高中數(shù)學(xué)2-3學(xué)案：第一章 計數(shù)原理 章末復(fù)習(xí)課 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1.歸納整理本章的知識要點.2.能結(jié)合具體問題的特征，合理選擇兩個計數(shù)原理來分析和解決一些簡單的實際問題.3。理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)和組合數(shù)公式，掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì),并能用它們解決實際問題。4。掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們解決與二項展開式有關(guān)的計算和證明問題．1．分類計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝____________________種不同的方法．2．分步計數(shù)原理完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，…,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝____________________________種不同的方法．3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式Aeq\o\al(m，n)＝n（n－1）（n－2）…____________＝____________組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n）＝________＝________________________＝________________性質(zhì)當(dāng)m＝n時,Aeq\o\al(m,n）為全排列；Aeq\o\al（n,n)＝n！；0!＝______Ceq\o\al(0,n）＝Ceq\o\al（n，n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝________；Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝________備注n，m∈N*，且m≤n4.二項式定理(1）二項式定理的內(nèi)容：（a＋b）n＝______________________________________________________________。(2）通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al（k,n）an－kbk，k∈｛0，1，2,…，n｝．（3）二項式系數(shù)的性質(zhì)：①與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等；②若n為偶數(shù)，中間一項eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(第\f(n，2）＋1項))的二項式系數(shù)最大;若n為奇數(shù),中間兩項eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1，2）項和第\f（n＋1，2)＋1項))的二項式系數(shù)相等且最大．③Ceq\o\al(0，n）＋Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（2,n)＋…＋Ceq\o\al(n，n)＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（2,n)＋…＝Ceq\o\al（1，n)＋Ceq\o\al(3，n）＋…＝2n－1.類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計數(shù)問題中的應(yīng)用eq\x（命題角度1分類討論思想)例1車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工,現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法?反思與感悟解含有約束條件的排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類，分類時需要滿足兩個條件：（1)類與類之間要互斥（保證不重復(fù))．（2)總數(shù)要完備（保證不遺漏）．跟蹤訓(xùn)練1從1,2,3，4,5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中若有1和3時，3必須排在1的前面;若只有1和3中的一個時，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答）eq\x（命題角度2“正難則反"思想）例2設(shè)集合S＝｛1，2,3,4,5,6,7,8，9｝，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2,a3滿足a1<a2<a3,a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為________．反思與感悟?qū)τ谡嫣幚磔^復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．跟蹤訓(xùn)練2由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人（且每人僅報一科）,若學(xué)生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．類型二排列與組合的綜合應(yīng)用例3在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目．(1)當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序?(2）當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(3）若已定好節(jié)目單,后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？反思與感悟排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列,何時為組合．對含有特殊元素的排列、組合問題,一般先進行組合,再進行排列．對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論，分類的原則是不重、不漏．在用間接法計數(shù)時，要注意考慮全面，排除干凈．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)集合A＝｛（x1，x2，x3,x4，x5）｜xi∈{－1，0,1},i＝1,2,3，4，5},那么集合A中滿足條件“1≤｜x1|＋|x2｜＋|x3｜＋|x4｜＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為___________________________．類型三二項式定理及其應(yīng)用eq\x(命題角度1二項展開式的特定項問題)例4已知在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2，\r(3,x）））)n的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3.（1)求展開式中的所有有理項;（2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；(3）求n＋9Ceq\o\al（2,n)＋81Ceq\o\al(3，n）＋…＋9n－1Ceq\o\al（n,n)的值．反思與感悟(1）確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素．（2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù),然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項．（3）求二項展開式中條件項的系數(shù):先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù),然后代入通項公式求出此項的系數(shù)．（4）求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入．（5)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項:利用二項式系數(shù)的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練4已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（5x－\f（1,\r(x)))）n展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16倍．(1)求n;（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項;（3）求展開式中所有x的有理項．eq\x(命題角度2二項展開式的“賦值”問題）例5若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10。（1)求a2；（2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求（a0＋a2＋a4＋…＋a10）2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.反思與感悟與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值,再由方程組求出結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練5若(x2＋1)（x－3)9＝a0＋a1（x－2）＋a2（x－2)2＋a3（x－2)3＋…＋a11（x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．1．4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有________種．2．已知關(guān)于x的二項式eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(x)＋\f（a,\r（3,x））)）n展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為________．3．六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有________種．4．若（1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝________.5．航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進行標(biāo)號為0，1，2，3,4，5的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中0號實驗不能放在第一項,最后一項的標(biāo)號小于它前面相鄰一項的標(biāo)號，則實驗順序的編排方法種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）1．排列與組合（1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無序的．(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件,對于有限制條件的排列問題，通常從以下兩種途徑考慮：①元素分析法：先考慮特殊元素的要求,再考慮其他元素．②位置分析法:先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3）排列與組合綜合應(yīng)用是本章內(nèi)容的重點與難點，一般方法是先分組，后分配．2．二項式定理(1)與二項式定理有關(guān)，包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構(gòu)造二項式，合理應(yīng)用展開式．（2)與通項公式有關(guān)，主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等,此時要特別注意二項展開式中第r＋1項的通項公式是Tr＋1＝Ceq\o\al（r,n）an－rbr（r＝0,1，…,n），其中二項式系數(shù)是Ceq\o\al（r，n)，而不是Ceq\o\al(r＋1，n），這是一個極易錯點．（3)與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和等主要方法是賦值法．

答案精析知識梳理1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn3．(n－m＋1)eq\f（n！，n－m！)eq\f（A\o\al(m，n）,A\o\al（m，m））eq\f(nn－1n－2…n－m＋1，m!)eq\f（n!，m！n－m！)1Ceq\o\al(n－m,n）Ceq\o\al（m，n＋1）4．（1）Ceq\o\al（0,n）an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al（k，n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n）bn（n∈N＊）題型探究例1解方法一設(shè)A，B代表2位老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有Ceq\o\al(4，5）Ceq\o\al(4，4）＝5（種），A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有Ceq\o\al（2，2）Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4，4)＝10（種)，A,B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有Ceq\o\al(2，2)Ceq\o\al（4，5）Ceq\o\al(2,4）＝30（種)，A，B都在內(nèi)且一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有Aeq\o\al（2,2)Ceq\o\al(3，5）Ceq\o\al(3，4)＝80（種),A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有Ceq\o\al（1，2）Ceq\o\al(3，5）Ceq\o\al（4,4）＝20（種），A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al（4,5）Ceq\o\al(3，4)＝40(種)，所以共有Ceq\o\al(4,5）Ceq\o\al（4,4)＋Ceq\o\al（2，2)Ceq\o\al(2，5）Ceq\o\al（4，4）＋Ceq\o\al(2，2）Ceq\o\al（4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2，2)Ceq\o\al（3,5)Ceq\o\al(3，4)＋Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al（3,5）Ceq\o\al(4，4)＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al（4，5）Ceq\o\al(3,4）＝185(種）．方法二5名男鉗工有4名被選上的方法有Ceq\o\al（4，5)Ceq\o\al(4,4）＋Ceq\o\al（4,5）Ceq\o\al（3，4）Ceq\o\al（1,2）＋Ceq\o\al(4，5）Ceq\o\al（2,4）Ceq\o\al(2，2）＝75(種)，5名男鉗工有3名被選上的方法有Ceq\o\al（3,5）Ceq\o\al(1，2）Ceq\o\al（4，4)＋Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(3,4）Aeq\o\al(2,2)＝100（種），5名男鉗工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2，5)Ceq\o\al（2，2)Ceq\o\al(4,4）＝10(種),所以共有75＋100＋10＝185（種）．方法三4名女車工都被選上的方法有Ceq\o\al（4，4)Ceq\o\al(4，5)＋Ceq\o\al(4，4)Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(1，2）＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5）Ceq\o\al（2,2)＝35（種），4名女車工有3名被選上的方法有Ceq\o\al（3，4）Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al（4，5)＋Ceq\o\al（3,4)Ceq\o\al(3,5）Aeq\o\al（2,2）＝120（種)，4名女車工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（2，2）Ceq\o\al（4,5）＝30(種），所以共有35＋120＋30＝185（種)．跟蹤訓(xùn)練160解析1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進行分類．分三類：①沒有數(shù)字1和3時，有Aeq\o\al(3,4）個；②只有1和3中的一個時，有2Aeq\o\al(2，4）個;③同時有1和3時,把3排在1的前面，再從其余4個數(shù)字中選1個數(shù)字插入3個空當(dāng)中的1個即可，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)個．所以滿足條件的三位數(shù)共有Aeq\o\al(3,4)＋2Aeq\o\al（2，4)＋Ceq\o\al（1,4)·Ceq\o\al（1,3）＝60（個)．例283解析若從正面考慮，需分當(dāng)a3＝9時，a2可以取8,7，6,5,4,3,共6類；當(dāng)a3＝8時，a2可以取7，6,5,4，3，2,共6類；…分類較多,而其對立面a3－a2>6包含的情況較少，當(dāng)a3＝9時,a2取2,a1取1一種情況，利用正難則反思想解決．集合S的含有三個元素的子集的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9）＝84。在這些含有三個元素的子集中能滿足a1〈a2〈a3且a3－a2>6的集合只有{1，2,9}，故滿足題意的集合A的個數(shù)為84－1＝83。跟蹤訓(xùn)練230解析從4人中選出兩個人作為一個元素有Ceq\o\al(2,4)種方法，同其他兩個元素在三個位置上排列有Ceq\o\al（2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)方案,其中有不符合條件的，即學(xué)生甲、乙同時參加同一競賽有Aeq\o\al(3,3)種結(jié)果，∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種)．例3解（1)第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有Aeq\o\al（7，7）＝5040（種）方法；第二步再松綁，給4個節(jié)目排序，有Aeq\o\al（4,4)＝24(種)方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序．(2)第一步將6個演唱節(jié)目排成一列（如下圖中的“□”），一共有Aeq\o\al（6,6)＝720（種）方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個演唱節(jié)目中間，這樣相當(dāng)于7個“×”選4個來排，一共有Aeq\o\al(4，7)＝840（種）方法．根據(jù)分步計數(shù)原理,一共有720×840＝604800（種）安排順序．（3）若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有Aeq\o\al（12，12)種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除,所以節(jié)目演出的方式有eq\f（A\o\al（12，12）,A\o\al（10,10)）＝Aeq\o\al（2,12)＝132（種）排列．跟蹤訓(xùn)練3130解析由“1≤｜x1｜＋｜x2｜＋|x3｜＋｜x4|＋｜x5|≤3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設(shè)集合M＝｛0}，N＝{－1，1｝．當(dāng)x1,x2，x3，x4，x5中有2個取值為0時,另外3個從N中取，共有Ceq\o\al(2，5）×23種方法；當(dāng)x1，x2，x3，x4,x5中有3個取值為0時，另外2個從N中取,共有Ceq\o\al(3,5）×22種方法;當(dāng)x1,x2，x3，x4，x5中有4個取值為0時，另外1個從N中取，共有Ceq\o\al(4,5)×2種方法．故總共有Ceq\o\al(2,5）×23＋Ceq\o\al（3，5）×22＋Ceq\o\al(4，5）×2＝130（種）方法，即滿足題意的元素個數(shù)為130。例4解（1)由Ceq\o\al(4，n）（－2）4∶Ceq\o\al(2，n）（－2）2＝56∶3，解得n＝10,因為通項Tr＋1＝Ceq\o\al（r，10）(eq\r(x））10－req\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2，\r(3，x））））r＝（－2)rCeq\o\al（r，10),r＝0，1,2，…，10。當(dāng)5－eq\f（5r,6）為整數(shù)時，r可取0,6，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440。(2)設(shè)第r＋1項系數(shù)的絕對值最大,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r，10)2r≥C\o\al(r－1，10)2r－1，,C\o\al(r，10）2r≥C\o\al（r＋1，10)2r＋1,))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r≤\f（22,3），，r≥\f（19,3)，)）又因為r∈｛1，2，3，…，9}，所以r＝7,當(dāng)r＝7時，T8＝－15360，又因為當(dāng)r＝0時,T1＝x5，當(dāng)r＝10時，T11＝(－2）10＝1024，所以系數(shù)的絕對值最大的項為T8＝－15360。（3)原式＝10＋9Ceq\o\al（2，10）＋81Ceq\o\al（3，10）＋…＋910－1Ceq\o\al（10,10)＝eq\f（9C\o\al(1，10)＋92C\o\al（2，10)＋93C\o\al(3，10)＋…＋910C\o\al(10,10),9)＝eq\f(C\o\al（0，10）＋9C\o\al（1,10）＋92C\o\al（2,10）＋93C\o\al（3,10)＋…＋910C\o\al(10，10）－1,9）＝eq\f(1＋910－1,9）＝eq\f(1010－1,9）.跟蹤訓(xùn)練4解(1）令x＝1，得二項式eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（5x－\f(1,\r（x）)))n展開式中各項系數(shù)之和為（5－1）n＝4n，各項二項式系數(shù)之和為2n，由題意，得4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.(2)通項T