向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

第九章向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分●§9.1向量值函數(shù)及其極限與連續(xù)★§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分●§9.3向量值函數(shù)的不定積分與定積分§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)9.2.2空間曲線的切線及法平面方程1．向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念義，如果極限定義9.2.1設(shè)向量值函數(shù)在t的某鄰域內(nèi)有定存在，則稱向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，并稱極限值為向量值函數(shù)r(t)在t處的導(dǎo)數(shù)，記為或者明顯地，

也是一個(gè)向量值函數(shù)．如果向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，則r(t)在t處連續(xù).9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分與一元數(shù)量函數(shù)類(lèi)似，可以進(jìn)一步定義向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如r(t)的二階導(dǎo)數(shù)定義為的導(dǎo)數(shù),即:向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋（a）二維向量值函數(shù)的情形（b）三維向量值函數(shù)的情形如果點(diǎn)P和Q的位置向量為r(t)與r(t+t),那么這個(gè)向量可以看作是割線向量．當(dāng)時(shí),割線向量如果存在，且趨于曲線在點(diǎn)P處的切線向量．線．這樣,曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量為則稱為曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量,過(guò)P點(diǎn)且以為方向向量的直線為曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置,對(duì)應(yīng)的幾何曲線為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[t,t+t]上的位移,是質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)，即速度的方向或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向是運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向,是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)加速度a

(t).向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可通過(guò)計(jì)算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點(diǎn)t處可導(dǎo),則r(t)在點(diǎn)t處可導(dǎo),且定理9.2.2設(shè)三維向量值函數(shù)同樣，對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類(lèi)似的結(jié)論.的二階導(dǎo)數(shù)為三維向量值函數(shù)例1計(jì)算下列向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：．解這里,(1)中的二維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是二維平面上的橢圓曲線;(2)中的三維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是三維空間上的螺旋曲線．且在區(qū)間I內(nèi)光滑的．如果一個(gè)向量值函數(shù)在區(qū)間上滿足連續(xù)，例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的．我們就稱在區(qū)間上是一條曲線如果由多個(gè)光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線．解因?yàn)楣饣模€在點(diǎn)(1,0)(對(duì)應(yīng)t=0)突然改變了方向，在曲線上出現(xiàn)了尖點(diǎn)的特征．所以，該曲線不是是否為光滑曲線？

例2判斷曲線

尖點(diǎn)解質(zhì)點(diǎn)的速度為質(zhì)點(diǎn)的速率為質(zhì)點(diǎn)的加速度為例3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置向量為求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度與速率．可導(dǎo)的向量值函數(shù)r

=r

(t)的微分定義為對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)對(duì)于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù)對(duì)于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr

是一個(gè)與與切向量同向；平行的向量，曲線的切向量當(dāng)dt>0時(shí),dr與反向.當(dāng)dt<0時(shí),dr與切向量數(shù)值函數(shù)，設(shè)u(t),v(t)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，常數(shù)，則有定理9.2.1

C為常向量(即C的各分量都為常數(shù)),k為f(t)為可導(dǎo)2．向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則

(7)鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)u(s)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，s=f(t)為可導(dǎo)的數(shù)值函數(shù)，則例4

設(shè)r(t)是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且如果(C為常數(shù))，證明：與垂直．證因?yàn)閯t由求導(dǎo)法則(5)知因此，幾何意義:

如果一條曲線位于一個(gè)以原點(diǎn)為球心的也就是說(shuō)與垂直．垂直于位置向量球面上,那么它的切向量例5如果起質(zhì)量傍為m的質(zhì)攻點(diǎn)的貍位置轟向量體為r(t),角動(dòng)跪量轉(zhuǎn)動(dòng)鋼力矩令為證明頓：證由求恨導(dǎo)法球則（6），忽知注意員到則特別耀，當(dāng)M(t)投=0時(shí),從而L(t)為常胳向量.這就創(chuàng)是物浴理學(xué)功中的角動(dòng)邪量守貿(mào)恒定棄律．空間曲線在點(diǎn)t0處的切線向量澇為空間曲線在點(diǎn)的切線方程為稱過(guò)稻點(diǎn)P且與左向量T(t)垂直錯(cuò)的平版面為妥空間方曲線舍的法平殺面，蛙其方溫程為9.狐2.支2空間濁曲線亮的切躁線與便法平畏面切線顧方程騙與法隨平面站方程抖．且點(diǎn)(1忠,1柏,1剪)與t=去1對(duì)應(yīng),所以，在點(diǎn)(1,1,1)處曲線的切線向量為因此長(zhǎng)，所創(chuàng)求切現(xiàn)線方鄭程為例6求空間曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的解因?yàn)樗笱ǚㄆ矫朊娣降鸪碳磧?nèi)容優(yōu)小結(jié)樂(lè)與作澡業(yè)作業(yè):教材80擱-8喬2頁(yè)1(舊1)跪(3足)(料5)公,黨2鋒(2攪)(著4)油,脆5寇,葉