《數(shù)學(xué)建模》課程期末復(fù)習(xí)輔導(dǎo)

《學(xué)模課期復(fù)輔考說數(shù)學(xué)建模課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的限選課門教學(xué)生試著用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問題的應(yīng)用性較強(qiáng)的課程因本程的基本命題原則是按照課程教學(xué)大綱的要求考核說明所規(guī)定的范圍內(nèi)要意考核知識點(diǎn)的覆蓋面和突出重點(diǎn)要充分體現(xiàn)廣播電視大學(xué)遠(yuǎn)程開放教育教學(xué)模式和培養(yǎng)師范類應(yīng)用型人才的特點(diǎn)此課程的期末考試主要檢查學(xué)生對數(shù)學(xué)建模基本理論的理解本法的掌握及運(yùn)用所學(xué)的基本理論和基本方法去分析問題、建立實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型的能力．試題類型分為：填空題、分析判斷題和計(jì)算題．填空題只要求直接填寫結(jié)論必對結(jié)論進(jìn)行解釋析判斷題要求給出合乎要求的判斷結(jié)論，但需要進(jìn)行簡明扼要的解釋；計(jì)算題要求寫出運(yùn)算過程與答案．四種題型分?jǐn)?shù)的百分比大致為：填空題20%判斷題30%計(jì)算題50%。關(guān)于試題的難易情況的說明：期末試題按其難易程度分為三類容易題中等題和較難題這三類題在期末試卷中的比例大體為5：：．關(guān)于各章的復(fù)習(xí)要求與重點(diǎn)在本課程的考核說明和期末復(fù)習(xí)輔導(dǎo)文章中都有自己認(rèn)真閱讀期末考試采用半開卷筆試形式面滿分為60分考試時(shí)間為90分鐘考試可以攜帶計(jì)算器。綜練一填題1．設(shè)開始時(shí)的人口數(shù)為

x

，時(shí)刻

t

的人口數(shù)為

xt)

，若人口增長率是常數(shù)

r

，那么人口增長問題的馬爾薩斯模型應(yīng)為．應(yīng)該填寫：

(t)0

rt2．在建立人口增長問題的羅捷蒂克模型時(shí)，假設(shè)人口增長率r是口數(shù)量

x(t)

的遞減函數(shù)，若最大人口數(shù)量記作

x

為簡化模型，采用的遞減函數(shù)是．1

應(yīng)該填寫：

r()(1)3．馬爾薩斯與羅捷斯蒂克兩個(gè)口增長模型的主要區(qū)別是假設(shè)了．應(yīng)該填寫：增長率是常數(shù)還是人口的遞減函數(shù)4．設(shè)年利率為0.02，則8年10元的現(xiàn)值按照復(fù)利計(jì)算應(yīng)為確元）應(yīng)該填寫：

Q8

（萬元）5．若銀行的年利率是

%，需要時(shí)間，存入的錢才可番．ln2/%)應(yīng)該填寫：6．若按照復(fù)利計(jì)算20萬元10年后終值是

209

萬元)

，則年利率應(yīng)為．應(yīng)該填寫：0.057個(gè)生的學(xué)習(xí)成績其知識基礎(chǔ)雄厚度周邊環(huán)境的惡度努力度三者的關(guān)系可以用模型來表.應(yīng)該填寫：

xy8．假設(shè)

C,YC則與的學(xué)關(guān)系式為其中2

,

是常數(shù)．應(yīng)該填寫：

kCCxkx22

，其中

21

9一家服裝店經(jīng)營的某種服裝均每天賣出100貨一次的批發(fā)手續(xù)費(fèi)為200元存儲費(fèi)用為每件0.01元天主不希望出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象最進(jìn)貨周期與最優(yōu)進(jìn)貨量分別為．應(yīng)該填寫：

T

*

*

200010．設(shè)某種物資有兩個(gè)產(chǎn)地

,A2

，其產(chǎn)量分別為10、20，兩個(gè)銷地

,B

的銷量相等均為15．果從任意產(chǎn)地到意銷地的單位運(yùn)價(jià)都相等為兩個(gè)特點(diǎn)．應(yīng)該填寫：最優(yōu)運(yùn)輸方案不惟一；總運(yùn)費(fèi)均相等11．一個(gè)連通圖能夠一筆畫出的分必要條件是．2

則最優(yōu)運(yùn)輸方案與運(yùn)價(jià)具有

應(yīng)該填寫：奇數(shù)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或12．所謂數(shù)學(xué)建模的五步建模法指下列五個(gè)基本步驟，按一般順序可以寫出為．應(yīng)該填寫：問題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，模型分析二分判題1．我們時(shí)?？吹浇虒W(xué)樓內(nèi)、食和宿舍樓內(nèi)的長流水現(xiàn)象，這自然是極大的浪.為了建設(shè)節(jié)約型學(xué)校你節(jié)問題給予解.么你將考慮哪些相關(guān)因素？試至少給出5個(gè)解（）換自來水龍頭及其費(fèi)用、約下來的水費(fèi)兩個(gè)因素，兩者的比較可用于確定建模目標(biāo)；（）據(jù)調(diào)查：學(xué)校平均每個(gè)月的用水量，食堂的用水量、衛(wèi)生間用水量、宿舍用水限量、定時(shí)定量供水的可行性調(diào)查，臨時(shí)申請用水問題等因素．2．有一大堆油膩的盤子和一盆的洗滌劑水。為盡量多洗干凈盤子，有哪些因素應(yīng)予以考慮？試至少列出四種．解：問題盤子、水和溫度等因素直接相關(guān)，故有相關(guān)因素：盤子的油膩程度，盤子的溫度，盤子的尺寸大?。幌礈靹┧臏囟?、濃度；刷洗地點(diǎn)的溫度等．注列的素足個(gè)每一扣4分．3地方公安部門想知道緊急事故發(fā)生時(shí)人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假設(shè)有足夠的安全通道.若指揮想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定怎樣的疏散計(jì)劃.請就這個(gè)計(jì)劃指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號表解：撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)、員總數(shù)、撤離速度、們之間相對擁擠程度r、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離、員撤離完畢所需要的總時(shí)間等注列的素足個(gè)每一扣5分4．作為經(jīng)濟(jì)模型的一部分，若量的變化率與生產(chǎn)量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常數(shù)，另一部分與產(chǎn)量成正比，那么相應(yīng)的微分方程模型是什么？解

令表產(chǎn)量，表示需求量則

dxdt

y)以,

其中

a,b,k

均為常數(shù)將一式代入前一式即可得到dxxb)cxdtt5．假設(shè)某個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如形式：3

111111(x)

x[1).2試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)行簡化．解：當(dāng)

a

較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開式將小括號部分簡化為2x2),a2從而有

Px)

M2a

xe

x

.若

也很小，則可以利用

e

將其進(jìn)一步化簡為M()(1x2三計(jì)題1．求解決策變量帶有上下界的性規(guī)劃模:max

).st

2xx0.并說明）若約束條件右端項(xiàng)示資源，那么資源的利用情況怎樣？（）優(yōu)解是否有選擇的余地．解利圖解法．先給出前兩個(gè)約束條件滿足的區(qū)域，為一個(gè)四邊形區(qū)域．再考慮有上下界條件，便給出可行域．見圖一…最后考慮目標(biāo)函數(shù)直線．由于其斜率與各個(gè)邊界直線的斜率各不相同，故最優(yōu)解是唯一

x2+412

+2=1212x=42x=22的，解聯(lián)立方程組

O

1X*,4)x4,2

T

，

圖一對應(yīng)的目標(biāo)值

*

163

．8（）一種資源超支個(gè)單位第二種資源充分利用．34

（）有選擇余地，因?yàn)榻馕ㄒ唬?．有某種物資從三個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往個(gè)銷地，各產(chǎn)地的產(chǎn)量及各銷地的銷量如表所.但其中間各數(shù)據(jù)為利潤值希在成運(yùn)輸任務(wù)的同時(shí)總利潤達(dá)到最大試出最優(yōu)運(yùn)輸方案（提：初方用大素，當(dāng)有驗(yàn)

ij

時(shí)最解檢數(shù)法變表1單位萬/噸銷地利潤

B

BBB

產(chǎn)量產(chǎn)地A

3113710AA

192874105

49銷量

3656解

首先利用“大素”出初始方案如表：表2

單位:萬元噸銷地利潤產(chǎn)地

BBB

產(chǎn)量A

3

⑥

10①

7A

1

4A

7③4

10⑤5①

9銷量

3656其次，對方案進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)：=3-10+5-7=-9=3-10+5-10=-12<，=1-8+5-7=-9<，=9-11+10-8=-，=2-8+5-10=-11<，

=4-11+10-5=-2，故初始方案已是最優(yōu)方案，即總利潤達(dá)到最大的運(yùn)輸方案為：5

AB2

AB,4

A4,4A3,

A5,

A1B

總利潤為：

（萬元）…3．某種物資從城市運(yùn)城市v.中可以通過19

v,28

七個(gè)城市運(yùn)抵目的地．各城市之間的可通道路及其間距離如圖二所示（單位：

）試計(jì)一個(gè)從

v1

到

v9

的運(yùn)輸路線，使得總運(yùn)輸路程最短，并求出最短路v2

11

v7v1

3

v3

6

5

v5

2

8

5

v94

2

3

4

7v4

4

v6

6

v8圖二解

使用雙標(biāo)號法見圖三(3)v2

11

v7v1(0)

34

9(6)v3

62

5

(11)v53

24

8

57

v9v4(4)

4

v6(8)

6

v8(14)圖三由圖二可得本問題有兩條最短路線，分別是：vvvvv,l139minvvvvl1659min

注給雙標(biāo)號法圖形15分給兩條路線并指出最短路線的費(fèi)用10分少條路線扣5分4．有一批貨物要從廠家A運(yùn)三個(gè)銷售地中間可經(jīng)過9個(gè)運(yùn)站E,EEF,,,G,123

從A到

EE13

的運(yùn)價(jià)依次為387；

E

1

到

F,F1

的6

1271212712運(yùn)價(jià)為4、3；從

2

到

,F,F23

的運(yùn)價(jià)為2、8、；

E

3

到

23

的運(yùn)價(jià)為7、；

F

1

到G1

2

的運(yùn)價(jià)為1012從

F2

到

G23

的運(yùn)價(jià)為1357從

到G,3

的運(yùn)價(jià)為6、8；從到,C的價(jià)為910從G到C,D12

的運(yùn)價(jià)為5、、15；從到C,D的3價(jià)為8、。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家制定一個(gè)總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸路線．解

建立圖模型如圖四．A

E1E2

FF

GG

12

BCE

3

F3

G

3

D圖四利用雙標(biāo)號法計(jì)算結(jié)果如圖五．0

A

3E18E2

F613F

1917G1115G2

16B21CE

3

F3

G

3

D7

13

13

20圖五再利用逆向搜索法便可得到運(yùn)輸路線有：EFB

，

l

min

；EFC12lAEGD,1min

或20

AGC1．

l

min

（意到的路只出條扣2）5．某工程隊(duì)承擔(dān)一座橋梁的施任由于施工地區(qū)夏季多雨，需停工三個(gè)月．在停工期間該工程隊(duì)可將施工機(jī)械搬走或留在原.如搬走，需搬運(yùn)費(fèi)1800元如原處，一種7

方案是花500元筑一護(hù)堤防河水上漲發(fā)生高水位的侵襲若不筑護(hù)堤發(fā)生高水位侵襲時(shí)將損失10000元如暴雨發(fā)洪水時(shí)，則不管是否筑護(hù)堤，施工機(jī)械留在原處都將受到60000元損.據(jù)歷史資料，地區(qū)夏季高水位的發(fā)生率是25%，水的發(fā)生率是2%.試用決策樹法分析該施工隊(duì)要不要把施工機(jī)械搬走及要不要筑護(hù)堤？解建決策樹模型如圖3．B

-1800A

搬走不搬走

C

筑堤

D

高