(yīng)的函數(shù)值一、土函數(shù)姻的連周續(xù)性（一雖）函數(shù)相在一程點(diǎn)處蹄連續(xù)妖的概匯念（二恒）函數(shù)多在區(qū)輪間上脫連續(xù)誓的概您念一、卵函數(shù)爸的連單續(xù)性（一炊）函數(shù)濕在一愧點(diǎn)處藏連續(xù)堵的概苦念（二周）函數(shù)扁在區(qū)挖間上朝連續(xù)機(jī)的概不念定義定義若函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，則稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù).則稱函數(shù)在上連續(xù).在處右連續(xù),在處左連續(xù)，若函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)落的連抖續(xù)性承與間行斷點(diǎn)一、漫函數(shù)你的連答續(xù)性二、寸函數(shù)陰的間撥斷點(diǎn)函數(shù)類的連果續(xù)性翼與間趁斷點(diǎn)一、貿(mào)函數(shù)鑼的連紀(jì)續(xù)性二、猛函數(shù)珠的間新斷點(diǎn)二、岸函數(shù)銅的間體斷點(diǎn)（一劣）概頑念（二膚）分鈔類（三匠）舉剖例二、邊函數(shù)小的間年斷點(diǎn)（一汪）概惹念（二躲）分叢類（三版）舉丘例定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,函數(shù)在處間斷的情形在沒(méi)有定義;(1飄)(2徑)(3斗)則稱函數(shù)在點(diǎn)間斷，而點(diǎn)稱為的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù),不存在;雖在有定義,但存在,但雖在有定義,且二、販函數(shù)灰的間依斷點(diǎn)（一棟）概撕念（二僵）分耐類（三留）舉碑例二、海函數(shù)搞的間騎斷點(diǎn)（一備）概蹲念（二恒）分艱類（三猾）舉皇例間斷刻點(diǎn)和都存在第一至類間滿斷點(diǎn)和至少一個(gè)不存在第二題類間血斷點(diǎn)可去羽間斷宅點(diǎn)跳躍報(bào)間斷帥點(diǎn)無(wú)窮湯間斷策點(diǎn)振蕩窗間斷紙點(diǎn)二、沃函數(shù)隔的間掩斷點(diǎn)（一制）概領(lǐng)念（二倦）分晶類（三胖）舉丈例二、者函數(shù)緊的間護(hù)斷點(diǎn)（一奸）概裁念（二粉）分朵類（三洪）舉善例為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩篇間斷巷點(diǎn).為可去石間斷附點(diǎn).顯然為其可去場(chǎng)間斷抖點(diǎn).(4袍)(5惱)為其跳毯躍間搖斷點(diǎn).思考剛與練橋習(xí)1.討論暫函數(shù)x=揭2是第災(zāi)二類袋無(wú)窮認(rèn)間斷例點(diǎn).間斷事點(diǎn)的腳類型.2.設(shè)時(shí)提示:為連續(xù)塞函數(shù).機(jī)動(dòng)吵目信錄桶上頁(yè)取下暢頁(yè)慘返回牽結(jié)懶束答案:x=知1是第城一類園可去妹間斷液點(diǎn),解:間斷思點(diǎn)為無(wú)窮捉間斷尋點(diǎn);故為跳躍牢間斷帽點(diǎn).機(jī)動(dòng)墻目鞠錄夫上頁(yè)諷下本頁(yè)橫返回抖結(jié)環(huán)束練習(xí)只題確定鹽函數(shù)間斷陳點(diǎn)的讀類型.思骨考1．處墾處有鞋定義巷，但迅處處再不連胳續(xù)的移函數(shù)2．處隊(duì)處有掛定義抵，僅日在一該點(diǎn)連帽續(xù)的格函數(shù)作業(yè)撕：P5走5.5,P6戒13.第九死講具初等膛函數(shù)鏈的連熊續(xù)性閉區(qū)殃間上打連續(xù)膠函數(shù)品的性鍋質(zhì)第九撇講一、疫初等捎函數(shù)竟的連購(gòu)續(xù)性二、堤閉區(qū)漁間上污連續(xù)框函數(shù)濱的性療質(zhì)第九貢講一、球初等伸函數(shù)歲的連宜續(xù)性二、瓦閉區(qū)捕間上趨連續(xù)料函數(shù)細(xì)的性翻質(zhì)思路初等核函數(shù)在其蠻定義箭區(qū)間踏內(nèi)連股續(xù)初等晴函數(shù)由基雄本初優(yōu)等函核數(shù)經(jīng)劇過(guò)有把限次窄四則夠和復(fù)徒合所盜構(gòu)成基本聾初等然函數(shù)奧在定刷義域耗內(nèi)連正續(xù)連續(xù)槐函數(shù)潤(rùn)經(jīng)過(guò)灘四則倒運(yùn)算奇仍連木續(xù)連續(xù)花函數(shù)喪經(jīng)過(guò)險(xiǎn)復(fù)合遞運(yùn)算別仍連掛續(xù)證明沸如下電結(jié)論堅(jiān)：一、虜初等遵函數(shù)瓜的連哥續(xù)性（一描）連偏續(xù)函答數(shù)的體和、紐奉差、借積、躺商的蔑連續(xù)瓶性定理在其定義域內(nèi)連續(xù)例設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，f±g、積f·g及商f/g（當(dāng)g(x0)≠0時(shí)）都在點(diǎn)x0連續(xù).則它們的和（差）在R內(nèi)連續(xù)（二稍）反謊函數(shù)揭的連煌續(xù)性定理例且連續(xù)，那么它的反函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù).也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)在其反函數(shù)在上單調(diào)增加且連續(xù)一、原初等穴函數(shù)砌的連莖續(xù)性（三鑼）復(fù)截合函庸數(shù)的幟連續(xù)蛛性設(shè)函邁數(shù)y=f[g(x)]是由遷函數(shù)u=g(x)與函族數(shù)y=f(u)復(fù)合膠而成棄，y=f[g(x)]在點(diǎn)x0的某緞去心佳鄰域宗內(nèi)有縮慧定義餓，則定理虎一定理頓二而函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù)，若定理指三若函泳數(shù)u=g(x)在x=x0連續(xù),且g(x0)=u0，而鋒函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù)立，且存在δ＞0，若當(dāng)時(shí)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0也連續(xù)一、離初等治函數(shù)眾的連稈續(xù)性（四遲）初匠等函練數(shù)的體連續(xù)借性基本景初等速函數(shù)碗在其獅定義壯域內(nèi)怕連續(xù)一切鳥(niǎo)初等乘函數(shù)益在其幣定義將區(qū)間爪內(nèi)連拼續(xù)結(jié)論注不能葬說(shuō)初婆等函啄數(shù)在江其定番義域價(jià)內(nèi)連稠續(xù)例如定義域中的點(diǎn)都是孤立點(diǎn)不能星說(shuō)函接數(shù)在多該點(diǎn)杠連續(xù)一、太初等劈燕函數(shù)游的連雖續(xù)性（五辭）初障等函掠數(shù)的微連續(xù)耀性的什應(yīng)用1．討傷論函洽數(shù)的聯(lián)連續(xù)尿性定理師三例討論函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，而若函數(shù)u=g(x)在x=x0連續(xù),且g(x0)=u0，函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0也連續(xù)一、病初等爆函數(shù)維的連啞續(xù)性（五徒）初箱等函尖數(shù)的盾連續(xù)燃性的門(mén)應(yīng)用2．利沿用復(fù)鎖合函源數(shù)的誕連續(xù)僻性求喬極限定理領(lǐng)二設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，則而函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù)，若變量鄭代換上述頁(yè)結(jié)論暮可寫(xiě)瘋為函數(shù)開(kāi)符號(hào)蜜與極重限符酸號(hào)可白交換一、地初等披函數(shù)遣的連疑續(xù)性（五逐）初喇等函遲數(shù)的隙連續(xù)幫性的謀應(yīng)用2．利陷用復(fù)論合函榨數(shù)的胡連續(xù)拴性求湊極限例命題設(shè)u(x)>0,u(x)≠1則一、斜初等攜函數(shù)恰的連計(jì)續(xù)性（五級(jí)）初榜等函繁數(shù)的擊連續(xù)怒性的饑應(yīng)用3．利自用初堪等函青數(shù)的卸連續(xù)晉性求屑極限例一切絕初等賄函數(shù)屆在其軌定義旗區(qū)間策內(nèi)連艦續(xù)4．找戀間斷插點(diǎn)對(duì)于宜初等小函數(shù)間斷何點(diǎn)無(wú)定膜義的臘點(diǎn)例求函數(shù)的間斷點(diǎn)第九則講一、責(zé)初等育函數(shù)秀的連隆續(xù)性二、冬閉區(qū)窄間上僻連續(xù)愉函數(shù)章的性治質(zhì)第九怕講一、圾初等芬函數(shù)末的連倚續(xù)性二、犧閉區(qū)咐間上蠅連續(xù)虛函數(shù)讓的性陳質(zhì)二、丟閉區(qū)延間上賤連續(xù)跳函數(shù)杜的性笑質(zhì)（一縱）有壘界性糖與最恭大值葉最小蘭值定碌理（二色）零抽點(diǎn)定岸理（三網(wǎng)）介餃值定悲理（四昆）應(yīng)脆用二、塊閉區(qū)際間上秩連續(xù)黨函數(shù)瘦的性首質(zhì)（一喝）有續(xù)界性勾與最播大值票最小升值定紹理（二震）零沾點(diǎn)定擊理（三辰）介缸值定宏理（四江）應(yīng)胖用最值劉概念設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在x0∈I，使得對(duì)任一x∈I，恒有則稱f(x0)是函誦數(shù)f(x)在區(qū)攔間I上的昆最大褲值（宮最小辰值）.注(1租)最大周值可晶以等淺于最臉小值(2彼)函數(shù)休在區(qū)筒間I上可刃能取座不到陜最值在閉襲區(qū)間云上連暢續(xù)的棋函數(shù)逆在該緩區(qū)間爪上有跪界且惰一定恒能取霧得它半的最隱大值含和最傘小值.定理幾何鳴意義abxoy定理駁的條告件是內(nèi)重要筍的注例y=x在(1,碼2)內(nèi)xoy12在[0,2]上x(chóng)oy12二、四閉區(qū)敏間上展連續(xù)降函數(shù)削的性監(jiān)質(zhì)（一賠）有溝界性買與最吼大值爬最小熱值定刃理（二欲）零憐點(diǎn)定艷理（三斥）介夫值定緞理（四程）應(yīng)夸用二、運(yùn)閉區(qū)欲間上緣瑞連續(xù)膀函數(shù)翠的性蘿質(zhì)（一魄）有唇界性邪與最匪大值蹦最小杰值定床理（二添）零辦點(diǎn)定樓理（三槽）介具值定覺(jué)理（四房誠(chéng)）應(yīng)掛用設(shè)函看數(shù)f(x)在閉禽區(qū)間[a,b]上連毅續(xù)，場(chǎng)且f(a)與f(b)異號(hào)蕩（即f(a)·f(b)<0)，則舍在開(kāi)垮區(qū)間(a,b)內(nèi)至隱少有拳一點(diǎn)ξ使f(ξ)=0.定理幾何最意義如果耳連續(xù)妥曲線鮮弧y=f(x)的兩落個(gè)端榨點(diǎn)位錦于x軸的誘不同那側(cè)，塵那么南這段耳曲線爬弧與x軸至年少有圾一個(gè)仙交點(diǎn).xoyabξ如果x0使f(x0)=撥0，那針么x0稱為殼函數(shù)f(x)的零點(diǎn).二、譯閉區(qū)娘間上響連續(xù)拌函數(shù)篩的性短質(zhì)（一沸）有萬(wàn)界性技與最蛙大值白最小蘭值定朗理（二臘）零檔點(diǎn)定渾理（三斜）介啄值定協(xié)理（四盯）應(yīng)幟用二、中閉區(qū)傭間上項(xiàng)連續(xù)