抽象函數(shù)奇偶性對(duì)稱(chēng)性周期性總結(jié)

------------------------------------------------------------------------抽象函數(shù)奇偶性對(duì)稱(chēng)性周期性總結(jié)抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念:抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿(mǎn)足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來(lái)比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C:。把個(gè)單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數(shù)：設(shè)=1\*GB3①若=2\*GB3②若。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：（1）中心對(duì)稱(chēng)即點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：=1\*GB3①點(diǎn)=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤（2）軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)稱(chēng)軸方程為：。=1\*GB3①關(guān)于直線(xiàn)=2\*GB3②函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。=3\*GB3③關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。二、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的幾個(gè)重要結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對(duì)稱(chēng)性（自身對(duì)稱(chēng)）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱(chēng)性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性”。1、圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論1：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論2、的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論3、的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性（相互對(duì)稱(chēng)）（利用解析幾何中的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)軌跡方程理解）1、偶函數(shù)與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)2、奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（三）抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性1、抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)1若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝a軸對(duì)稱(chēng)，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng)，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時(shí)的特例。

2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義2、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說(shuō)明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個(gè)特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝a軸對(duì)稱(chēng)（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng)）

3、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線(xiàn)x＝（b－a）/2軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)（（b－a）/2，0）中心對(duì)稱(chēng)推論1、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對(duì)稱(chēng)推論2、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)x＝a與x＝b軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)6、若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)7、若函數(shù)y＝f(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)x＝b軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b|6、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用（1）若,即（2）例題1、;2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)：。3、若的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。設(shè).（四）常用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1、()的周期為，()也是函數(shù)的周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、的周期為10、若11、有兩條對(duì)稱(chēng)軸和周期推論：偶函數(shù)滿(mǎn)足周期12、有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和周期推論：奇函數(shù)滿(mǎn)足周期13、有一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性解題的常見(jiàn)類(lèi)型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，它對(duì)訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力有重要作用.下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其應(yīng)用類(lèi)型。1.求函數(shù)值例1.（1996年高考題）設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．（1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且，求的值.。2、比較函數(shù)值大小例3.若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試比較、、的大小.解：是以2為周期的偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，且，3、求函數(shù)解析式例4.（1989年高考題）設(shè)是定義在區(qū)間上且以2為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間已知當(dāng)時(shí)，求在上的解析式.解：設(shè)時(shí)，有是以2為周期的函數(shù)，.例5．設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時(shí)，的解析式.解：當(dāng)，即，又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時(shí)，4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知的周期為4，且等式對(duì)任意均成立，判斷函數(shù)的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例7.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個(gè)交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算分析：此題的思路與例2思路類(lèi)似.解：令則不難用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：，且以4為周期.于是有1，5，9…1997是以4為公差的等差數(shù)列，，由得總項(xiàng)數(shù)為500項(xiàng)，7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開(kāi)式后，利用一周為七天這個(gè)循環(huán)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.解：因?yàn)檎归_(kāi)式中前92項(xiàng)中均有7這個(gè)因子，最后一項(xiàng)為1，即為余數(shù)，故天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.（上海市1994年高考題）設(shè)，則滿(mǎn)足等式且大于1的正整數(shù)中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.分析：運(yùn)用方冪的周期性求值即可.解：，9、解“立幾”題例11.ABCD—是單位長(zhǎng)方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱(chēng)為“走完一段”。白蟻爬行的路線(xiàn)是黑蟻爬行的路線(xiàn)是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線(xiàn)與第段所在直線(xiàn)必須是異面直線(xiàn)（其中.設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑白蟻的距離是（A）1；（B）；（C）；（D）0.解：依條件列出白蟻的路線(xiàn)立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn).可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個(gè)周期.1990=6，因此原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計(jì)算出在走完四段后黑蟻在點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是例題與應(yīng)用例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時(shí)f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=－2x+1，則當(dāng)時(shí)求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時(shí)f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿(mǎn)足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào).求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在區(qū)間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個(gè)根？

解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對(duì)稱(chēng)，類(lèi)比命題2（2）可知f(x)的一個(gè)周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個(gè)根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根，因此方程f(x)=0在區(qū)間[－1000，1000]上至少有1+=401個(gè)根.例1、函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D）A．關(guān)于直線(xiàn)x＝5對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關(guān)于點(diǎn)（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對(duì)稱(chēng)，故選D。（原卷錯(cuò)選為C）例2、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，證明f(x)是周期函數(shù)。（2001年理工類(lèi)第22題）例3、設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)f(x)＝x，則f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工類(lèi)第15題）例4、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（C）A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、鞏固練習(xí)1、函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象（

）。A．關(guān)于直線(xiàn)x＝5對(duì)稱(chēng)

B．關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱(chēng)

D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)2、設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f(7