第六章用有限元法解平面問(wèn)題童中華

彈性力學(xué)主講：童中華安徽工業(yè)大學(xué)《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》第四版徐芝綸作業(yè)概況缺作業(yè)：土111孫震(缺第4次),土111沈恩鑫(1,2)

,土111張松鶴(1,2,3,4?);土112陳建軍(4),土112張文博(4),土112周子明(1,2,4);113楊俊平(4),土114李杰(1,2,4),土114劉洋(4),土114王寧(4),土114翁世強(qiáng)(4),土114韋林輝(4);土115楊帥(1,4)土115張建(1),土115張洋(4);缺第5次作業(yè)或無(wú)效：土111張松鶴,土112陳建軍,土112葛帥帥,土112黃燕,土112張文博,土114李杰,土114劉洋,土114任乾順,土114王寧,土114翁世強(qiáng)土115陳彪,土115程昀,土115黃健,土115黃亮,土115夏偉勝,土115楊帥,土115張建,土115張洋得A：土112夏娟,土112夏文靜,土113高偉利,土113劉劍琿,土113申文靜,土113高智,土114孫丹丹,土114左嫚嫚,土115羅微微,土115吳琦【習(xí)題4-1】試考察應(yīng)力函數(shù)能解決圖示彈性體的何種受力問(wèn)題。（必做題，帶學(xué)號(hào)）aaxyo習(xí)題圖4-1習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)圖中其中M為學(xué)號(hào)末位數(shù)+3，N=Mod(M,2)+1，即N為M對(duì)2取余再加1，如學(xué)號(hào)末位數(shù)為9，則得M=12,N=1。解：（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，得滿(mǎn)足aaxyo習(xí)題圖4-1習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)（2）求解應(yīng)力分量，得aaxyo習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)習(xí)題圖4-1（3）求邊界上的面力，得aaxyo邊界上的面力分布如右圖所示。習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)習(xí)題圖4-1（3）求邊界上的面力，得aaxyo邊界上的面力分布如右圖所示。習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)習(xí)題圖4-1§5+上一講回顧彈性體總的形變勢(shì)能為【位移變分方程】在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變分，等于外力功的變分。【位移變分法】第六章用有限單元法解平面問(wèn)題§6+

有限元法及軟件介紹§6-1

基本量及基本方程的矩陣表示§6-2

有限單元法的概念§6-3

單元的位移模式與解答的收斂性§6+有限元法及軟件介紹彈性力學(xué)問(wèn)題的解法解析方法：無(wú)窮小單元滿(mǎn)足平衡微分方程、相容方程，邊界上滿(mǎn)足應(yīng)力和位移邊界條件。問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定義在連續(xù)體上的偏微分方程問(wèn)題。有限元法：有限大單元滿(mǎn)足平衡方程、臨近單元位移連續(xù)，邊界上滿(mǎn)足應(yīng)力和位移邊界條件。問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定義在有限多個(gè)單元上的代數(shù)方程問(wèn)題。有限元法是將連續(xù)體離散化，用有限大單元取代微分體，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適合數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問(wèn)題的求解方法。在固體力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等領(lǐng)域皆有廣泛的應(yīng)用。§6+有限元法及軟件介紹結(jié)力研究對(duì)象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒(méi)有其他聯(lián)系（圖a）。有限元法研究對(duì)象是連續(xù)體（待離散化）（圖b）。結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)和有限元法結(jié)構(gòu)的比較將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖c）：將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用鉸連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。圖（c）與圖（a）相比：兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是：(a)的單元是桿件，(c)的單元是三角形塊體（內(nèi)部仍是連續(xù)體）。§6+有限元法及軟件介紹§6+有限元法及軟件介紹有限元法基本思路（按位移求解）1.將連續(xù)體劃分成離散化的單元結(jié)構(gòu)體；2.設(shè)結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，按彈性力學(xué)方法對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)分析，將所有物理量和方程用結(jié)點(diǎn)位移表示；3.列結(jié)點(diǎn)的平衡方程，將單元裝配成整體，得到整體結(jié)構(gòu)所要滿(mǎn)足的平衡方程，未知量為結(jié)點(diǎn)位移；4.求解所有結(jié)點(diǎn)的位移，計(jì)算待求物理量，如關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力，區(qū)域平均應(yīng)力水平，結(jié)構(gòu)變形圖等。（1）具有通用性和靈活性。（2）對(duì)同一類(lèi)問(wèn)題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度?！?+有限元法及軟件介紹有限元法(FiniteElementMethod)的特點(diǎn)FEM的兩種主要導(dǎo)出方法:結(jié)力法和變分法。本章介紹平面問(wèn)題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。采用矩陣表示，可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔，且便于編制程序?！?+有限元法及軟件介紹常見(jiàn)有限元法軟件【ANSYS】通用商用軟件，適用范圍廣，前后處理模塊完備，人機(jī)交互友好，容易上手，參考書(shū)多如牛毛。提供參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言（ANSYSParameterDesignLanguage)，可以通過(guò)腳本語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)ANSYS常規(guī)操作，包括輸入、輸出及設(shè)計(jì)優(yōu)化等功能。向所有領(lǐng)域工作者推薦。1.結(jié)構(gòu)靜力分析2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析3.結(jié)構(gòu)非線性分析4.動(dòng)力學(xué)分析5.熱分析6.電磁場(chǎng)分析7.流體動(dòng)力學(xué)分析8.聲場(chǎng)分析9.壓電分析缺陷：土木材料的本構(gòu)關(guān)系少。軟件主要包括三個(gè)部分：前處理模塊，分析計(jì)算模塊，后處理模塊?！?末+有限汗元法并及軟慘件介啟紹【M箏SC歐.M鍛ar砌c】既可旁以像AN廉SY溝S那樣否實(shí)體再建模吊，也謎可以洗采用革擴(kuò)展須法建引模；想具有羞極強(qiáng)商的結(jié)盼構(gòu)分唯析能的力和炕非線盟性計(jì)們算能剩力。（1）幾進(jìn)乎每帽種單止元都宮具有得處理酷大變施形幾蝦何非算線性,材料議非線儉性和結(jié)邊界珍條件膽非線現(xiàn)性以番及組鵲合的煎高度窩非線閥性的系超強(qiáng)陶能力禾。（2）MA絮RC的結(jié)后構(gòu)分勻析材暑料庫(kù)墨提供截了模最擬金妹屬、贈(zèng)非金冰屬、敏聚合竿物、雕巖土窩、復(fù)撇合材培料等幣多種杰線性雖和非礙線復(fù)蹄雜材億料行鳳為的頌材料插模型慕。（3）收羞斂速青度快宗，大態(tài)概比AN叫SY束S快5～6倍；計(jì)算歸土和添水的竊功能計(jì)很強(qiáng)不，提犧供了濃土的鞋摩爾誓－庫(kù)遭侖模俗型（勁線性偶和非叼線性哈）、餅修正便鄧肯匪－張濃模型肌和修僚正劍涂橋模艦型；阻計(jì)算營(yíng)混凝謹(jǐn)土的著功能淹不夠攤強(qiáng)；輝摩擦奇分析底能力稈不強(qiáng)混；參考巷書(shū)較浴少。向土福木專(zhuān)衣業(yè)推佳薦§6菠+有限迅元法墨及軟棵件介霧紹【A期DI懸NA判】建模來(lái)方便閉；非盈線性知計(jì)算膊能力竄強(qiáng)，麗收斂牽速度蔥和ma樓rc差不英多；羞沒(méi)有抹前后甩處理磚，但有源語(yǔ)代碼，適倘合二話(huà)次開(kāi)燈發(fā)。計(jì)算璃土和給水的乳功能葵不如Ma撒rc；計(jì)塑算混靜凝土謝的功叫能比Ma票rc強(qiáng)；向摩擦帳分析烘效果甚比Ma薯rc好。參考僅書(shū)較較少。向搞FE懼M軟件論開(kāi)發(fā)趣工作繞者推幼薦【A司BA忌QU望S】被廣哨泛地去認(rèn)為練是功懼能最拒強(qiáng)的傾有限久元軟泉件，訓(xùn)可以貴分析誼復(fù)雜戚的固輛體力應(yīng)學(xué)結(jié)陪構(gòu)力斬學(xué)系練統(tǒng)，禾特別帳是能蠟夠駕團(tuán)馭非犬常龐園大復(fù)計(jì)雜的革問(wèn)題頌和模驢擬高然度非稿線性擺問(wèn)題泄。AB凱AQ綢US不但紹可以糟做單筍一零屬件的礎(chǔ)力學(xué)猶和多雙物理聚場(chǎng)的愉分析咐，同燃時(shí)還提可以皂做系演統(tǒng)級(jí)良的分絡(luò)析和感研究脹。參考艦書(shū)較治少。向資白深FE這M工作柿者推喉薦§6于-1基本階量及椅基本認(rèn)方程縫的矩烏陣表尤示體力面力應(yīng)力應(yīng)變位移幾何罷方程§6商-1基本夢(mèng)量及戴基本厭方程獵的矩便陣表具示物理方程其中D為彈蜓性矩豈陣，屠對(duì)于臭平面服應(yīng)力竄問(wèn)題嶄是§6燒-1基本駕量及紫基本紛方程鈴的矩晝陣表霸示ij虛功臺(tái)方程藥：外力在虛攔位移叮上的虛功憤等于確應(yīng)力在虛梢應(yīng)變動(dòng)上的皆虛功有限谷元中稀將各哈種外坡力以顫作用分于結(jié)寶點(diǎn)上焰的等漲效集咱中力軍代替蚊，用結(jié)點(diǎn)痛的平巡壽衡方踢程代扶替平餐衡微把分方廳程。勁結(jié)點(diǎn)紀(jì)上的左集中信力和分相應(yīng)炊的虛吹位移如可表敘示為板的掘厚度傅取單完位長(zhǎng)礙度1§6溜-2有限猶單元地法的題概念三角樸形單翅元：講三角何板或鉆三棱界柱大多糾在頂寧點(diǎn)設(shè)餡置結(jié)巖點(diǎn)，練一個(gè)掉單元驢有3個(gè)結(jié)摟點(diǎn)。有時(shí)際在三門(mén)邊的潑中點(diǎn)夕設(shè)置賤結(jié)點(diǎn)柱，成糧為六劉結(jié)點(diǎn)賞三角偷形單缺元。結(jié)點(diǎn)哥一般姨都作擦鉸結(jié)鐵。單欄元上胖受到芒的體貓力和哲面力檢都按麻靜力錢(qián)等效咬移置損到結(jié)準(zhǔn)點(diǎn)上澇，成疫為結(jié)灶點(diǎn)載木荷。將單與元受差力移引置到月結(jié)點(diǎn)形上。單元侄為三文角形徹的連門(mén)續(xù)體窩，在泊結(jié)點(diǎn)頁(yè)處受建到結(jié)安點(diǎn)力磁作用躺，發(fā)踢生變四形，耳在結(jié)摟點(diǎn)處稱(chēng)產(chǎn)生匪結(jié)點(diǎn)濟(jì)位移盲?！?齡-2有限艦單元終法的買(mǎi)概念按位睬移求愚解三尺角形拍單元彈的步?jīng)鲶E1.取三典角形就單元兼的結(jié)點(diǎn)閑位移為基妥本未之知量氏，即de稱(chēng)為聾單元震的結(jié)點(diǎn)剃位移嘆列陣。2.應(yīng)用絞插值列公式乖，由法結(jié)點(diǎn)槽位移逃求出撈單元允的位請(qǐng)移函蜂數(shù)插值堵公式窗表示列單元?dú)⒅械母阄灰蒲攴植夹有问奖?，稱(chēng)坦為位移軋模式叮。形函攻數(shù)矩陶陣§6鴉-2有限撕?jiǎn)卧d法的望概念3.應(yīng)用厘幾何嫁方程乖，由私單元痛的位毯移函林?jǐn)?shù)求涌出單找元的做應(yīng)變4.應(yīng)用駐物理丈方程監(jiān)，由壘單元啟的應(yīng)毛變求舅出單咳元的瓶應(yīng)力5.應(yīng)用巷虛功桌方程拾，由序單元地的應(yīng)驅(qū)力求沙出單局元的漆結(jié)點(diǎn)伐力應(yīng)力冷轉(zhuǎn)換趙矩陣單元日勁度勿矩陣應(yīng)變聾轉(zhuǎn)換廣矩陣§6構(gòu)-2有限裙單元酬法的因概念6.應(yīng)用肉虛功箏方程為，將慶單元攔中的刻各種賞外力扭荷載聽(tīng)向結(jié)很點(diǎn)移慨置，魯化為結(jié)點(diǎn)籍荷載，求稀出單額元的竟結(jié)點(diǎn)復(fù)荷載淡為7a綿.結(jié)點(diǎn)儉對(duì)單驕元的故作用住力為伯以吧坐標(biāo)狀正向牢為正言，則隨單元副對(duì)結(jié)醉點(diǎn)的態(tài)反作層用力浪為裝配亦三角仇形單賤元（列鑒結(jié)點(diǎn)怠平衡必方程雀）7b時(shí).各結(jié)闖點(diǎn)受鍛單元泛作用釘力和仍單元麗移置手而來(lái)銀的結(jié)嚷點(diǎn)荷酬載，結(jié)點(diǎn)舒平衡壯方程留為§6時(shí)-2有限惜單元紙法的咽概念結(jié)點(diǎn)鉛平衡壯方程黃的分時(shí)量形鼓式其中猶表示沖對(duì)所跌有環(huán)摸繞i結(jié)點(diǎn)團(tuán)的單征元求漲和。式(i運(yùn))右邊典為已也知的陳結(jié)點(diǎn)頸荷載半，左緞邊為訂結(jié)點(diǎn)譯力，?？捎赏娼Y(jié)點(diǎn)舅位移鑄表示召，因偏此可廈得求葬解整西體結(jié)亞點(diǎn)位貞移的厲矩陣憤方程整體督勁度肅矩陣整體貢結(jié)點(diǎn)富位移虎列陣整體償結(jié)點(diǎn)刷荷載擁列陣§6睬-3單元堆的位耐移模汪式與吵解答懸的收崗斂性§6崗-3單元街的位狂移模鍋式與促解答值的收輕斂性§6散-4單元粗的應(yīng)柿變列巷陣和禁應(yīng)力這列陣§6加-5單元躬的結(jié)斤點(diǎn)力更列陣朵與勁炸度矩督陣§6憐-6荷載從向結(jié)烏點(diǎn)移身置、略單元上的結(jié)碎點(diǎn)荷宵載列萍陣§6企-7結(jié)構(gòu)逆的整絞體分犁析、賭結(jié)點(diǎn)寺平衡武方程有限槍元分羞析詳歷細(xì)步輔驟§6言-3單元攏的位趨移模增式與親解答編的收偏斂性每個(gè)盲單元貝仍然悠作為疼一個(gè)縣連續(xù)鎮(zhèn)的、陳均勻捐的、擁各向正同性穩(wěn)的彈擱性體魔，相肺鄰單者元有騎公共座結(jié)點(diǎn)添和公恒共邊趕。解題首要種問(wèn)題置：?jiǎn)嗡幵姆唇Y(jié)點(diǎn)諒位移幼→位姜移函數(shù)揉。假定恢位移頓模式蘆，表餃?zhǔn)締嗡驮袣獾奈粦?yīng)移函池?cái)?shù)。假定偶位移兇分量描是坐悶標(biāo)的授線性杜函數(shù)破，三角恒形單叫元的色位移義模式，可掩取為插值伯公式(a搭)在三個(gè)結(jié)點(diǎn)少上應(yīng)飄等于嚇結(jié)點(diǎn)輕的位夾移值燭，由毒此可患求出6個(gè)待伶定系靠數(shù)a1~a6§6眠-3單元撥的位縫移模豎式與屑解答鞏的收繭斂性用插堆值公協(xié)式表秒示結(jié)綢點(diǎn)的菊位移萌，得§6宋-3單元押的位粥移?；枋脚c廳解答非的收衰斂性Ni是i點(diǎn)(xi,yi)函數(shù)訓(xùn)值對(duì)(x隸,y珠)點(diǎn)函脈數(shù)值保的貢卷獻(xiàn)加流權(quán)。計(jì)算余面積A及Ai時(shí)以運(yùn)頂點(diǎn)筒按逆述時(shí)針玩排列顏得到售的面迅積為提正。Ni,娛Nj,名Nm稱(chēng)為形(態(tài))函數(shù)，也售稱(chēng)為面積浸坐標(biāo)?！?始-3單元舉的位宏移模掠式與抗解答扇的收疫斂性形函亡數(shù)Ni(x老,y因)的分善布規(guī)衫律位移武函數(shù)u(x轎,y皆)的分廢布規(guī)免律位移畢函數(shù)v(x偶,y熄)的分炸布規(guī)傲律§6之-3單元蹈的位巾移模曉式與錯(cuò)解答禿的收欺斂性位移紗分量玻用矩彎陣表循示為形函搏數(shù)矩炮陣§6戶(hù)-3單元寄的位繼移模鹽式與叫解答辦的收堂斂性當(dāng)單初元很蹲小時(shí)卻，單元甲中的橡位移福和應(yīng)扛變都槽趨近百于常啟量—?jiǎng)t—?jiǎng)傌汅w位債移和育常量風(fēng)應(yīng)變暢，因鞠此位移矛模式必須能反團(tuán)映單謊元的剛體奏位移峰。位移晨主要獄來(lái)自視于其導(dǎo)他單迅元連丟動(dòng)，蓮受本統(tǒng)單元著形變蝦影響例較小殊。位移倆模式必須能反凝映單播元的常量幟應(yīng)變無(wú)。單元洞內(nèi)應(yīng)騎變變籍化較爸小，孝主要迎部分琴為常粒量應(yīng)炊變。位移恩模式應(yīng)盡學(xué)可能反映位移鎮(zhèn)的連內(nèi)續(xù)性厭。相鄰廟單元在公捉共結(jié)誼點(diǎn)和封公共絞邊上展的位亞移應(yīng)緣瑞保持備一致證。位移餓模式顧必須跌反映惡彈性帽體的嚷真實(shí)擾位移砌形態(tài)是有逝限元盟法在舌單元?jiǎng)兂叽?/p>