控制工程基礎(chǔ)第二章

第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

建立起控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計(jì)、綜合，是控制系統(tǒng)的基本研究方法。

本章主要介紹1、線性微分方程式的建立及微分方程線性化的方法；2、在拉普拉斯變換基礎(chǔ)上，介紹傳遞函數(shù)及系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

引言

一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的輸出與輸入間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型分靜態(tài)模型和動態(tài)模型：在靜態(tài)條件下得到的方程稱為靜態(tài)模型，一般用代數(shù)方程來表示。在動態(tài)條件下得到的方程稱為動態(tài)模型，一般用微分方程式來描述。

工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。

獲取系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型方法:理論分析和試驗(yàn)。兩者相輔相成：理論分析可大致確定數(shù)學(xué)模型的階次、參數(shù)與結(jié)構(gòu)，而試驗(yàn)方法可最終確定數(shù)學(xué)模型的形式。從理論上建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（理論建模），往往是困難的。為建立一個系統(tǒng)的理想數(shù)學(xué)模型，須注意：1、必須對系統(tǒng)及其元件的構(gòu)造、工作情況有足夠的了解。分布參量集中化。非線性因素線性化。時(shí)變參量定?；?、不同元件或系統(tǒng)應(yīng)采用與之相應(yīng)的物理定律來建立輸入與輸出的關(guān)系。如機(jī)械系統(tǒng)常用牛頓定律、電氣系統(tǒng)采用基爾霍夫定律等。這是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。2、忽略一些次要的因素，進(jìn)行合理的簡化。忽略次要因素或數(shù)值上比較小的因素。二、線性系統(tǒng)

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。一個系統(tǒng)，無論是用代數(shù)方程還是用微分方程來描述，其組成項(xiàng)的最高指數(shù)稱為方程的次數(shù)。微分方程中，無論是因變量或者是它的導(dǎo)數(shù)，都不高于一次方，并且沒有一項(xiàng)是因變量與其導(dǎo)數(shù)之積，則此微分方程就是線性微分方程。用這種方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。下列微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。下列微分方程描述的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。1.線性系統(tǒng)的齊次性如果系統(tǒng)在輸入X(t)作用下的輸出為Y(t)，并記為x(t)→y(t)則kx(t)→ky(t)稱為齊次性。式中k為常數(shù)。線性系統(tǒng)具有齊次性。線性系統(tǒng)最重要的特性，就是疊加原理。若系統(tǒng)在輸入x1(t)作用下的輸出為y1(t),而在另一個輸入x2(t)作用下的輸出為y2(t)，并記為x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)

則以下關(guān)系x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)稱為疊加性或疊加原理疊加原理說明，兩個不同的輸入函數(shù)，同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個輸入函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。因此，線性系統(tǒng)對幾個輸入量的響應(yīng)，可以一個一個的處理，然后對它們的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行疊加。2.線性系統(tǒng)的疊加性三.非線性系統(tǒng)

用非線性方程表示的系統(tǒng)，叫做非線性系統(tǒng)。雖然許多物理關(guān)系常以線性方程來表示，但是在大多數(shù)情況下，實(shí)際的關(guān)系并非真正線性的。處理：當(dāng)輸入信號較小工作在線性區(qū)時(shí)，可看作線性元件；當(dāng)輸入信號較大而工作在飽和區(qū)時(shí)，就必須作為非線性元件來處理。實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)還人為地引入飽和特性，以便對控制信號進(jìn)行限幅，保證系統(tǒng)或元件在額定或安全情況下運(yùn)行。飽和非線性特性：當(dāng)輸入信號在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，該環(huán)節(jié)輸入輸出呈線性關(guān)系；當(dāng)輸入信號x的絕對值超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持在一常值上。例子：如放大器、調(diào)節(jié)器等。于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。例子：各種測量元件的不靈敏區(qū)，調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)，以及彈簧預(yù)緊力等。處理：當(dāng)死區(qū)很小時(shí)，或?qū)ο到y(tǒng)性能不會產(chǎn)生不良影響時(shí)，可將它作為線性特性處理；當(dāng)死區(qū)較大時(shí)，將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，有時(shí)還會造成系統(tǒng)低速不平滑性。在工程實(shí)踐中，為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力，有時(shí)故意引入或增大死區(qū)。死區(qū)非線性特性：死區(qū)特性又稱不靈敏特性，圖中橫坐標(biāo)為輸入，縱坐標(biāo)為輸出。由此可見，當(dāng)輸入信號在零附近變化時(shí)，系統(tǒng)輸出為零。只有當(dāng)輸入信號幅值大間隙非線性特性：

如圖所示傳動機(jī)構(gòu)的間隙也是控制系統(tǒng)中一種常見的非線性特性現(xiàn)象。例子：在機(jī)械傳動中，由于加工精度的限制及運(yùn)動件相互配合的需要，總會有一定的間隙存在。例如齒輪傳動，為保證轉(zhuǎn)動靈活不發(fā)生卡死現(xiàn)象，必須容許有少量間隙。在機(jī)械傳動中，摩擦是必然存在的物理因素。例如執(zhí)行機(jī)構(gòu)由靜止?fàn)顟B(tài)啟動，必須克服機(jī)構(gòu)中的靜摩擦力矩y1。啟動之后，又要克服機(jī)構(gòu)中的動摩擦力矩y2。一般靜摩擦力矩大于動摩擦力矩。如圖所示。相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為摩擦非線性非線性系統(tǒng)重要的特性，是不能應(yīng)用疊加原理。因此，對包含有非線性系統(tǒng)的問題求解，其過程通常是非常復(fù)雜的。為了繞過由非線性系統(tǒng)而造成的數(shù)學(xué)上的難關(guān)，常需引入“等效”線性系統(tǒng)來代替非線性系統(tǒng)。后面將介紹線性化處理的方法。

第一節(jié)系統(tǒng)微分方程一．建立線性微分方程式步驟

1、首先將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)確定每一環(huán)節(jié)的輸入信號和輸出信號，同時(shí)應(yīng)使前一環(huán)節(jié)的輸出信號是后一環(huán)節(jié)的輸入信號。

2、寫出每一環(huán)節(jié)（或元件）輸出信號和輸入信號相互關(guān)系的運(yùn)動方程式找出聯(lián)系輸出量與輸入量內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律，其（物理定律）數(shù)學(xué)表達(dá)式即為環(huán)節(jié)（或元件）的原始方程式。與此同時(shí)，再做一些數(shù)學(xué)處理，如非線性函數(shù)線性化，忽略一些次要因素等。3.消去互中間滾變量列出內(nèi)各變通量間期的關(guān)處系式胖，消析除中喚間量帳，最蓬后得串到只糾包含較輸入悼量和夢輸出必量的照方程答式。4.化成析標(biāo)準(zhǔn)靜形式即輸出豈量放超在方嗽程式絮左端圣，而括輸入恭量放測在方講程式盜右端，且晚各階好導(dǎo)數(shù)這項(xiàng)其石階次坑依次飄按冪趨排列通過宣一些祖常見墻的例極子，葬說明竹微分紋方程泊式的縣列寫層方法威。二．糧舉例1．機(jī)匪械系抽統(tǒng)的么微分敲方程禮式機(jī)械淺系統(tǒng)遞設(shè)備奪大致兵分兩治類：聲平移估的和柜旋轉(zhuǎn)材的。沉它們革之間家的區(qū)壺別在腫于前植者施努加的氏力而從產(chǎn)生崖的是婚位移逃，而殖后者泰施加掏的是速扭矩帥產(chǎn)生掛的是暮轉(zhuǎn)角燙。牛頓歸定律董和虎皇克定枝律等物篇理定寇律是滔建立怠機(jī)械漿系統(tǒng)姿數(shù)學(xué)糧模型拾的基江礎(chǔ)如圖揀所示舟機(jī)械相系統(tǒng)使。求止其微城分方吉程，宣圖中Xi表示易輸入遙位移丸，Xo表示方輸出抬位移初，假卷設(shè)輸泉出端桃無負(fù)甲載效乎應(yīng)。孤（c、c1、c2為阻抹尼系例數(shù)，k1、k2為彈用性系陣數(shù)）例1（1）對代圖a所示助系統(tǒng)亦，由經(jīng)牛頓書定律奮有即消除呈中間月變量x有（2）對割圖b所示糖系統(tǒng)攔，引雕入一坑中間胸變量x并由袋牛頓吼定律項(xiàng)有：(3帶)對圖c所示樂系統(tǒng)猛，由綠牛頓豬定律籌有即（4）機(jī)耗械旋旋轉(zhuǎn)系焰統(tǒng)下圖所示劑的轉(zhuǎn)啦動慣蘋量為J的轉(zhuǎn)雹子與行彈性且系數(shù)宮為k的彈區(qū)性軸壓和阻晃尼系混數(shù)為B的阻細(xì)尼器櫻連接委。假笛設(shè)外垃部施健加扭匹矩m(t),則系坡統(tǒng)產(chǎn)預(yù)生一君個偏暗離平鑄衡位舉置的狹角位糊移(t)。現(xiàn)廣研究撥外扭萄矩m(t)和角標(biāo)位移(t)的關(guān)壇系。具有標(biāo)慣性櫻矩、熄扭矩菌和阻貸尼器卷的旋疲轉(zhuǎn)系宰統(tǒng)列出催系統(tǒng)醉原始幼方程蜜：在堤平衡葛位置澆時(shí)，序外加循扭矩m(t)應(yīng)與稅慣性敲矩m1(t)阻尼條矩m2(t)和彈險(xiǎn)性阻刷力矩m3(t)平衡裕，即式中所以毯系統(tǒng)預(yù)的運(yùn)揉動方節(jié)程式憶為2．電擺氣系香統(tǒng)的頓微分添方程電氣族系統(tǒng)饅和元輪件種澡類繁稍多，亞但根剛據(jù)有傲關(guān)電崇、磁季及電蓮路的忌基本輝定律恩，無哲論其香結(jié)構(gòu)卷多么蟲復(fù)雜煉，總冒可以川建立立起相饅應(yīng)的旨數(shù)學(xué)刻模型犬的。電氣烏系統(tǒng)腦的微甲分方兄程主畏要根雷據(jù)基爾拘霍夫澡定律淚和電惜磁感邊應(yīng)定寸律等基幫本物股理規(guī)怎律列針寫下圖精所示翁的系界統(tǒng)中扔，ui(t)為輸傷入電常壓，uo(t)為輸廚出電獵壓。根據(jù)表基爾泥霍夫租定律溜和歐堂姆定陽律，惜有無源膨電路將方狠程聯(lián)妥立求兼解，糞消去炊中間秒變量i1(t)、i2(t)、i3(t)后，謝即可梳得到廁以ui(t)為輸僅入量頂，以uo(t)為輸陜出量耕的電盯路微逢分方哄程式啊，即詳：三溜非線暈性系辛統(tǒng)的貍線性速化工程耀中，攏所有搬元件接和系混統(tǒng)都銷不同膛程度忘具有鉛非線盤性特忌性，枕如：比元件諷的死薄區(qū)、尊傳動貓的間嘉隙和臥摩擦馬等。由于棄非線崗性類脖型相粉異甚吐大，替沒有重通用俯的解蛋析求福解方商法。具有昏本質(zhì)勇非線調(diào)性特速性系禽統(tǒng)，奴只能更用非高線性熟理論躲處理當(dāng)。非線站性函秘?cái)?shù)的寶線性士化忽略裕法歇非線欠性因膨素影響爭很小辱的非塊線性小因素鬼忽略硬；切線赤法，或不稱微小刻偏差烤法在工嚼作中織，控軌制系將統(tǒng)各炮個變精量偏港離其蝴平衡該值一炸般都饑比較查小，孤因此稅，對漏于具鐘有非紡本質(zhì)淹非線食性特激性系福統(tǒng)，鄰可采新用小索偏差網(wǎng)線性訓(xùn)化的窄方法偷求取旋近似曲線性男微分鈔方程奴代替匆原非寇線性轎微分?jǐn)喾匠淘?。切線冠法如果慈工程眼中存溉在著止一些糖元件徹（或敞系統(tǒng)誼）其噸輸出孤與輸泛入的帝靜態(tài)牌關(guān)系損如右政圖所績示。犧系統(tǒng)恒在平嫁衡點(diǎn)A(x0、y0)工作翼，當(dāng)融輸入脈量x在平嘩衡點(diǎn)A附近不很小倒范圍寸內(nèi)變稻化時(shí)醫(yī)，非線銜性特伏性線徐性化露的幾辟何意暮義式中x和y為A點(diǎn)附襲近輸入罩和輸眼出量增量由此塊可見瘡，一鑰個非趨線性豆系統(tǒng)堂，如灣果在雖平衡菊點(diǎn)附蓮近工掛作時(shí)粥，就俱可以縫用線負(fù)性關(guān)川系描購述其脈輸出帆與輸偽入的允關(guān)系跡。只能徐用在沒有弊間斷挖點(diǎn)、折斷蜻點(diǎn)的非掃線性蹦特性率，即高所謂非本駱質(zhì)非科線性攀特性當(dāng)非傳線性像關(guān)系怒可以罵用解鬼析關(guān)獲系描喊述時(shí)胡，非線穿性關(guān)象系如尋果可親用下杰述解征析形頌式表娃達(dá)時(shí)平衡非工作姑點(diǎn)A(x0、y0),則上朱式在罩平衡體點(diǎn)展體成泰繡勒級鬧數(shù)為假設(shè)(x-x0)很小臟，可蓬忽略訪高次零項(xiàng)，卸只保其留一矩次項(xiàng)一般持地，雅有例1下圖為遇一液緊面系屑統(tǒng)。Qr為流華入液匪量，Qc為流晚出液壟量,h為液的面高倒度，S為容余器截齊面積如，在h變動奧內(nèi)為從恒值披。列遍出液觸面波元動的靜運(yùn)動態(tài)方程態(tài)式。解：輸系統(tǒng)活原始賽方程狹式：以Qr為輸炊入量岸，以h為輸啟出量夏。根報(bào)據(jù)物參質(zhì)守蝴恒定四律可已得由流特量公沃式可輝知式中決定尋于流掛通管拍道面殼積及辛其結(jié)秘構(gòu)形光式的后參數(shù)胖。結(jié)憂構(gòu)一影定時(shí)知，在Qc變化嬌的一戚定范催圍內(nèi)指，可食近似競地認(rèn)辛為恒抱值1、先接確定著額定殖工作逐點(diǎn)（Qr0、h0),靜態(tài)鄭方程叛式為垂：2、將快非線粒性函逼數(shù)江線鄭性化山：結(jié)合就兩式鄉(xiāng)豐消去Qc,可得逃液面愉運(yùn)動稀方程光式泰勒廁級數(shù)線性膜化有蹲如下念特點(diǎn)霧：（1）線氏性化撐是相銳對某犧一工佳作點(diǎn)樂進(jìn)行虛。工個作點(diǎn)聯(lián)不同孩，線丑性化扒微分奴方程捧系數(shù)拖也不出同；（2）線里性化加精度誼受變席量偏尖離工蘿作點(diǎn)初的偏喚差足等夠小假；（3）線蜻性化餅后的類運(yùn)動炊方程更是相鳳對工漠作點(diǎn)老的增徹量來哥描述茂的，塑可以白認(rèn)為顆其初暢始條孩件為頑零。（4）線汁性化浪只能蟻運(yùn)用樣沒有恥間斷炊點(diǎn)、恨折斷北點(diǎn)和抓非單棒值關(guān)游系的盤函數(shù)采，對撐具有葛本質(zhì)漲非線架性元警件的店非線符性系筋統(tǒng)是笑不適娛用的紹。四揚(yáng)拉證普拉戶斯變維換（雀自學(xué)忙）利用豆拉普賺拉斯銷變換呢，可娛將微分宏方程轉(zhuǎn)換芽為代數(shù)餃方程，使錢求解望大為揮簡化芝，因獲而拉情普拉特斯變衣?lián)Q成焰為分衛(wèi)析工鞠程控棉制系妄統(tǒng)的碑基本辣數(shù)學(xué)洗方法蓮之一趕。(一)、拉寫普拉乎斯變落換的驕定義設(shè)f(t)是實(shí)斑變量t的單懸值函鈔數(shù)，解在t≥0的任源一有塌限區(qū)者間上沃是連嗎續(xù)的棍或至變少是模分段竹連續(xù)喊的。適并且知當(dāng)t趨于鑄無窮狼大時(shí)捆，f(t)是指潛數(shù)級傻數(shù)的稈。即它存在柳一個卸正實(shí)演數(shù)，在t趨于曾無窮鈔大時(shí)妹，它氣使函搞數(shù)e-t∣f(t)∣趨近省于零懼，則f(t)的拉妥普拉磚斯變猜?lián)QF(s)定義羽為：S是一譜個實(shí)恭部大槐于的復(fù)林變量原函漁數(shù)拉氏季變換績函數(shù)莊（象賞函數(shù)衣）拉氏犧變換枯運(yùn)算危符（1）例求雙的拉難氏變黨換。u(t)為單賺位階放躍函夏數(shù)，礎(chǔ)見下瓶圖（a）。即（a）單位昨階躍域函數(shù)解：殲利用昨（1）式攝，可織得注：麥當(dāng)u(t)不為罪單位辰階躍委函數(shù)能，為時(shí)，例求單嫩位斜豈坡函侄數(shù)f(t)=t的拉防氏變拜換。單位羞斜坡紅函數(shù)急如圖再（b）所示西，定犁義為解：嘉利用吩（1）式濟(jì)，可餐得（b）單位蓄斜坡激函數(shù)例求單記位脈定沖函胞數(shù)的障拉氏禁變換譜。單位宣脈沖岸函數(shù)森如圖已（c）所示愿。定玩義為并且（c）單位志脈沖閃函數(shù)例求指閃數(shù)函增數(shù)f(t)=eat的拉淋氏變但換解：景利用仔（1）式翠，可嫩得例求正客弦函噴數(shù)f(t)=si念nt的拉更氏變勸換。解：疊利用旗（1）式企，可掩得由歐倆拉公倆式所以常用清函數(shù)磨的拉足氏變除換表（二產(chǎn)）、新拉氏碼變換處的主泊要定農(nóng)理1．線隊(duì)性定跌理設(shè)L[f1(t)]笑=F1(s),，L[f2(t)]禿=F2(s)，k1，k2為常穿數(shù)侵，則（4）線性福定理鼠說明辜某一寶時(shí)間楚內(nèi)，蘭函數(shù)墳為幾惠個時(shí)棄間函典數(shù)的攀代數(shù)痰和，痕其拉作氏變譯換等衣于每槳個時(shí)光間函黑數(shù)拉嘗氏變序換代兇數(shù)和本。2．微味分定縣理設(shè)L[f(t)]央=F(s)，則戒有f(0+)表示t從右捏端趨戒于零罵時(shí)的卷值，疲相當(dāng)李于初繼始條告件。同理緒，可上進(jìn)一理步推全出f(t)的各岡階導(dǎo)路數(shù)的芳拉氏蠢變換禾為:所有擇這些挨初值賭為零刷，則例試求嫂下面疼微分甲方程裁式的懇拉氏狹變換純式．輕已知公各階緊導(dǎo)數(shù)快初值促為零虎。解：利用狹線性玩定理陡和微桐分定神理，差可得3.積分移定理式中膽為心在t時(shí)間羊坐標(biāo)彩軸的醋右端晴趨于咐零時(shí)帳的f(t)的值揪，相云當(dāng)于早初始鳳條件燙。設(shè)L[f(t)]掌=F(s)，則鄰有同理媽，對讀于多奧重積慘分的搶拉氏拘變換?？傻?如果f(t)的各妥重積膏分在t=0+時(shí)的僻值為哀零，弄則有４．抬初值況定理設(shè)f(t)及其第一階吼導(dǎo)數(shù)徐均為扛可拉鍋氏變升換的煉，則f(t)的初率值為例求專的初繪值。解：可以秩由經(jīng)直接荒求出醉初值發(fā)，亦恭可按該初值免定理六求出窮。直接娃法可趣得初值晨定理焰，今，所燭以駁，由上毫可見斧，兩余種算序法結(jié)孝果是舉一致言的。５．鞠終值愉定理設(shè)f(t)及其道一階察導(dǎo)數(shù)懇均為虛可拉鬧氏變球換的著，則f(t)的終紹值為:應(yīng)用帆終值譜定理密，可倍以確艇定系施統(tǒng)或挨元件帖的穩(wěn)涌態(tài)值茶。但迅要注細(xì)意，獨(dú)如果亡當(dāng)t→∞，牽極限呀不存罷在，刷則不授能應(yīng)你用終撕值定調(diào)理。摔如正浸弦函送數(shù)等尖周期團(tuán)函數(shù)幕，它況們的逝極限亦不存雙在，誘因此股就不傳能使益用終倡值定吃理。例已知詠求f(t)的終排值。解：俯利用幸終值泰定理6、時(shí)今域位評移定銀理（媽延遲愛定理奇）設(shè)L[f(t)]獻(xiàn)=F(s)，對勵任一膨正實(shí)近數(shù)a有式中f(t-a)為函冰數(shù)f(t)延遲甲時(shí)間a之后廣的函門數(shù)，志如圖低所示答，當(dāng)t<a時(shí)f(t)=查0。延遲斧函數(shù)７、來復(fù)域必位移圾定理刺（位悼移定下理）設(shè)L[f(t)]前=F(s)，對哭任一易常數(shù)a（實(shí)兆數(shù)或圖復(fù)數(shù)南），騎有（13）此定沖理常世常在號計(jì)算木有指座數(shù)函蜓數(shù)項(xiàng)愈的復(fù)直合函說數(shù)的缸拉氏醉變換脂時(shí)用財(cái)?shù)?。例求鑰的拉炎氏變?nèi)輷Q。解：圣可直擾接運(yùn)尖用復(fù)庭域位移移定意理及售正弦請函數(shù)甩的拉禮氏變針換求兄得可求稠得8.相似升定理設(shè)L[f(t)]庫=F(s)，對芽任一鐵常數(shù)a，則９．什卷積清定理兩個鑰時(shí)間柏函數(shù)f1(t)，f2(t)積分肯的拉摔氏變產(chǎn)換可障由下鉤式得識到式中（三卸）.拉普豬拉斯廢反變呢?fù)Q已知眉象函寶數(shù)F(s),求出貫與之閱對應(yīng)表的原察函數(shù)f(t)就稱聞為拉政氏反走變換執(zhí)，可授以寫鄭成（16）簡寫雪為對于靜比較膊簡單松的象犧函數(shù)堵，可垂以利查用表2-引1查出困其原您函數(shù)言。但精在工并程中鈴經(jīng)常翼遇到荒的都猶是比園較復(fù)敗雜的斤象函梯數(shù)，于此時(shí)輪，通鬧常先覽利用云部分資分式如展開密法將快復(fù)雜能的象標(biāo)函數(shù)蜻展開狼成簡錘單的院象函燙數(shù)之槳和，霉再利坡用表2稼-印1，分多別查辯出各牙個原艱函數(shù)裕，其岡和即使為所畏求。La燭pl獵ac哈e變換返和反筑變換輔的關(guān)嶼系原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程例解方赴程,其中動，解：俗將方釘程兩檔邊取迅拉氏弓變換添，得將幅代入盛，并督整理和，得所以第二擾節(jié)僅傳贏遞函賞數(shù)傳遞瀉函數(shù)悼是描焦述系量統(tǒng)運(yùn)走動規(guī)暑律的楊一種斤數(shù)學(xué)戶表達(dá)縣式。旬它是欲一個煙復(fù)變表量函盒數(shù)。岔按傳世遞函惠數(shù)可貸以把帶工程飄中所掏遇到潮的元償件、爽部件贏或系耍統(tǒng)用蒙典型師環(huán)節(jié)稅表示封出來志。引佳用了滲傳遞喂函數(shù)災(zāi)的概肌念之嚷后，照可以塌更直顯觀、癥更形浩象地族表示價(jià)一個吸系統(tǒng)純的結(jié)誤構(gòu)和揀系統(tǒng)紐奉各變窗量間努的數(shù)撒學(xué)關(guān)旦系，飄并使盤運(yùn)算朝可以包大為冊簡化一.傳遞薪函數(shù)許的概伏念線性哭定常夾系統(tǒng)池的傳芽遞函辦數(shù)定本義為崗：當(dāng)訪全部棍初始含條件煉為零兆時(shí)，柿輸出東量Y(t)的拉大氏變勒換Y(s)與輸犁入量X(t)的拉洪氏變誤換X(s)之比丑叫做蘆系統(tǒng)母的傳嫁遞函熄數(shù)G(s)。設(shè)線供性定姑常系禍統(tǒng)輸浩入為X(t)，輸娛出為Y(t)，描終述系山統(tǒng)的際微分傲方程免的一捧般形萍式為:式中塊，n≥m;an,bm均為乒系統(tǒng)鍵結(jié)構(gòu)考參數(shù)東所決斷定的爺定常爪數(shù)國。（n，m=0、1、2、3…）如果蹦變量擔(dān)及其嚷各階頃導(dǎo)數(shù)協(xié)初值榮為零算，取裕等式換兩邊裁拉氏吃變換菠后得根據(jù)上傳遞肝函數(shù)勞的定勇義，堅(jiān)系統(tǒng)課的傳秘遞函潤數(shù)G(s)為傳遞賞函數(shù)妖分母姿多項(xiàng)痛式中s的最掀高冪趕數(shù)代酒表了甚系統(tǒng)壞的階盜數(shù)，貓如s的最春高冪釣數(shù)為n則該甩系統(tǒng)椅為n階系首統(tǒng)，鏡。傳遞斬函數(shù)沙是通還過輸入賢和輸爭出之寨間的之關(guān)系限來描支述系說統(tǒng)本恥身特搞性的走，而壇系統(tǒng)音本身擺特性活與輸朵入量哄無關(guān)；輸入受、系上統(tǒng)、甚輸出率三者礦間的稠關(guān)系掀構(gòu)成柄控制鏡工程預(yù)中的草不同菜研究蛾內(nèi)容船；傳遞雹函數(shù)惰不表書明所參描述疫系統(tǒng)普的物填理結(jié)伴構(gòu)，品不同扣的物梢理系扣統(tǒng)，點(diǎn)只要易它們旱動態(tài)阿特性仆相同拋，就杯可用才同一燥傳遞垮函數(shù)勺來描計(jì)述。例試寫摩出具漠有下敵述微宏分方垃程式重的傳但遞函炊數(shù)。（１奸）（２墨）解：聞按前狗述式利子，輸傳遞座函數(shù)他為（１蘿）（２雕）二.典型碑環(huán)節(jié)每的傳普遞函惡數(shù)工程良中常繞見的滋各式你各樣戒的系丟統(tǒng)，筒雖然宜物理率結(jié)構(gòu)貞及其禮工作間原理危不同遼，但詢從傳歇遞函撞數(shù)的缸角度海來看怪，卻馬都是喜由一陸些典甘型的壺傳遞兄函數(shù)障構(gòu)成濤的，非我們?nèi)ぐ堰@鞠些典濫型傳供遞函唯數(shù)通哲稱為環(huán)節(jié)，它豈并不總代表穴一個敗元件腳，有躬時(shí)可薦以由作多個撤元件文構(gòu)成城一個報(bào)部件高或系迷統(tǒng)，釀甚至芹有時(shí)懶它不麥?zhǔn)且换鴤€元冒件，聯(lián)而是啞代表窗一種禽作用頭。熟悉乒掌握際典型戒環(huán)節(jié)褲有助寒于對險(xiǎn)復(fù)雜歡系統(tǒng)會的分這析和貞研究唇。1.比例制環(huán)節(jié)比例些環(huán)節(jié)刑的微跨分方爬程式伐為傳遞馬函數(shù)妥為式中k—比例帳系數(shù)工程鄰例子收：齒胡輪系熊統(tǒng)中曾的輸衫出轉(zhuǎn)勞速與語輸入酬轉(zhuǎn)速亭的關(guān)虎系；嘗杠桿姥中的塔輸出擠位移陸和輸汁入位扣移的舍關(guān)系寄；電睜位計(jì)雨中的拉輸出爛電壓尊與輸毫入轉(zhuǎn)解角的家關(guān)系府；電恰子放罰大器改中輸獄出信仇號與大輸入鞠信號席的關(guān)便系等常見業(yè)比例加環(huán)節(jié)2.積分嘆環(huán)節(jié)積分跳環(huán)節(jié)接的微輪分方震程為傳遞扛函數(shù)信為具有描上式矩傳遞廚函數(shù)寒的環(huán)啟節(jié)，微稱為積分彈環(huán)節(jié)。積分啄環(huán)節(jié)魯很多特，以蹲下例斗說明喂。例如下長圖無裹源網(wǎng)恐絡(luò)，念輸入營量為閥回路縫電流i,而輸谷出量尺為uc,試寫魔出其傻傳遞域函數(shù)挽。電氣值積分繼環(huán)節(jié)解：濕電容芝器充釣電電標(biāo)流i與電固容器愈兩端藝的電慕壓uc關(guān)系昆為對該某式進(jìn)行坑拉氏墨變換錄得傳遞波函數(shù)氧為3.慣性嚼環(huán)節(jié)慣性糞系統(tǒng)括的傳遞雜函數(shù)是式中廳，y為輸泊出量傅；x為輸愉入量明。對價(jià)上式浪進(jìn)行嚼拉氏笑變換犁得：慣性在環(huán)節(jié)醬的微虜分方難程是式中眉，T為時(shí)蝦間常友數(shù)。例如下胖圖所搬示無及源網(wǎng)戶絡(luò)，前當(dāng)輸?shù)救腚姵龎簎i(t)輸出圍電壓uo(t),試寫原出其聲傳遞戴函數(shù)甲。電氣體慣性外系統(tǒng)ui(t)uo(t)RCi解：盈按基雅爾霍奔夫定憂律建幟立回聾路電喇壓方由程式設(shè)得到：由上蹈式得將后妨兩式彼代入劍第一筐式，寸且兩裂邊取溉拉氏及變換碌，得陵到式中4.微分約環(huán)節(jié)一階裁微分?jǐn)拉h(huán)節(jié)理想中微分灘環(huán)節(jié)二階平微分蛾環(huán)節(jié)式中捏，T為常違數(shù)；為阻泉尼比絮。對應(yīng)步于上犯面微勺分方悶程式懷的傳萄遞函腎數(shù)分著別為理想添微分心環(huán)節(jié)一階米微分諒環(huán)節(jié)二階放微分籍環(huán)節(jié)其中惡，若聲具有估實(shí)根段時(shí)，該智式描述擔(dān)的環(huán)界節(jié)就恢不是團(tuán)二階扔微分裳環(huán)節(jié)善，而扮是兩欺個一乳階微霜分環(huán)餐節(jié)的醬串聯(lián)鹽。例圖所示智的電哥氣環(huán)興節(jié)，鋸輸入搬電壓ui(t),輸出怕電壓駁為uo(t),試寫犧出其卻傳遞速函數(shù)畜。電氣從微分位環(huán)節(jié)解：萍按基師爾霍騙夫定可律建炮立回濃路電氏壓方數(shù)程式渡得到經(jīng)拉錫氏變胡換后慶，整踐理，匯可得植傳遞霞函數(shù)統(tǒng)為式中如果RC很小想，上偷式可唉近似捐寫成G(s)=Ts。因滑此，答當(dāng)T=RC很小急時(shí),可把老上圖蔥所示RC電路布看成雜理想服微分帖環(huán)節(jié)悼。此匠電路厘在脈方?jīng)_電當(dāng)路中灣經(jīng)常飄用到殺。5.振蕩古環(huán)節(jié)其微哥分方恥程式佩為傳遞仿函數(shù)扔為m-攤k-敢f機(jī)械肺系統(tǒng)鋸可以全看作柳這種仰環(huán)節(jié)之，微分尚方程悠式為槽：。其傳騙遞函侍數(shù)為mkfFy6、延遲己環(huán)節(jié)輸出好與輸面入關(guān)宗系具香有延戴遲關(guān)答系的滴環(huán)節(jié)遣，稱曠為延依遲環(huán)速節(jié)。微分捆方程編為傳遞片函數(shù)楚為實(shí)際弓上，朵任何暈線性歸系統(tǒng)爺都可康由8種（作或其肌中若瀉干種樹）典慣型環(huán)樹節(jié)構(gòu)誓成，怒這8種典洋型環(huán)頂節(jié)的名傳遞即函數(shù)獻(xiàn)如下恭：1、放君大環(huán)周節(jié)（濃或比瀉例環(huán)繡節(jié)）2、理裹想微信分環(huán)省節(jié)3、一鑰階微京分環(huán)研節(jié)4、二漫階微涉分環(huán)浮節(jié)5、積暖分環(huán)再節(jié)6、慣號性環(huán)往節(jié)7、振當(dāng)蕩環(huán)斗節(jié)8、延遲環(huán)節(jié)典型權(quán)環(huán)節(jié)朵表達(dá)夏式：零極點(diǎn)擋式三、愿傳函臺的零忠點(diǎn)、或極點(diǎn)廈和放留大系龍數(shù)其中醬：bm(s-z1)(s-z2)…陶(s-zm)=弟0的根s=zi(i=1兩,偉2,智…躺,m)，稱為彼傳遞進(jìn)函數(shù)耽的零點(diǎn)；an(s-p1)(s-p2)…崗(s-pn)=倒0的根s=pj(j=1鋸,材2,很…醉,n)，稱為晨傳遞非函數(shù)讓的極點(diǎn)；注意恥：系統(tǒng)坐傳遞窯函數(shù)寨的極揭點(diǎn)就糞是系閣統(tǒng)的背特征雁根.。零點(diǎn)軍和極局點(diǎn)的蜓數(shù)值排完全命取決報(bào)于系折統(tǒng)的木結(jié)構(gòu)茫參數(shù)。復(fù)平乏面上厘的表員示法將傳嘉遞函咳數(shù)的訪零、刪極點(diǎn)步表示鍋在復(fù)鈔平面缸上的息圖形險(xiǎn)稱為膽傳遞杰函數(shù)報(bào)的零枝、極披點(diǎn)分奏布圖斧。圖秀中，鉗零點(diǎn)用“O”表示沾，極盆點(diǎn)用夫“×”表示。零極王點(diǎn)分圾布圖012312-1-2-3-1-2j結(jié)論晚：極點(diǎn)慢決定極系統(tǒng)襪的穩(wěn)禍定性鞭。當(dāng)政極點(diǎn)決在復(fù)枯平面籌的左能半平足面上轉(zhuǎn)（或Re喊[s班]<案0)時(shí)，銹系統(tǒng)徹穩(wěn)定算。放大春系數(shù)第三如節(jié)窩框圖恢及其仗應(yīng)用在控怒制工皆程中用，人藍(lán)們習(xí)山慣用盜框圖菊來說本明和達(dá)討論仍問題談?？蜃C圖是環(huán)系統(tǒng)惡中各民個元給件功積能和王信號畏流向森的圖墓解表奔示。優(yōu)點(diǎn)概：依據(jù)挖信號鋤流向旬，將風(fēng)各環(huán)熄節(jié)框康圖連母接起貪來，階就能灶容易碼地構(gòu)兵成整慶個系攏統(tǒng)；通過胃框圖銅可評周價(jià)每帥一個贊環(huán)節(jié)注對系高統(tǒng)性閥能的弓影響岡，便悉于對殖系統(tǒng)貌進(jìn)行廟分析訓(xùn)和研雞究?？驁D毫和傳贊遞函廢數(shù)表鉗達(dá)式暮一樣遭包含看了與螺系統(tǒng)梅動態(tài)交性能餓有關(guān)麥的信盜息，熔但和視系統(tǒng)進(jìn)的物霞理結(jié)袖構(gòu)無擋關(guān)。冊因此按：不同戚物理需系統(tǒng)賤，可蓬以用費(fèi)同一勿框圖短表示；不同徒分析道角度屑，同捧一系續(xù)統(tǒng)，銳可畫穩(wěn)出許程多不魚同的梳框圖逢?！敖Y(jié)構(gòu)途框圖”是鮮將系回統(tǒng)中晶各元乘件的羽名稱五或功宰用寫蒸在框圖單農(nóng)元中夠，并臘標(biāo)明多它們增之間棒的連勺接順旬序和餓信號征流向?qū)?，主鴨要用怕來說瞧明系垂統(tǒng)構(gòu)各成和爐工作旱原理吃?！昂瘮?shù)框圖”是蒸把元丟件或駝環(huán)節(jié)列的傳本遞函硬數(shù)寫份在框密圖單鞠元內(nèi)鴉，并麥用表瞞明信污號傳餡遞方碰向的朗箭頭挑將這疾些框脂圖單犁元連鳴接起劍來，償主要駐用來格說明蜻環(huán)節(jié)濱特性瞇、信煩號流燃向及繞變量怖關(guān)系蛛，便油于分銷析系咽統(tǒng)。紅本節(jié)瞞主要盟講述虜函數(shù)鏈框圖現(xiàn)。一.框圖虛單元鐮、相堪加點(diǎn)嘉和分幟支點(diǎn)框圖灣單元如右堆圖所畫示，寨圖中棄指向袍框圖興單元懸的箭富頭表燃示輸貞入，仗從框佛圖出房誠來的堆箭頭坡表示倘輸出秧，箭遙頭上春標(biāo)明膜了相叛應(yīng)的互信號嚴(yán)，G(s)表示鵲其傳淘遞函未數(shù)。2.相加愿點(diǎn)如下擦圖所示少，相額加點(diǎn)往代表價(jià)兩個跪或兩醫(yī)個以燃上的織輸入僅信號轉(zhuǎn)進(jìn)行偶相加感或相查減的姨元件馬，或曉稱比姨較器講。相加月點(diǎn)3.分支桿（枝舞）點(diǎn)如下創(chuàng)圖賞所示盲，分牌支點(diǎn)催表示宜信號肯引出擱和測哪量的主位置獅，同朝一位拒置引儲出的呈幾個狠信號坐，在父大小吃和性工質(zhì)上考完全遺一樣深。分支委點(diǎn)二.框圖涂基本溫連接鍋方式1.串聯(lián)各環(huán)鋸節(jié)一笨個個找順序襖連接盼稱為負(fù)串聯(lián)弦，如倍下圖票所示敢。前一徑框圖采的輸繭出為箱后一把框圖短的輸練入為G1(s)、G2(s)各個榴環(huán)節(jié)滔的傳膨遞函幼數(shù)，忙綜合呈后總很的傳沖遞函販數(shù)為喜：上式痛說明臨，由盲串聯(lián)扣環(huán)節(jié)游所構(gòu)且成的尚系統(tǒng)器，當(dāng)稠無負(fù)視載效孩應(yīng)影知響時(shí)葉，它包的總擱傳遞勢函數(shù)修等于丹個環(huán)膊節(jié)傳驕遞函余數(shù)的卷乘積侮。當(dāng)陪系統(tǒng)假由n個環(huán)陜節(jié)串總聯(lián)而簡成時(shí)示，總勵傳遞親函數(shù)繪為：式中Gi(s)第i個串枯聯(lián)環(huán)至節(jié)的側(cè)傳遞階函數(shù)(i=1，2，…，n)2.并聯(lián)凡有尿幾個狗環(huán)節(jié)抄的輸?shù)谌胂噘浲溳敵鲅合嗉幼h或相汪減的脫連接飯形式移稱為瞧并聯(lián)洲。下君圖為與兩個暮環(huán)節(jié)隔的并寫聯(lián)，神共同基的輸雞入為X(s),總輸棒出為:總的云傳遞市函數(shù)氣為這說圣明并權(quán)聯(lián)環(huán)悟節(jié)所碰構(gòu)成待的總?cè)鈧鬟f尖函數(shù)手，等究于各駐個并庸聯(lián)環(huán)喜節(jié)傳睬遞函眼數(shù)之?dāng)『停谢虿钕蹋?。絞推廣偉到n個環(huán)冊節(jié)并籃聯(lián)，項(xiàng)其總幣的傳爽遞函尊數(shù)等殼于各執(zhí)并聯(lián)飛環(huán)節(jié)披傳遞勵函數(shù)激的代宇數(shù)和慘，即式中Gi(s)第i個并館聯(lián)環(huán)杏節(jié)的胃傳遞榆函數(shù)(i=1，2，…，n)3、反饋執(zhí)連接所謂叼反饋，是歌將系科統(tǒng)或授某一縮慧環(huán)節(jié)羊的輸嫌出量遠(yuǎn)，全早部或難部分貧地通泰過反如饋回確路回所饋到珍輸入秒端，末又重湊新輸撞入到截系統(tǒng)賠中去載。反蚊饋信炎號與拌輸入忽信號曠相加司的稱勁為“治正反垂饋”蛋，與夕輸入私信號質(zhì)相減登的稱茅為“莊負(fù)反兼饋”碧。由圖攜可見男：前向鄭通路雙：信號腿沿箭慘頭方墊向從撿輸入器直到頌輸出禮，并英且每勞一路暫徑不奮重復(fù)科的通破道。前向警通路番傳遞敵函數(shù)揭：在前拘向通嶼路中座，所寶有經(jīng)堅(jiān)過的罵環(huán)節(jié)斷的乘舞積。販可由狐下式授計(jì)算斬：反饋璃回路局傳遞漲函數(shù)：H(s)稱為碌反饋劑回路今傳遞魚函數(shù)敘，它森是信應(yīng)號沿炭著輸轟出端撕進(jìn)入綁，而伸回到烈輸入奮端時(shí)喚所有非經(jīng)過奶的環(huán)俊節(jié)乘猾積，劃即常用掩術(shù)語開環(huán)朋傳遞讀函數(shù)貨：G(s)H(s)稱為氧系統(tǒng)盼的開參環(huán)傳怕遞函菜數(shù).可表于示為注意確：開環(huán)吊傳遞壓函數(shù)和開環(huán)細(xì)系統(tǒng)刷傳遞慈函數(shù)是不附一樣頁的。頓將前寄向、臘反饋妻與開怖環(huán)傳橫遞函他數(shù)代盞入反靜饋聯(lián)宴接傳肆遞函濤數(shù)中逗，則蝕系統(tǒng)構(gòu)閉環(huán)獸傳遞遵函數(shù)宣為：當(dāng)H(s)=憤1時(shí)，慢我們董將系貓統(tǒng)稱廈為單蒙位反硬饋系奧統(tǒng)或介全反凳饋系惰統(tǒng)。系統(tǒng)病除了劫有輸牽入量閣外，峰有時(shí)醋還要價(jià)研究案存在慘干擾售時(shí)，衫輸出座量對請于干曲擾也尸存在喇傳遞栽函數(shù)勇。如下用圖所土示系咐統(tǒng)，鉆同時(shí)塵存在夾輸入龍量X(s)與干猜擾量N(s),此時(shí)緩，可唉以對目輸入抽量與宅干擾走量單腐獨(dú)地去進(jìn)行賊處理凈，然矩后再垮疊加棄，就殘可以死得到棟總的顧輸出Y(s)。在輸鉤入量X(s)的作窮用下莊可把話干擾建量N(s)看作素為零蜓，系班統(tǒng)的通輸出吵為YR(s)，則(1)在干良擾量N(s)作用藍(lán)下[可把搏輸入顧量X(s)看作醉為零]，系靜統(tǒng)的撫輸出翼為YN(s)，則（2）在（1）式油中，稱GR(s)為輸刊出量每對輸桐入量鍋的傳叉遞函親數(shù)，即在（2）式斗中，稱GN(s)為輸榨出量吼對干銜擾量院的傳侄遞函菌數(shù)，即（4）系統(tǒng)郵總的籠輸出稱量（5）（3）三.繪制箭系統(tǒng)同框圖敏的方陷法1、列果出描咐述系恩統(tǒng)各僑個環(huán)僚節(jié)的壯運(yùn)動蒜方程梁式；2、假努定初晴始條階件等杜于零膊，對梨方程僑式進(jìn)橡行拉純氏變?nèi)紦Q，逝求出搬環(huán)節(jié)帆的傳憲遞函市數(shù)，濃并將擇它們飽分別盾以方禁塊的騙形式滑表示日出來污；3、將單這些炸方塊貞單元令結(jié)合公在一沙起，倆以組造成系盼統(tǒng)完那整的崇框圖俗。下說面就榮通過至具體耳例子臨說明鵲繪制撲框圖院的方抬法。例繪制撇下圖猾所示五的二菌階RC回路噸的框斥圖。解：沫首先非列出溉系統(tǒng)干原始典方程（1）（3）（4）UrU1R1C1R2C2Uci1i2（2）拉氏旗變換1等效繩變換統(tǒng)法則G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±G(s)ABC±求和點(diǎn)后移G(s)ABC±求和點(diǎn)前移乘G(構(gòu)s)除G(體s)四.框圖悼的變?nèi)蹞Q法侮則系統(tǒng)幕可以辛由多辮個典閣型環(huán)急節(jié)以辣不同形方式策聯(lián)接鏈，通燥常采蓄用框復(fù)圖的販變換船法則房誠將其勝變換珍成最簡基本趣的聯(lián)波接方踐式，秤最后橋可以駝輕而掌易舉慎地得舊到系鑼統(tǒng)的故傳遞缺函數(shù)擊。乘G(集s)除G(難S)引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA2、框肆圖變淡換法殖則上表套中間愿一列浴畫出柳了等另效框晨圖，唐所謂郵等效件，其京含義昌是這紗一框霸圖與原原框魚圖不旺管內(nèi)漫部聯(lián)速接如未何變魂化，窮但從進(jìn)入壇到框商圖的湯輸入店信號辣以及拆輸出糖信號來看裳，這蹤蝶些量演都是爐不變偉的。由上因