2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題培優(yōu)教案11四點(diǎn)共圓模型（含答案解析）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專(zhuān)題11四點(diǎn)共圓模型

解題策略

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模型1:定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型

若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等,則這四個(gè)點(diǎn)共圓.如圖,若OA=OB=OC=OD,則A,B,C,D四點(diǎn)在以點(diǎn)。為

圓心、以為半徑的圓上.

模型2：對(duì)角互補(bǔ)共圓模型

2,若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

如圖，在四邊形四力中，若N4+NO=180°（或N8+N片180°）則4&G。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

拓展：若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

如圖,在四邊形ABCD中,N頌1為外角,若NB=/CDE,則A,B,C2四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

模型3：定弦定角共圓模型

若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁,并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等,那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端

點(diǎn)共圓

如圖,點(diǎn)A,。在線段況的同側(cè),若NA=ND,則A,B,C〃四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

經(jīng)典例題

【例1】.（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以

lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以lcm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、DF交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)E.F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.回答下列問(wèn)題：

（1）如圖1,當(dāng)t為多少時(shí),EF的長(zhǎng)等于4^cm?

⑵如圖2,在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓（。0）上；

②是否存在這樣的t值，使得問(wèn)題①中的。O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

③請(qǐng)直接寫(xiě)出問(wèn)題①中，圓心O的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

△D=180。,則NAOB+NCOD=°；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）連接4。、BC,若4。、BO、CO,。。分別是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線.

①如圖②,如果乙4OB=110。,那么NC。。的度數(shù)為；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

②如圖③，若44。。=4BOC/B與CD平行嗎？為什么？

【例3】（2020?四川眉山?一模）問(wèn)題背景：如圖1,等腰△4BC中,48=4C,NBAC=120。,作4。1BC于點(diǎn)D

則D為BC的中點(diǎn)/BAD=^BAC=60。,于是警=畏=百；

2ABAB

遷移應(yīng)用：如圖2,△力點(diǎn)和^力DE都是等腰三角形=ADAE=120。,。,瓦C三點(diǎn)在同一條直線上，連接

BD.

①求證：△4DB三△4EC；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段42BD,CD之間的等量關(guān)系式；

拓展延伸：如圖3,在菱形4BC。中/ABC=120。,在N4BC內(nèi)作射線8M,作點(diǎn)C關(guān)于8M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接4E

并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)尸，連接CE,CF.

①證明△CEF是等邊三角形；

②若力E=5.CE=2,求B尸的長(zhǎng).

【例4】（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其

中這個(gè)角叫做美角.已知四邊形ABCD是圓美四邊形.

（1）求美角乙4的度數(shù);

（2）如圖1,若。。的半徑為5,求8。的長(zhǎng);

(3)如圖2,若&4平分NBCD,求證：BC+CD=AC.

培優(yōu)訓(xùn)練

一、解答題

1.（2022?遼寧葫蘆島?一模）射線AB與直線C￡＞交于點(diǎn)E,NAEZ）=60。,點(diǎn)F在直線CO上運(yùn)動(dòng)，連接AF,線

段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AG,連接FG,￡G,過(guò)點(diǎn)G作GH14B于點(diǎn)H.

(1)如圖1,點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線A8的同側(cè)時(shí),EG與GH的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,點(diǎn)尸和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)若點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線的同側(cè),4E=1,EF=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出HG的長(zhǎng).

2.(2022?上海寶山?九年級(jí)期末)如圖，已知正方形ABC。,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)汨(0<n<90)到

AP的位置，分別過(guò)點(diǎn)C、。作CE_LBP,0F18P,垂足分別為點(diǎn)E、F.

⑴求證:CE=EF；

⑵聯(lián)結(jié)CF,如果笑=求乙4BP的正切值;

CF3

(3)聯(lián)結(jié)AF,如果4F=曰4&求"的值.

3.(2022.重慶市育才中學(xué)九年級(jí)期末)在等邊AABC中,D是邊4c上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD,將BD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

120。,得到DE,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)B、4、E三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE,若4B=2,求CE的長(zhǎng);

（2）如圖2,取CE的中點(diǎn)凡連接DF,猜想4。與。尸存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BE、4F交于G點(diǎn).若GF=DF,請(qǐng)直接寫(xiě)出筆里的值.

4.（2022?黑龍江?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=3af-10ax+c

分別交x軸于點(diǎn)4、8（4左8右）、交y軸于點(diǎn)C,且0B=0C=6.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點(diǎn)P在第一象限對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上，其橫坐標(biāo)為f,連接BC,過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線交x軸于點(diǎn)D,

連接8,設(shè)△BCD的面積為5,求S與f的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出，的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，線段C。的垂直平分線交第二象限拋物線于點(diǎn)E,連接E。、EC、EC,且N

EOC=45。,點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，連接。乂?！氨R（：,點(diǎn)6在。6上,連接NG點(diǎn)M在DN上,NM=EG,在NG上截

取NH=NM,連接MH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)，作HK_LFM交ED于點(diǎn)K,連接FK、若NFKG=NHKD,GK

=2MN,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

5.（2021?廣東?珠海市紫荊中學(xué)九年級(jí)期中）如圖,aABC中,NBAC=9（T,AB=AC=4,直角△AOE的邊AE

在線段AC上,AE=AO=2,將AAOE繞直角頂點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度a,連接CD、8E,直線CD,BE交于

點(diǎn)F,連接AF,過(guò)BC中點(diǎn)G作GM±CD,GN±AF.

(1)求證：BE=CD；

(2)求證：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中總有N8/^=NMGN；(僅對(duì)0。<&<90。時(shí)加以證明)

(3)在AB上取一點(diǎn)Q,使得AQ=1,求FQ的最小值.

6.(2021?湖北?武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)九年級(jí)階段練習(xí))【問(wèn)題背景】如圖1,P是等邊△

A8C內(nèi)一點(diǎn),150。,則出2+p￥=pc2.小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，將△以〃繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,請(qǐng)幫

助小剛完成輔助線的作圖；

【遷移應(yīng)用】如圖2,。是等邊AABC外一點(diǎn),E為C。上一點(diǎn)4￡>〃BE,/8EC=120。,求證：ADBE是等邊三

角形；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,E尸=6,點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的等邊aABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線

AE、8尸交于點(diǎn)P,M為PG的中點(diǎn),EFLFG于F,FG=4百，請(qǐng)直接寫(xiě)出MC的最小值.

7.(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖1,在正方形4BCD中點(diǎn)尸在邊BC上，過(guò)點(diǎn)尸作EF1BC,且FE=

FC(CE<CB),連接CE、AE,點(diǎn)G是4E的中點(diǎn)，連接尸G.

圖1圖2

(1)用等式表示線段8F與FG的數(shù)量關(guān)系：；

(2)將圖1中的ACEF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ACEF的頂點(diǎn)F恰好在正方形2BCD的對(duì)角線AC上，點(diǎn)G仍是

4E的中點(diǎn)，連接FG、DF.

①在圖2中,依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段DF與尸G的數(shù)量關(guān)系并證明.

8.(2021.四川?成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí))“數(shù)學(xué)建模''是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng),平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中能歸納一些

幾何模型,解決幾何問(wèn)題就能起到事半功倍的作用.

(1)如圖1,正方形4BCD中/EAF=45。,且DE=BF,求證：EG=AG；

(2)如圖2,正方形力BCD中/E4F=45。,延長(zhǎng)EF交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由：

(3)如圖3在(2)的條件下，作GQ14E,垂足為點(diǎn)Q,交4F于點(diǎn)N,連結(jié)DN,求證：乙NDC=45°.

9.(2021.上海徐匯.九年級(jí)期中)如圖，已知心△ABC和RSCDE^ACB=4CDE=90。,4cAB=

￡CED,AC=8,BC=6,點(diǎn)。在邊AB上，射線CE交射線B4于點(diǎn)F.

A

D、BA'B

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在邊4B上時(shí)，聯(lián)結(jié)4E.

①求證：AE||BC；

②若EF=［。凡求的長(zhǎng)；

(2)設(shè)直線AE與直線CD交于點(diǎn)「,若4PCE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng).

10.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交

所成的銳角稱(chēng)為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,NE是△48C中NA的遙望角.

①若NA=40。,直接寫(xiě)出/E的度數(shù)是」

②求/E與/A的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,四邊形ABC￡＞中,NABC=NAOC=90。,點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連CE,若NBEC是△ABC中N

BAC的遙望角,求證：DA=DE.

II.(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))在正方形4BCD中,M是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線4M上,將線段4P繞點(diǎn)4順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段4Q,連接BPQQ.

備用圖

(1)如圖1,求證：BP=DQ；

(2)如圖2,若點(diǎn)P,B,D三點(diǎn)共線,求證：A,Q,P,D四點(diǎn)共圓;

(3)若點(diǎn)P,Q,C三點(diǎn)共線，且AD=3,求BP的長(zhǎng).

12.(2021?江蘇?泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖1,在正方形ABCO中，點(diǎn)E、尸分別是BC、CD

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,AE和8尸相交于點(diǎn)P.

(1)探究AE、BF的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)求證：4、D、F、P在同一個(gè)圓上;

(3)如圖2,若正方形4BCO的邊4B在y軸上，點(diǎn)4、8的坐標(biāo)分別為(0,-1+a)、(0,-1—a),點(diǎn)E、尸分

別是BC、CO上的兩個(gè)點(diǎn)，且BE=CF,AE和BF相交于點(diǎn)尸,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,一4),當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1

為半徑的圓上.求a的取值范圍.

圖1圖2

13.(2021?重慶一中九年級(jí)階段練習(xí))如圖,在等腰Rt△ABC^,Z.BAC=90。,4。1BC,垂足為D,點(diǎn)E為AC邊

上一點(diǎn)，連接EC并延長(zhǎng)至F,使ED=FD,以EF為底邊作等腰Rt△EGF.

(1)如圖1,若N40E=30°,AE=4,求CE的長(zhǎng);

(2)如圖2,連接BEDG,點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，連接DM,過(guò)。作。H14C,垂足為“，連接4G交。H于點(diǎn)N,求證:

DM=NG；

(3)如圖3,點(diǎn)K為平面內(nèi)不與點(diǎn)。重合的任意一點(diǎn)，連接KD,將KD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到KD,連接

K'4KB.直線KS與直線KB交于點(diǎn)P,。為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接力。'并在A。'的右側(cè)作C'。'14ZT且C'。'=

4D',連接AC',Q為8c邊上一點(diǎn),CD=3CQ,AB=12Vl當(dāng)QC'+C'P取到最小值時(shí)，直線C'P與直線BC交于點(diǎn)S,

請(qǐng)直接寫(xiě)出△BPS的面積.

14.（2021?福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）在中/4CB=90o,/lC=3,BC=4.將Rt△4BC繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<60。）得到Rt△DE8,直線DE/C交于點(diǎn)P.

（1）如圖1,當(dāng)BD_LBC時(shí)，連接BP.

①求△BDP的面積；

②求tan“BP的值；

（2）如圖2,連接4D,若F為4。中點(diǎn),求證；C,E,F三點(diǎn)共線.

15.（2021.黑龍江.哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）直線y=kx+k與x軸交于A,與y軸交于C點(diǎn),直線

8c的解析式為y=-；x+k,與x軸交于B.

（1）如圖1,求點(diǎn)4的橫坐標(biāo)；

（2）如圖2,0為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)/）作x軸垂線于點(diǎn)瓦連接CE,若CD=C4,設(shè)△4CE的面積為S,求S與

%的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接OD交AC于點(diǎn)尸,將4CD尸沿C尸翻折得到△FCG,直線FG交CE于點(diǎn)K,

若34ACE-&CD0=45。,求點(diǎn)K的坐標(biāo).

16.（2021.全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形A8CO中，已知/4=45。/。，8￡>,點(diǎn)E為線段BC上的一

點(diǎn)，連接QE,以線段QE為直角邊構(gòu)造等腰RdOEEEF交線段AB于點(diǎn)G,連接AF、DG.

（1）如圖1,若48=12&,跖=5,則。E的長(zhǎng)為多少?

（2）如圖2,若點(diǎn)H,K分別為線段BGQE的中點(diǎn)，連接HK,求證：AG=2HK-

（3）如圖3,在（2）的條件下，若BE=2,BG=2魚(yú)，以點(diǎn)G為圓心/G為半徑作。G,點(diǎn)〃為（DG上一點(diǎn)，連接

MK,取MK的中點(diǎn)尸,連接AP,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AP的取值范圍.

17.（2021?江蘇蘇州?二模）如圖（1）,已知矩形中SB=6加，8C=2bcnr點(diǎn)后為對(duì)角線4c上的動(dòng)

點(diǎn).連接BE,過(guò)E作EB的垂線交CD于點(diǎn)F.

（1）探索BE與EF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

（2）如圖（2），過(guò)尸作4c垂線交AC于點(diǎn)G,交EB于點(diǎn)H,連接CH.若點(diǎn)E從A出發(fā)沿AC方向以zV^m/s的

速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

①是否存在f,使得H與8重合？若存在，求出f的值；若不存在，說(shuō)明理由；

②f為何值時(shí),△CFH是等腰三角形；

③當(dāng)CG=GH時(shí)，求△CGH的面積.

18.(2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中N

D4B=45o,NC4B=30。,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E.設(shè)AB=1.

(1)求證：A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個(gè)圓上；

(2)分別求△A8C和△48。的面積；

(3)過(guò)點(diǎn)。作￡>F〃BC交AB于點(diǎn)F,求。E：OF的比值.

19.(2021?江蘇南京?二模)如圖①,4是。。外一點(diǎn),AB與。。相切于點(diǎn)8,4。的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作

BD〃4C,交。。于點(diǎn)D,連接DO,并延長(zhǎng)。。交。。于點(diǎn)E,連接AE.已知BD=2,。。的半徑為3.

圖①圖②

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)求4)的長(zhǎng);

(3)如圖②，若點(diǎn)M是。。上一點(diǎn)，且BM=3,過(guò)4作4N//BM,交弧ME于點(diǎn)N,連接ME,交4N于點(diǎn)G,連接0G廁

0G的長(zhǎng)度是.

20.(2020?浙江溫州?九年級(jí)期中)如圖，在團(tuán)ABCO中,4B=5,tan4=，過(guò)點(diǎn)8作BE14D于點(diǎn)E,過(guò)B,D,E三

點(diǎn)的圓分別交邊4B,BC,CC于點(diǎn)連結(jié)BE,CE,連結(jié)BN交CE于點(diǎn)P.

（1）求證：/=MTV.

（2）當(dāng)ABPE是等腰三角形時(shí)，求40的長(zhǎng).

（3）連結(jié)BDMN,當(dāng)BC平分乙4DC時(shí)，求△BMN與△CDE面積的比值.

21.（2020.湖南?郴州市第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖,邊長(zhǎng)為3夜的正方形4BCD中,P是對(duì)角線AC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合），連接8P,將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BQ,連接QRQP與BC交于點(diǎn)E,其延長(zhǎng)

線與4D（或AD延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)F.

圖2（備用圖）

（1）連接CQ,證明：CQ=4P；

（2）設(shè)4P=x,CE=y,試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量》的取值范圍；

（3）試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),PB+PE的值最小，并求出此時(shí)CE的長(zhǎng).（畫(huà)出圖形,直接寫(xiě)出答案即可）

22.（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,對(duì)角線4c1BD,垂足為E,CFd.AB于點(diǎn)F,

直線CF與直線BC于點(diǎn)G.

D

圖1圖2

(1)若點(diǎn)G在。。內(nèi)，如圖1,求證：G和。關(guān)于直線4C對(duì)稱(chēng)；

(2)連接4G,若4G=BC,且4G與。。相切，如圖2,求/ABC的度數(shù).

23.(2020?北京市三帆中學(xué)九年級(jí)期中)己知：過(guò)。。上一點(diǎn)4作兩條弦48、AC,且44=45。，(48、4c都

不經(jīng)過(guò)0)過(guò)4作4c的垂線4F,交。。于。，直線8cse交于點(diǎn)E,直線EC,AD交于點(diǎn)F.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中，按要求補(bǔ)全圖形；

(2)在圖2中探索線段BE和BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)探索線段4B、AE.AF的數(shù)量關(guān)系,并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

24.(2020?湖北?武漢二中廣雅中學(xué)二模)如圖，等腰RtAABC中,NACB=9(r,D為BC邊上一點(diǎn)，連接

AD.

(1)如圖1,作BE1AD延長(zhǎng)線于E,連接CE,求證：NAEC=45。；

(2)如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且/BPD=45。,連接CP.

①若AP=2,求4APC的面積；

②若AP=2BP,直接寫(xiě)出sinZACP的值為.

經(jīng)典例題

【例1】（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以

lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以Icm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、DF交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)E.F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.回答下列問(wèn)題：

⑴如圖1,當(dāng)t為多少時(shí),EF的長(zhǎng)等于4V5cm?

⑵如圖2,在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓（。0）上；

②是否存在這樣的t值，使得問(wèn)題①中的OO與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

③請(qǐng)直接寫(xiě)出問(wèn)題①中，圓心O的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【分析】（1）由題意易得DE=CF=t，則有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可：

（2）①由題意易證△ADEgZ\DCF,則有ZCDF=NDAE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAPF=90。,進(jìn)而可得

/B+NAPF=180。,則問(wèn)題得證；

②由題意可知當(dāng)。O與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論求解：一是當(dāng)圓與AD相

切時(shí),一是當(dāng)圓與邊DC相切時(shí)；

③由動(dòng)點(diǎn)E、F在特殊位置時(shí)得出圓心O的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：（1）由題意易得：DE=CF=t,

???四邊形ABCD是正方形，

AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,

???EC=12-t,

EF的長(zhǎng)等于475cm,

.?.在RtACEF中,“2=EC2+CF2,即（心⑸2=_t）2+t2

解得L=4,t2=8；

（2）①由（1）nJWAB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,DE=CF=t,

.-.△ADE^ADCF,

.-.ZCDF=ZDAE,

vZCDF+ZPDA=90°,

???NDAE+NPDA=90。，

.-.ZADP=ZAPF=90°,

.-.ZAPF+ZB=180°,

由四邊形APFB內(nèi)角和為360?？傻茫篫PAB+ZPFB=180°,

???點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓（。0）上；

②由題意易得：當(dāng)。O與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，只有兩種情況；

a、當(dāng)。O與正方形ABCD的邊AD相切時(shí)，如圖所示：

由題意可得AB為OO的直徑，

At=12；

b、當(dāng)。O與正方形ABCD的邊DC相切于點(diǎn)G時(shí)，連接OG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)O作OHLBC交BC

于點(diǎn)H,連接OF,如圖所示：

?.OG1DC,GM1AB,HF=HB,

???四邊形OMBH、GOHC是矩形,

.-.OH=BM=GC,OG=HC,

,.AB=BC=12cm,

.?OH=6,

vCF=t,BF=12-t,

...HF=^=6-^CH=OG=OF=t+6-^=6+^

在RtAFOH中,OF2=0H2+//^，即9+以“=62+（6-|）2,

解得：t=3；

綜上所述：當(dāng)t=3或t=12時(shí),。O與正方形ABCD的邊相切：

③由（I）（2）可得：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合及點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，圓心在正方形的中心上；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重

合及點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，圓心在AB的中點(diǎn)上,故圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段，如圖所示：

.■.OP即為圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，即OP=6cm.

故答案為6cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合,熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)及切線定理解題的關(guān)鍵，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)

題.

【例2】（2022?吉林白山?八年級(jí)期末）（1）如圖①,△02B、△OCD的頂點(diǎn)O重合，且乙4+NB+NC+

4。=180。廁NAOB+NCOD=°；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）連接4。、BC,若4。、BO、CO,。。分別是四邊形4BCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線.

①如圖②，如果NA0B=110。,那么NC0D的度數(shù)為；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

②如圖③，若4。。=NBOC/B與CD平行嗎？為什么？

DD

【答案】(D180；(2)①70。；②4B〃CD,理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)結(jié)合三角形三角和為180°,利用題目已知條件，計(jì)算結(jié)果,即可.

(2)①利用第一問(wèn)的結(jié)果，計(jì)算，即可.

②利用四邊形四角和為180。,計(jì)算得出WAO+的度數(shù)，結(jié)合角平分線定理，得到+乙4DC的和，利

用平行直線的判定，證明，即可得出.

【詳解】(1)"+NB+NC+4。+AAOB+乙DOC=360°,可得〃。8+ZDOC=180°；

(2)①結(jié)合乙4OB+乙DOC=180°,乙4。8=110。,可得=70°；

?AB//CD,

理由是：因?yàn)镾O,80、CO、D。分別是四邊形28CQ的四個(gè)內(nèi)角的平分線，

所以Z6M8—NZMB,Z.OBA=-/.CBA,乙OCD=^&BCD,Z.ODC=-/.ADC.

2222

所以4。48+/.OBA+ZOCD+/.ODC=](/.DAB+/.CBA+乙BCD+/.ADC)

在四邊形4BCD中，皿IB+Z.CBA+乙BCD+Z.ADC=360°.

所以NOAB+^OBA+ZOCD+乙ODC=1x360°=180°

在△OAB^,WAB+AOBA=1800-4AOB.

在^OCD^xOCD+/.ODC=180°-/.COD.

所以180°-/.AOB+180°-乙COD=180°.

所以乙40B+"?！?gt;=180°

所以NAD。+/BOD=360°-(4AOB+乙COD)=360°-180°=180°.

因?yàn)?乙BOC,

所以=ABOC=90°

在乙4。。中“4。+AADO=180°-Z.AOD=180°-90°=90°.

因?yàn)槊?。=^DAB,Z.ADO=2OC,

所以*4B+2℃=90°.

所以S4B+/.ADC=180°.

所以48〃cn

【點(diǎn)睛】考查三角形內(nèi)角和及平行線的判定，得到4n4B和N4DC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【例3】（2020?四川眉山?一模）問(wèn)題背景:如圖1,等腰△4BC中,48=4&乙84。=120。,作4。18。于點(diǎn)。,

則D為BC的中點(diǎn)“AD=2AC=60。,于是普=答=百；

2ABAB

遷移應(yīng)用：如圖244DE都是等腰三角形/84C=Z.DAE=120。,￡>,瓦（：三點(diǎn)在同一條直線上，連接

BD.

①求證：^ADB=^AEC；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4D,BD,CD之間的等量關(guān)系式；

拓展延伸：如圖3,在菱形4BCD中，乙4BC=120。,在乙4BC內(nèi)作射線BM,作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接4E

并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F,連接CE,CF.

①證明ACEF是等邊三角形；

②若4E=5,CE=2,求8尸的長(zhǎng).

【答案】遷移應(yīng)用：①詳見(jiàn)解析；②結(jié)論：CDWAD+BD;拓展延伸：①詳見(jiàn)解析；②38

【分析】遷移應(yīng)用：①如圖2中，只要證明WAB=ACAE,即可根據(jù)S4S解決問(wèn)題；

②結(jié)論：CD=V3AD+BD.由4ZMBm4E4C,可知8C=CE,在R4DH中,DH=4C-cos3（r=（AD,由

AD=AE,AH1DE,推出CH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=6AD+BD,即可解決問(wèn)題；

拓展延伸：①如圖3中，作BHJ.AE1于，，連接BE.由BC=BE=BD=84FE=FC,推出4、D、E、C四

點(diǎn)共圓，推出"1DC=Z.AEC=120°,推出4FEC=60°,推出AEFC是等邊三角形；

_IJC

②由4E=5,EC=EF=2,推出4"=HE=2.5,FH=4.5,在RMBH/中，由48FH=30°,可得B菰F=cos30°,

由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】遷移應(yīng)用：①證明：如圖2

\9Z.BAC=Z.DAE=120°,

：.z.DAB=乙CAE,

在△ZMB和△￡*"中，

DA=EA

{/.DAB=Z.EAC,

AB=AC

?△DAB=△EAC,

②解：結(jié)論：CD=b/W+B￡).

理由：如圖2-1中，作4Hle。于H.

'：ADAB=AEAC,

：.BD=CE,

在RtA4cH中,DH=AD-cos30°=—AD,

2

9：AD=AE,AH1DE,

：.DH=HE,

ACD=DE-VEC=2DH+80=V3AD+BD;

拓展延伸：①證明：如圖3中，連接8瓦

???四邊形力BCD是菱形，乙4BC=120°,

???△ABDABDC是等邊三角形,

：.BA=BD=BC,

???￡、。關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

：.BC=BE=BD=BA.FE=FC,

:.A、D、E、C四點(diǎn)共圓，

：.Z-ADC=2.AEC=120°,

：2FEC=60。,

??.△EFC是等邊三角形；

②解：作1AE于H/：AE=5,EC=FF=2,

：.AH=HE=2.5,FH=4.5,

在R￡△BHF中累乙BFH=30°,

.HFo

??一=cos3O0n,

BF

.-.BF=^=3V3

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)、

銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S

題.

【例4】(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其

中這個(gè)角叫做美角.已知四邊形4BCD是圓美四邊形.

(2)如圖1,若。。的半徑為5,求BD的長(zhǎng)；

(3)如圖2,若C4平分NBC。,求證:BC+CD=AC.

【答案】(1)60°；(2)5V3;(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)美角的定義可得然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出結(jié)論;

(2)連接DO并延長(zhǎng)，交。。與點(diǎn)E,連接BE,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得NE=NA=60。,然后根據(jù)直徑

所對(duì)的圓周角是直角可得NDBE=90。,最后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)CB至F,使BF=DC,連接AF、BD,先證出4ABD為等邊三角形，然后利用SAS證出△ABF^A

ADC,從而得出AF=AC,/F=NDCA=60。,再證出4ACF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和等量代換即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意可得：而NA+/C=180。

NA=60°

(2)連接DO并延長(zhǎng)，交。。與點(diǎn)E,連接BE

NE=NA=60°

VDE為。。的直徑,。。的半徑為5,

.\ZDBE=90°,DE=10

在RtADBE中,BD=DE-sinNE=10x星5百；

2

(3)延長(zhǎng)CB至F,使BF=DC,連接AF、BD

由(1)可知：ZBAD=60°,ZBCD=2ZBAD=120°

TCA平分/BCD,

NBCA=NDCA=2CD=60°

:.ZABD=ZDCA=60°

:.ZADB=180°-ZABD-ZBAD=60°

...△ABD為等邊三角形

???AB二AD

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NABF=NADC

在4ABF和4ADC中

BF=DC

乙ABF=Z.ADC

AB=AD

/.△ABF^AADC

JAF=AC,ZF=ZDCA=60°

Z.ZFAC=180°-NF-ZACF=60°

AAACF為等邊三角形

ACF=AC

???BC+BF=AC

/.BC+CD=AC

【點(diǎn)睛】此題考查的是新定義類(lèi)問(wèn)題、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳角三角函數(shù)、等邊三

角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì),掌握新定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳

角三角函數(shù)、等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

ZX

培優(yōu)訓(xùn)練

X______________________________Z

一、解答題

1.(2022?遼寧葫蘆島?一模)射線AB與直線C￡＞交于點(diǎn)E,NAE￡＞=60。,點(diǎn)F在直線C￡＞上運(yùn)動(dòng)，連接4尸,線

段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AG,連接FG,EG,過(guò)點(diǎn)G作GH14B于點(diǎn)H.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)時(shí),EG與GH的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,點(diǎn)尸和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段E%E,GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)若點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)=1,EF=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出HG的長(zhǎng).

【答案】⑴HG=^EG;

2

(2)GH='01后一"),證明見(jiàn)解析；

⑶立或這

22

【分析】(D先證明AGAF是等邊三角形得乙4"=60。,再證明點(diǎn)A、E、G、下四點(diǎn)共圓，得NGEF=

^GAF=60。,從而計(jì)算得至UNGEH=180°-^AED-Z.GEF=60。,最后在直角三角形GEH中,求出整=

EG

tanz.GEH=tan60°=立即可得到答案；

2

(2)在射線ED上截取EN=4E,連接4V,如圖3,先證△AEN是等邊三角形，得4E=ANDEAN=60。,再證

^GAE=從而得到4GAEdF4N,進(jìn)而得sin60。=詈=今從而求得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論求解GH的長(zhǎng),①當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的右側(cè)時(shí),在射線ED上取一點(diǎn)M,使得

EM=EG,連接MG,如圖4；②當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線AB的左側(cè)時(shí),在線段GE上取一點(diǎn)N,使得NE=EF,如圖

5,通過(guò)構(gòu)造三角形全等，利用三角函數(shù)求解即可.

(1)

解：?.?線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AG,

LGAF=60。,4G=AF,

AGAF是等邊三角形，

/-AGF=^AFG=60°,AG=AF=GF,

?：ZAED=60°,

:.Z.AGF=Z.AED,

二點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，

???Z.GEF=Z.GAF=60°,

???乙GEH=180°-Z.AED-乙GEF=60°,

vGH1AB,

???—=tan乙GEH=tan60°=晅,

EG2

???HG=—2EG,

故答案為：HG若EG;

A

D

B

圖1圖2

(2)

解：在射線ED上截取EN=AE,連接AN,如圖3,

".'Z.AED=60°,

...△ZEN是等邊三角形，

：.AE=ANDEAN=60°

\'AF=AG,/.FAG=60°,

J./.GAE=/.FAN

：.△GAE三4FAN,

：.Z.GEA=乙FNA=60°,GE=FN

AE-EF=FN=GE,

,：GHLAB

?'?sin60°=^=T'

：.GH=—GE,

2

:.GH=與(AE-EF);

A

(3)

①當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線AB的右側(cè)時(shí),在射線ED上取一點(diǎn)M使得EM=EG,連接MG,如圖4,

線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4G,

/.GAF=60。,4G=",

???△GAF是等邊三角形，

2LAGF=Z.AFG=乙FAG=60°,4G=AF=GF,

■■■^AED=60°,

???Z.AGF=Z.AED,

???點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，

???乙GEH=LGVA=60°,ZGFF=LGAF=60°,

???EM=EG,

???△GEM是等邊三角形，

:.EM=GM=EG/EGM=60°,

AZEGM=Z-EGA+^MGA=60°=乙EGM=乙MGF+乙MGA,

???乙EGA=ZMGF,

：?△EGA=△MGF,

??.MF=AE=1,

???GE=EM=EF-MF=2-1=1,

vGH1AB,

?，HG=siMGMEG=sin600?EG=3

②當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線AB的左側(cè)時(shí),在線段GE上取一點(diǎn)N,使得NE=ER如圖5,

???Z.AGF=Z-AED=60°,

???點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，乙4EF=18O0—"1ED=120。

???乙NGF=LEAD^GEF=Z.GAF=60°^AEG=Z.AFG=60。，

?：NE=EF,

???ANEF是等邊三角形,

???NE=EF=NF二L乙ENF=60°,

???乙GNF=180°-乙ENF=120°,

???Z.GNF=4/EF,

???△GNF=△AEF,

???GN=AE=2,

AGE=GN+NE=2+1=3,

???GH1AB^AEG=60。，

GH=GE-sin60°=-V3,

綜上所述,GH的長(zhǎng)為立或延.

22

圖

圖45

【點(diǎn)睛】本題主要考查/特殊角的三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及旋

轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?上海寶山?九年級(jí)期末)如圖，已知正方形ABC2將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)汨(0<n<90)到

AP的位置，分別過(guò)點(diǎn)C、。作CE1BP,DF1BP,垂足分別為點(diǎn)E、F.

⑴求證:CE=EF；

(2)聯(lián)結(jié)CF,如果笠=求乙4BP的正切值；

CF3

(3)聯(lián)結(jié)AF,如果4F=立4&求n的值.

2

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2百

(3)30

【分析】(1)作CGLCE,交⑺延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，可根據(jù)題意得出四邊形FECG為矩形，再結(jié)合矩形和正方形

的性質(zhì)推出ABCEgACCG,從而得到CE=CG,即四邊形FECG為正方形，即可證得結(jié)論；

(2)在(1)的基礎(chǔ)之上，連接CF,首先通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角定理推出ACE尸和△。尸P均為等腰

直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)推出PF和EF之間的關(guān)系，從而表示出3E的長(zhǎng)度，即可求出

NBCE的正切值，再根據(jù)余角的關(guān)系證明即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及前面兩個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程推斷出A、C、D、尸四點(diǎn)共圓,即可得到在變化過(guò)程

中,/AFC始終為90。,從而在K/AAC尸中運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求解角度即可得出結(jié)論.

(1)

：如圖所示，作CG_LCE,交FD延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，

VCE±BP,DF1,BP,CGJ_CE,

：.NEFG=NFEC=NECG=NBEC=90。,

：.四邊形FECG為矩形,NG=90。，

???四邊形ABC。為正方形，

NBCD=9Q°,BC=DC,

'：NBCD=ZBCE+ZECD,ZECG=ZECD+ZDCG.

，NBCE+NECD=NECD+NDCG,

即：/BCE=NDCG,

在"CE和AOCG中,

乙BEC=

乙BCE=乙DCG

BC=DC

，“CE妾A￡>CG(AAS),

/.CE=CG,

四邊形FECG為正方形,

；.CE=EF；

(2)

解：如圖所示，連接CF,

由(1)知,CE=EF,CE_LEF,則為等腰直角三角形,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZPAD=n°,AP=AD,

：.ZPAB=90°+n°,ZAPD=^(18O°-ZB4D)=90°-)°,

'：AP^AB,

：.ZAPB=^-(180°-ZB4B)=45°--n°,

22

???/FPD=NAPD?/APB=45。,

?:DF1.AB,

：.NO尸尸二90。，

：./\DFP也為等腰直角三角形,

:?△DFPs^CEF,

..DP_1

.PF_DP_1

■?FE一CF一3'

設(shè)PF==x,則FE=CE=3x,

dJ(1)知四邊形CEFG為正方形，

:?FG=FE=3x,

：.DG=FG-DF=2x,

,?2BCEmADCG,

：.BE=DG=2x,

opOV7

在RMEC中,tan4BCE=矢=?=g

NABP+NEBC=9。。,NEBC+NBCE=90。,

：.ZABP=ZBCE,

2

tanZJlBP=tanZ-BCE=-；

...如圖所示，連接AF和對(duì)角線AC,

由(2)可知,/EFC=45°,NEFD=90°,

ZCFD=45°,

：AC為正方形ABO的對(duì)角線，

ZCAD=45°,AC=>/2AB,

：.NCAD=NCFD,

.?.點(diǎn)A、C、￡>、尸四點(diǎn)共圓，

/AFC=/A￡>C=90。，

?：AF^-AB,

2

：.AF^AC,

則在Rt^AFC中,sinzl/CF=^=1,

???/ACF為銳角，

???ZACF=30o,ZMC=90°-30o=60°,

:ZCAD=45°,

：.ZMD=60°-45°=15°,

,:AP=AD,AF=AF,PF=DF,

：./\AFP^/\AFD,

：.ZFAD=ZFAP=\50,

，ZMD=30°,

〃=30.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形等，掌握

圖形的基本性質(zhì)和判定方法，具有較強(qiáng)的綜合分析能力是解題關(guān)鍵.

3.（2022?重慶市育才中學(xué)九年級(jí)期末）在等邊△ABC中,。是邊4C上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD,將BD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

120。,得到。E,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)8、4、E三點(diǎn)共線時(shí)，連接4E,若4B=2,求CE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,取CE的中點(diǎn)F,連接。凡猜想4。與CF存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BE、4F交于G點(diǎn).若GF=DF,請(qǐng)直接寫(xiě)出上箸的值.

BE

【答案】（1）夕；（2）AD=2DF；證明見(jiàn)解析；（3）在

3

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作C"_L4B于點(diǎn)比根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與等腰的性質(zhì)以及勾股定理求得C4=臼，進(jìn)

而求得BD=痣，在Rt△EHC中,HE=AH+AE=2,CH=8,勾股定理即可求解；

（2）延長(zhǎng)。尸至K,使得FK=。尸,連接EK,KC,過(guò)點(diǎn)。作CP/。,交AB于點(diǎn)P,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可

得/EDA=4KCA,證明△4PD是等邊三角形，進(jìn)而證明△48D三X4CK,即可證明4AKD是等邊三角形，進(jìn)而

根據(jù)三線合一以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得4。=2DF；

（3）過(guò)點(diǎn)。作CM1BE于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作ON1AB,連接MF,交4c于點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)。作ON1AB,交BET點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)、R

作RQ1BD于點(diǎn)Q,先證明4EMF=45。,結(jié)合中位線定理可得tEBC=45。,進(jìn)而可得NNB。=45。,設(shè)AN=

DF=1,分別勾股定理求得4F,ND,BD,MB,進(jìn)而根據(jù)CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF求

得CD+48,即可求得的值

DL

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作CHJ.AB于點(diǎn)H,如圖

???將BD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,得到DE,

???BD=DE/BDE=120°

乙DBE=4DEB=30°

△ABC是等邊三角形

???/.ABC=60。,AB=AC,AH=\AB=1

CH=V3

???乙CBD=/.ABC一乙48。=30°

???BD1AC,AD=DC=^AB—1

???BD-V3

vZ.BAC=60°

A/-EAD=120°

???^ADE=180°-^EAD-Z.AED=30°

，Z-AED=LADE

:.AE=AD=1

在At△EHC中出E=AH+AE=2,CH=V3

EC=^HE2+HC2=J22+(V3)2=V7

(2)如圖，延長(zhǎng)DF至K,使得FK=DF,連接EK,KC,過(guò)點(diǎn)。作DP/。,交AB于點(diǎn)P,

E

???點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)

???FE=FC

又FK=DF

二四邊形CDFK是平行四邊形

ED=KC,EDnKC

：.^LEDA=4KCA

???將8。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,得到DE,

???BD=DE/BDE=120°

??.BD=KC

???△4BC是等邊三角形

??.AB=AC

vPD^BC

:.Z.APD=LABC=6Y/CBD=乙PDB,

???△4P。是等邊三角形

??.AD=AP