二重積分的變量變換

二重積分的變量變換第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容：二重積分的極坐標(biāo)變換二重積分的一般變量變換公式教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的變量變換（主要為線性變換，極坐標(biāo)變換）教學(xué)難點(diǎn)：變量變換后積分限的確定第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五引例21D0y

xD1D2D3D4D:.需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分將變換到極坐標(biāo)系(r,)0D用坐標(biāo)線=常數(shù)；r

=常數(shù)分割區(qū)域Diriri+1iii+irir第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分0Diriri+1iii+iI=rir第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分極坐標(biāo)系下的面積元素I=直角坐標(biāo)系下的面積元素第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

0ABFEDD:

rr(1)極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五0ABFEDD:(1)極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

r第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

0D.rD:r(2)極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五D:D0(2)極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

r第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五(3)極點(diǎn)位于區(qū)域D的邊界區(qū)域特征如圖極點(diǎn)位于區(qū)域D的邊界

第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五步驟步驟：1化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；2面積元素dxdy化為rdrd3從D的圖形找出r,上、下限，寫出累次積分的形式0r0Dr第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五邊界的確定把極坐標(biāo)代入邊界得出D'的邊界常見區(qū)域D'的確定xOy2RR第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五常見區(qū)域的確定常見區(qū)域D'的確定Oxy2RRxyORR第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五適用范圍極坐標(biāo)。當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或部分圓域，且被積函數(shù)又呈或時(shí)，宜采用第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例10y

x2a解例1第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例221D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系例2

計(jì)算D:r=1和

r

=2第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例30y

x12

y=xD例3第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例40y

x4r=4cosr=8cos8D12例4計(jì)算y=2xx=y第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例40y

xr=8cosD48r=4cos21.I=第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例5例5第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6例6第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五解例7

計(jì)算，其中D

是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。.注：此積分在直角坐標(biāo)系下無法計(jì)算。在極坐標(biāo)系下

例7第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五反常積分事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例7的結(jié)果,得①故①式成立

.第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五定積分換元法二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用一般變量替換求二重積分利用一般變量替換求二重積分步驟：⑴根據(jù)題目的特點(diǎn)(區(qū)域及被積函數(shù))確定變換;第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五利用一般變量替換求二重積分(3)在變換下確定u,v的范圍△;作圖(4)代入變換替換公式，化為關(guān)于u,v的二重積分;(5)用§2求二重積分的方法求出其值。第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例911解則令例9第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五故例9第三十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例10Oxy例10令第三十三頁，