正弦定理++(二)+課件【核心知識精研精講】 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

正

弦

定

理

(二)學習目標1.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關系.2.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.3.掌握正弦、余弦定理的簡單應用.知識梳理1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosA，c2＝a2＋b2－2abcosC，大黃蜂變形后功能改變，大大地增加了戰(zhàn)斗力！那正弦定理變形后會有什么威力呢？知識梳理我們先來學會變形吧！

利用正弦、余弦定理解三角形1例1在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.解方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.當a＝3時，A＝30°，∴C＝120°；已知兩邊和一對角可使用余弦定理∴A＝90°，C＝60°.例11.畫出圖形2.由正弦定理求角C的正弦值3.分情況討論角C是銳角還是鈍角30°在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.CAB30°CAB用正弦定理的解題思路能不能使用正弦定理呢？例1在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.又c>b,∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.30°CAB120°30°CAB60°當C＝60°時，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；當C＝120°時，A＝30°＝B，a＝b＝3.分情況討論角C是銳角還是鈍角反思感悟已知兩邊及一邊對角解三角形注意事項用余弦定理用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).用正弦定理用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此三角形解的個數(shù)的判斷.

跟蹤訓練1即bc＝20，又c＝4，所以b＝5.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，CAB跟蹤訓練1利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀2例2在△ABC中，因為0<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，注意正切化兩弦所以由正弦定理，得sin2A·tanB＝sin2B·tanA，A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形注意邊化角例2因為在△ABC中，0<A<π，0<B<π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，注意角范圍和分類討論A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.√反思感悟判斷三角形形狀的方法及技巧余弦定理用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).化簡技巧統(tǒng)一成邊(或角)的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解.

跟蹤訓練2在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3b＝

asinB，cosA＝cosC，則△ABC的形狀是A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析在△ABC中，cosA＝cosC，A，C∈(0，π)，由函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，可得A＝C.顯然A為銳角，從而有A＝60°，則C＝60°，進而得B＝60°，所以△ABC的形狀是等邊三角形.√正弦、余弦定理的綜合應用3例3設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求B的大??；1.正弦定理邊化角得2.由角的范圍求得例3設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求B的大??；在△ABC中，sinA≠0，例3設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB.(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.1.正弦定理角化邊得2.由余弦定理可求c＝2a例3解∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB.(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意點①正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用②兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關鍵.跟蹤訓練3△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大??；由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.又0°＜B＜180°，因此B＝45°.跟蹤訓練3(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解sinA＝sin(30°＋45°)又C＝