經(jīng)典功率譜估計

第十一章經(jīng)典譜估計11.1概述11.2自相關(guān)函數(shù)的估計11.3經(jīng)典譜估計的基本方法11.4經(jīng)典譜估計的質(zhì)量11.5經(jīng)典譜估計的改進11.6經(jīng)典譜估計算法比較11.7短時傅里葉變換請抓住并搞清楚如下四個問題：功率譜為什么要估計？如何估計？如何評價估計質(zhì)量？如不理想，如何改進？11.1概述平穩(wěn)隨機信號功率譜的兩個定義：隨機信號的單個樣本求均值運算求極限運算集總平均兩者等效平穩(wěn)信號單一樣本可將看作能量信號，因此，可對它作傅立葉變換，并得到功率譜：問題：的功率譜和單個樣本的功率譜有何關(guān)系？和整個隨機信號的功率譜有何關(guān)系？截短1.求極限：2.求均值：單一樣本的功率譜不能收斂到所有樣本的功率譜，因此必須有求均值運算，此即如下定義的來歷：各態(tài)遍歷信號也是如此。雙求和變成單求和：證明了兩個公式等效。所以自相關(guān)函數(shù)是集總自相關(guān)。證明：功率譜的兩個定義都要求：樣本無窮多，時間無限長，即需要集總平均。功率譜估計：古老而又年輕的話題！實際工作中，我們往往能得到的是：1.單一的樣本；2.單一樣本的有限長數(shù)據(jù)；問題：如何用這單一樣本的有限長數(shù)據(jù)去估計原隨機信號真實的自相關(guān)函數(shù)和功率譜？11.2自相關(guān)函數(shù)估計目的：自身估計的需要； 功率譜估計的需要集總自相關(guān)時間自相關(guān)定義：實際求出的自相關(guān)函數(shù)近似質(zhì)量如何？EstimationEstimateEstimator（估計子）估計方法：從估計方法上看，實際上是把隨機信號“視為”單樣本有限長的確定性信號。問題是：偏差自相關(guān)函數(shù)估計的質(zhì)量：估計方法單個樣本1.偏差來自定義所有樣本所以：含義？漸近無偏估計對固定的N，此結(jié)論給出了m的選取原則在數(shù)據(jù)上加矩形窗，長度為N，該矩形窗函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)正是三角窗！注意矩形窗加在數(shù)據(jù)上，三角窗加在相關(guān)函數(shù)上，體現(xiàn)在估計的自相關(guān)函數(shù)的均值上。那兒來的三角窗？方差2.方差來自定義包含兩項前面結(jié)果四階統(tǒng)計量！由：最后導出：有：漸近一致估計零均值高斯分布3.自相厚關(guān)函卵數(shù)的檢計算已知斬單個貸樣本賢的N點數(shù)名據(jù)估計兩個捏方法:（1）籌直接錦按定齊義：最大長度（2）此利用FF否T：St功ep潛1:將敗補靜個零趙得;Step2:對做FFT,得；Step3:對求幅平方，得；Step4:由得，對其作IFFT,得。思考：和有何關(guān)系？自相災關(guān)函企數(shù)的共另一跡個估做計方漲法（揉估計蝴子）滑：很容易貞證明例：針是孫的無椒偏估蠟計，芒但方很差性羽能不錦好。情在一裹些譜盤估計售的方好法中勢，有燒時用申到該狠公式叉。要求弊：很吳好掌單握自塔相關(guān)東函數(shù)媽的估疾計方搭法及建估計括性質(zhì)收。11煮.3經(jīng)典過譜估呢計問題宿的提涉出：押對隨和機信褲號猾，治我們勻往往半只能挑得到糖它的替：1.單一不的樣蔑本極；并且容僅是2.單一愁樣本弦的有依限長欲數(shù)據(jù)億；如何輝用這N數(shù)據(jù)掘去估仿計原攻隨機慶信號捏真實支的功率譜？1.周期頌圖（Pe暗ri移od燙og不ra奸m）法：經(jīng)典莖譜估話計中優(yōu)有兩男個基染本的想方法拍：思路：對做DTFT(DFT),得到頻譜；對該頻譜求幅平方，再除以N，即得到“周期圖”功率譜，以此作為對真譜的估計。2.自相旨關(guān)（Bl愁ac院km蓬an懼-Tu蝕ke蛋yBT法）醉法:St撐ep值1Step2因為返先要鴿估計歲自相揪關(guān)函免數(shù)，織所以切又稱間接贏法。與覺此相石對應堤，周肯期圖鉗法又贏稱直接留法。3.直接欣法和五間接奴法的刑關(guān)系預：需要掛考慮銅兩種溜情況蔽：（一交）（二抵）數(shù)據(jù)憶的范營圍自相腹關(guān)函驕數(shù)的話范圍（一屈）比較淺用兩這種方插法的歪估計炕出的菊離散家譜：2N點的闊譜，澇把所掩能估嫩計出然的自計相關(guān)摸函數(shù)糧都使衛(wèi)用上斃了，益而估紋計自財相關(guān)刃函數(shù)岸時，主把N點數(shù)綱據(jù)也提全都卸使用孕上了準。對協(xié)補N個零旱，做DF乖T,得到IFFT

結(jié)論：在時，直接法和間接法估計的結(jié)果是一樣的。？使用間接法時，往往取 ，這時二者是不一樣的。因此，直接法可看作是間接法的特例。不補轎零，思考：即：N點離散譜如何擱和剪相等晶？N點離散譜（二成）所以：加在自相關(guān)函數(shù)上。目的是將其截短。第二次加窗。相當喉于只美用了攻部分炸自相災關(guān)函壁數(shù)直接駱法和厭間接歐法之她間的薦關(guān)系11盾.4經(jīng)典新譜估清計的鐘質(zhì)量也分兩種情況討論主要考察的是均值方差無偏估計一致估計？（一）、周期圖和自相關(guān)法是等效的，統(tǒng)一考慮1.偏差估計值的均值自相關(guān)函數(shù)估計的性質(zhì)于是垂有：的真實功率譜；的頻譜；的頻譜；三角窗；注意堵：撕三角縣窗頻滑譜恒愚為正最后有：由于如何理解這一結(jié)果？所以：周期圖和自相關(guān)法都是漸近無偏估計因為：2.方差又遇到銅四階戶矩問撓題，工直接拳求解剩困難旅。（1）假定是高斯零均值的隨機過程；思路：（2）求在處的協(xié)方差：定義風：有關(guān)諸方差妥公式正的推濾導不寶作要遇求。舞主要叢是掌六握結(jié)苗論，紹并用傻來說怎明問耗題。（3）令前，羽則求解的關(guān)鍵推導舊的結(jié)辦果：刻方差（1）時經(jīng)典機功率撒譜估倆計不攪是一稱致估逃計解釋蜜：推導索的結(jié)蛛果：耐協(xié)方聚差假定在主瓣外為零；那么，在頻率范圍內(nèi)：有（2）若的主瓣寬度為；在處，說明：隨機變量在處不相關(guān);原因：功貢率譜胞的定祖義中巖即要難求極啟限，米又要淋求均桿值洗；而籠實際廣的估誤計方應法，漂僅靠稻單次柴實現(xiàn)叨的亂有限洗長，妙無極執(zhí)限、經(jīng)又無滋均值悔運算犬，因監(jiān)此姻產(chǎn)生爽上述積問題遲。設(shè)想：增大數(shù)據(jù)長度，效果如何？后果：使?jié)O估計熔出的此譜曲殼線起鬼伏加嘆??；增大資，纖的主檢瓣（知）將薪變窄孩，因診此，努引起苦不相轉(zhuǎn)關(guān)的列區(qū)域撈進一罵步增吸多，氧從而助引起亮譜曲胸線的瀉更加怖起伏鞋，實獄際上組是方帥差變咐大。分辨怠率和至方差油（體映現(xiàn)在展曲線詠起伏要上）起，是文經(jīng)典沒譜估脖計中眉的一昌對矛稱盾。通常，增加，會提高譜的分辨率，對經(jīng)典譜估計來說，增加固然會有利于提高分辨率，但譜曲線的起伏令使用者難以接受，這是經(jīng)典譜估計的一個致命缺點。對白聚噪聲版在不肌同長遇度情紗況下啄估計帥出的保譜曲剪線：N＝1丈6N＝3賣2N＝6時4N＝1國28經(jīng)典乳譜估弄計質(zhì)撿量的鴨討論躺：(二)、：加在鈴估計夾的自衣相關(guān)而函數(shù)朽上復，周期畏圖譜蠶估計扭和自烤相關(guān)胃法的聾譜估藥計不再隆一樣虛！1.偏差誰的主瓣比較寬?假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個常數(shù)假定2

窗函數(shù)的一般要求也是漸近無偏估計！2.方差樸：考慮翼特殊莖情況匆，狡為白季噪序義列，犬其功雁率譜狠應為愿常數(shù)墳，即時對移白噪燙聲功釘率譜蓄估計襪的方嫌差

時對白噪聲功率譜估計的方差：方冒差改損進之盈比兩種擇情況井下估園計的外方差伶之比邪：?取哈明窗：1.在加上后，估計的譜的偏差劣于M=N－1時估計的譜，而方差優(yōu)于M=N－1時估計的譜；

（2）在的范圍上，因為B變大，不相關(guān)的點變少。2.上加窗以后，估計譜方差的改進體現(xiàn)在兩個方面：（1）估計的譜曲線變得平滑些結(jié)論朵：原主瓣寬，取決于現(xiàn)主瓣寬，取決于3.方差慈的減族小是鏡以犧類牲分軟辨率認為代逃價的接！ 若分辨率能滿足要求，這樣做是有意義的。即：既保證了分辨率，又使估計出的譜較為平滑。11折.5直接險法估肅計的浩改進任務：改堅進罵對集估計艷的性喜能；目標：主脫要是買改進躁方差話的性遍能方法：平膽滑與色平均勝；用對的加窗來實現(xiàn)1.平滑（Smoothing)平滑理論依據(jù):L個獨立同分布隨即變量和的分布，方差減小倍，即：將一流個較東長的肌信號壓分成預若干定段，間對每柴一段庭求功館率譜數(shù)，每潔一段功的功房誠率譜伯都是棵隨機村變量簽，然杠后平墻均之課。類衰似相胃干平震均，哥用以賴彌補榆經(jīng)典吩譜估偏計中釘缺少殿的求泡均值峽運算舞。注賓意：抱信號避應是制平穩(wěn)疲的，些且每卻一段恥的統(tǒng)贏計特忠性基勸本一蓬樣。2.平均春（Av箏er棵ag欺e）（1）.爪B專ar謝tl柄et議t平均將蔽分瞇成鵝段兔，每塵段書點，謝即每一段譜平均后譜平均后估計出的功率譜的性能如何？在數(shù)據(jù)上加了數(shù)據(jù)窗寬度是結(jié)果，在自相關(guān)函數(shù)上引入了窗函數(shù)：摟的燒自相哭關(guān)；類似盡引蛙入的統(tǒng)計性能分析：（1）偏差增大，分辨率進一步下降；（2）方差減小，但到不了倍？2.擇We贏lc幼h平均特點擴：交采疊分扇段若重疊一半，段數(shù)變大：不一叫定是仿矩形流窗，物如Ha甜mm摸in騾g窗歸一化因子，保證無偏估計We倆lc拼h平均棄是常涉用的叛經(jīng)典翅譜估震計方肥法，MA俊TL改AB中有鄰相應騰的命均令We林lc摘h平均聰法的辮方差甲比Ba敏rt造tl吹et狹t方法蛋有明把顯的情減小盆，而貞偏差梳幾乎墳沒有丈減小3.No醉tt牙al彼l法：甜平滑柳與平守均相儀結(jié)合假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個常數(shù)）假定2H(z)H(z)11遲.6總結(jié)滲與比奪較請掌握掛如下屠的方像法：白噪糊聲1白噪界聲2兩個藏輸出廢都是獲隨機妄信號由自己指定令：則：構(gòu)成盛一復糞信號得到鞭的功叉率譜鞋；在的基礎(chǔ)上再加上四個復正弦，歸一化頻率分別是：調(diào)整同，可苗以得鹽到不暴同的囑信噪舌比，齡本例綁取這樣內(nèi)，哲的真飼實功毀率譜鑒可得超到，戰(zhàn)并可邊畫出晌。我陷們可哄以此筑作為賽比較媽各種域算法吉的依威據(jù)。實際工作中，對信號總?cè)∮邢揲L，如 ，由這128點去“求”功率譜，得到的當然是估計值。（a）真實迅譜；乎（b）周期態(tài)圖；進（c）We攝lc方h平均以，四迷段，緩無迭恥合，Ha午mm日in跪g窗；催（d）同c,但迭印合16點（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝16經(jīng)典隸功率雅譜估幟計的哥特點：1.物理奶概念奪明確妨，可斤用FF近T快速它算法繁。所廚以是大糾眾化煤的譜咳估計適方法勿；2.對周期圖，分辨率受到的限制；對自相關(guān)法，分辨率受到的限制；3.方差棄性能御不好償，不詳是一贏致估寨計，N增大時蒼譜曲熔線反唉而起丈伏加坑?。?.改進掘方法近是“盤平滑贏”與利“平駛均”壺，改法進的妥目的是欠減小搖方差駝，但擊犧牲額了分兆辨率隙；5.注意鐘窗函紀數(shù)的煉作用退與影溫響：加在數(shù)據(jù)上的窗函數(shù)：產(chǎn)生加在自相關(guān)函數(shù)上的延遲窗：各個窗函數(shù)的作用及影響是什么？11叉.7短時漸傅里期葉變滋換平穩(wěn)磁信號：均戲值、舒方差掠及均比方都千不隨成時間抓變化俊，自臺相關(guān)晴函數(shù)字僅和賽兩個著觀察岸時間丸的差乎有關(guān)回，和積觀察渡的具稈體位運置無朽關(guān)；非平捐穩(wěn)信復號：均拜值、棉方差躁都隨呆時間浸變化森，自撕相關(guān)層函數(shù)團也和欣觀察倆的時閑間位冬置有喚關(guān)，賀信號危的頻斑率也紙隨時筆間而鼻變化牲，如榆語音泉、腦詞電及差其他釀含有杯較多詠突變豪分量周的信伸號。其劇一階關(guān)、二牢階統(tǒng)作計量撕和功消率譜同的估歸計顯島然不陶能簡賭單地東使用品平穩(wěn)墊信號拾的估朋計方潛法，品必須旦考慮委其時葉變因懶素。方法：分公段，屢每一餡小段共可看稅作是居平穩(wěn)堅的。概念胸：其ST婆FT定義復為:并且控窗函常數(shù)應擔取對煉稱函宜數(shù)。式中τx(τ)0FTFTFTΩ0譜圖擁是恒府正的丹，且盤是實街的。概念減：“譜羞圖（sp揪ec泡tr肚og書ra楊m）”由于所以譜圖是信號能量的分布。考慮是隨機信號的一個樣本，譜圖可實現(xiàn)信號功率譜的估計。注意，它們是的函數(shù)將信號膊變換飯為一拍個二闊維函找數(shù)狐的扛方法他稱為懇信號遍的聯(lián)殿合時首頻分疊析：ST包FT譜圖Wigner分布Cohen類分布例1信號x(墾n)由三輝個不漁同頻沖率的患正弦陪首尾炮相接商所組潛成，脾即例2線性最頻率霸調(diào)制曬信號嗎（ch棟ir撫p）其頻癥率與柿時間家成正柱比非平彩穩(wěn)例2兩個ch畏ir楊p信號略，一猶個頻吩率隨朗時間偽增長躲，一甘個頻短率隨遍時間螺減小債，求擴它們激和的競譜圖線。與本章鉆內(nèi)容故有關(guān)種的MA澤TL貍AB文件