控制工程基礎(chǔ)第二章演示文稿

控制工程基礎(chǔ)第二章演示文稿NJUSTZJ不拋棄，不放棄目前一頁\總數(shù)七十一頁\編于點（優(yōu)選）控制工程基礎(chǔ)第二章目前二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄拉氏變換作用：將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解大大簡化，拉氏變換是分析機電控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法之一。在此基礎(chǔ)上，進一步得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.3拉氏變換與反變換目前三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.1拉氏變換定義對于函數(shù)x(t)滿足，（1）t<0時，x(t)=0

t>=0時，x(t)在每個有限區(qū)間上分段連續(xù)。

為原函數(shù)；為象函數(shù)。式中，s是復(fù)變數(shù)；（2）其中s是正實數(shù)，即x(t)為指數(shù)級的；則x(t)的拉氏變換存在，其表達式記作:

目前四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄1單位階躍函數(shù)2指數(shù)函數(shù)2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄根據(jù)歐拉公式余弦函數(shù)3正弦函數(shù)2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄4冪函數(shù)2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄由洛必達法則：所以：2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換5單位脈沖函數(shù)0t

x(t)

單位脈沖函數(shù)

目前九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄10t

x(t)

單位速度函數(shù)16單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄單位加速度函數(shù)0tx(t)7單位加速度函數(shù)2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換目前十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.3拉氏變換的性質(zhì)1疊加定理（線性定理）

2微分定理

3積分定理

4衰減定理

5延時定理

7終值定理

6初值定理

8時間比例尺改變的象函數(shù)（相似定理）

目前十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄1疊加定理（線性定理）

若則2.3.3拉氏變換的性質(zhì)例：目前十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2微分定理

推論：（1）

二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換

（2）在零初始條件下

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3積分定理

式中2.3.3拉氏變換的性質(zhì)推論：（1）

（2）在零初始條件下

目前十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄4衰減定理

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)例：已知

求：

目前十六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄5延時定理

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前十七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄例：求如下圖的拉氏變換。

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前十八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄7終值定理

注意:運用終值定理的前提是存在。6初值定理

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前十九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄8時間比例尺改變的象函數(shù)（相似定理）

例：求的拉氏變換。

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前二十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄9的象函數(shù)

10的拉氏變換

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前二十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄12卷積分的象函數(shù)

的卷積分的數(shù)學(xué)表示為：11周期函數(shù)的象函數(shù)

2.3.3拉氏變換的性質(zhì)目前二十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄拉氏變換的應(yīng)用

1、試求2、試求的拉氏變換。3、試求的拉氏變換。4、試求圖所示x（t）的拉氏變換。x(t)ta2a0目前二十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄拉氏變換的應(yīng)用5、試求圖所示x（t）的拉氏變換。tx(t)0TT6、(1)若初值為零，即(2)若初值不為零，即求拉氏變換。7、求的拉氏變換。設(shè)初值均為零。目前二十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄9、求其拉氏變換。拉氏變換的應(yīng)用10、求其拉氏變換。8、已知試求目前二十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄簡寫為：2.3.4拉氏反變換定義：部分分式法求時間函數(shù)x（t）：將一個復(fù)雜的象函數(shù)X(s)分解成若干個簡單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的原函數(shù)，各原函數(shù)之和即為所求的x(t)。目前二十六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換例2－3試求拉氏反變換。解：部分分式法求時間函數(shù)x（t）目前二十七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄一般機電系統(tǒng)，通常遇到如下形式的有理分式：得零點：得極點：2.3.4拉氏反變換部分分式法求時間函數(shù)x（t）目前二十八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換用部分分式法將上式分解為若干個簡單分式之和，并分三種情況討論。目前二十九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄1.只含不同單極點的情況2.3.4拉氏反變換目前三十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換例2－4試求拉氏反變換。解：目前三十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換2.含有共扼復(fù)數(shù)極點時令上式兩邊實部與虛部分別相等，即可求得a1和a2,

a3至an與單極點的算法一樣。目前三十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換可通過配方，化成如下正弦、余弦象函數(shù)的形式，然后求其拉氏反變換。目前三十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄例2－5試求拉氏反變換。解：令兩邊實部與虛部分別相等，得：2.3.4拉氏反變換目前三十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄則：2.3.4拉氏反變換目前三十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3.含有多重極點時2.3.4拉氏反變換設(shè)p1為r個重根，pr+1、……

、pn為單根，則可將X(s)展成：目前三十六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄根據(jù)拉氏反變換2.3.4拉氏反變換目前三十七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄解：2.3.4拉氏反變換例2－7試求拉氏反變換。目前三十八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.4拉氏反變換目前三十九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄例2－8解方程其中，解：方程兩邊取拉氏變換：2.3.5用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程目前四十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.3.5用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；

解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達式；

應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。目前四十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程2.3.5用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程目前四十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.4傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

拉氏變換是求解線性常微分方程的有效工具，但求出微分方程的解后，也難以找出微分方程的系數(shù)（由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定）對方程解（一般為系統(tǒng)的被控量）的影響的一般規(guī)律。

更重要的是，傳遞函數(shù)可以用框圖表示和化簡，求取比微分方程更直觀、方便。

經(jīng)典控制理論中廣泛使用的系統(tǒng)分析設(shè)計方法－頻率法，不是直接求解微分方程，而是采用與微分方程有關(guān)的另一種數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)，間接地分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)輸出的影響，使系統(tǒng)分析問題大為簡化。另一方面，可把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合設(shè)計問題易于實現(xiàn)。目前四十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.4傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)零初始條件：

t<0時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即t<0時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0。傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)的輸出象函數(shù)與輸入象函數(shù)之比。目前四十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄線性定常系統(tǒng)的微分方程為：則在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：2.4傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)目前四十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，如果是多輸入多輸出系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)矩陣來表示。傳遞函數(shù)只表示輸出量與輸入量的關(guān)系，是一種函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定，與輸入信號和輸出信號無關(guān)。這種函數(shù)關(guān)系在信號傳遞的過程中得以實現(xiàn)，故稱傳遞函數(shù)。性質(zhì)1性質(zhì)22.4.1傳遞函數(shù)的性質(zhì)目前四十六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄性質(zhì)3傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分變換，故傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。2.4.1傳遞函數(shù)的性質(zhì)如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。性質(zhì)4如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)。性質(zhì)5目前四十七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄性質(zhì)6

傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)。

脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。2.4.1傳遞函數(shù)的性質(zhì)目前四十八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄令：2.4.2傳遞函數(shù)的極點和零點

為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點

則：稱為系統(tǒng)的特征方程，其根（極點）稱為系統(tǒng)特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的穩(wěn)定性。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的參數(shù)b和a，即取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。目前四十九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄

零、極點分布圖

2.4.2傳遞函數(shù)的極點和零點

將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點用“○”表示，極點用“×”表示。

一般地，零點和極點可為實數(shù)（包括零）或復(fù)數(shù)。若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)，這是因為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)均為正實數(shù)的緣故。目前五十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

這樣,任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成，從而給建立數(shù)學(xué)模型，研究系統(tǒng)特性帶來方便，使問題簡化。目前五十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：式中，為系統(tǒng)放大倍數(shù)。2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前五十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄

由上式可見，傳遞函數(shù)表達式包含六種不同的因子，即：

一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前五十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄比例環(huán)節(jié)：

K一階微分環(huán)節(jié)：

s+1二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前五十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄

實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時間，即xo(t)=xi(t-)，此時：或：因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)——延遲環(huán)節(jié)。2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前五十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄等效彈性剛度目前五十六頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄復(fù)阻抗目前五十七頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄1比例環(huán)節(jié)實例：運算放大器，齒輪傳動副，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。在時間域內(nèi)，輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，且兩者成比例關(guān)系，稱為比例環(huán)節(jié)。又叫無慣性環(huán)節(jié)。2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)式中k-增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：目前五十八頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2

R1

ui(t)uo(t)運算放大器1比例環(huán)節(jié)2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前五十九頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄式中T-時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)慣性，和結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。

特點：含一個儲能元件,當(dāng)輸入量突然變化時,由于物理狀態(tài)不能突變,輸出量也就不能立即復(fù)現(xiàn),而是按指數(shù)規(guī)律逐漸變化,故它的輸出量的變化落后于輸入量。實例：RC網(wǎng)絡(luò)，彈簧－阻尼系統(tǒng)。2一階慣性環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間能用一階線性微分方程描述的環(huán)節(jié)稱為一階慣性環(huán)節(jié):2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：目前六十頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄如：彈簧-阻尼系統(tǒng)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼系統(tǒng)KD2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2一階慣性環(huán)節(jié)目前六十一頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3

微分環(huán)節(jié)2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)輸出量與輸入量的微分成比例的環(huán)節(jié)，稱為微分環(huán)節(jié):微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

特點：輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，即也等于給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告，故常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。目前六十二頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄如：測速發(fā)電機uo(t)i(t)測

速

發(fā)

電

機式中，k為電機常數(shù)。

無負載時：3

微分環(huán)節(jié)2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前六十三頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3

微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的微分，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出就是脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。因此，具有相同量綱的理想微分環(huán)節(jié)難以實現(xiàn)，在實際中用來執(zhí)行微分作用的都是近似的，稱為近似微分環(huán)節(jié),其傳遞函數(shù)具有以下形式：

其傳遞函數(shù)是微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，當(dāng)|Ts|<<1時，可近似得到理想微分環(huán)節(jié).2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)目前六十四頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3

微分環(huán)節(jié)2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分電路顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|<<1時，才近似為理想微分環(huán)節(jié)。目前六十五頁\總數(shù)七十一頁\編于點NJUSTZJ不拋棄，不放棄3

微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)2.4.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)分別為:

與微分環(huán)節(jié)一樣,一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中也不會單獨出現(xiàn),在其組成中必然包含有慣性環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié)。系統(tǒng)中引入一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)主要是用于改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)