甘肅省天水市一中2022屆高三上學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)（理）試題Word版含答案

天水一中高三級(jí)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)試題（理科）（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．設(shè)集合，，則（）A． B．（3，4] C．（3，4） D．（4，）2．歐拉恒等式(為虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時(shí)，，得．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四3．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．使得成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）A．1.012米 B．1.768米C．2.043米 D．2.945米7．某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，俯視圖是邊長為2的正方形，則該幾何體的體積等于（）A．8 B．C． D．8．已知是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)積，若，則（）A．1024 B．512 C．256 D．1289．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．10．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)．若，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．觀察下列數(shù)的特點(diǎn)1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x為_____．14．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是_____．15．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面平面SCB，，，三棱錐的體積為9，則球O的表面積為_____．16．函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題:共60分．17．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．18．（12分）2021年秋，某市突發(fā)新冠疫情，隨后經(jīng)過各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市開始有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)學(xué)．該市某校高三年級(jí)為做好復(fù)學(xué)準(zhǔn)備，對(duì)本年級(jí)的所有學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，其中一項(xiàng)為調(diào)查學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)題數(shù)量，為方便統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果分成了5組：[10,20)、[20,30)、[30,40)、[40,50)、[50,60]，并得到如下頻率分布直方圖：頻率/頻率/組距錯(cuò)題數(shù)（個(gè)）錯(cuò)題數(shù)（個(gè)）（1）請(qǐng)根據(jù)以上信息，求a的值，并求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；（2）為做進(jìn)一步的了解，需從每組中抽取若干人進(jìn)行電話專訪．已知錯(cuò)題數(shù)在[30,40)和[50,60)的學(xué)生中利用分層抽樣的方式共抽取了5人，再從5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行電話專訪，錯(cuò)題數(shù)在[30,40)的回答3個(gè)問題，錯(cuò)題數(shù)在[50,60)的回答5個(gè)問題，各個(gè)問題均不相同．用X表示抽取的3名學(xué)生回答問題的總個(gè)數(shù)，求X=13的概率．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，△是正三角形，側(cè)面底面，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）在①，；②，這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充在下面橫線處，并解答下列問題．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列的前項(xiàng)和是，________________________．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（注：條件①、②只能任選其一，若兩個(gè)都選，則按第一個(gè)解答計(jì)分）21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：．（二）選考題:共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在傾斜角為的直線上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為．（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求的最小值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)的最小值為．（1）求的值；（2）若，，，求證．天水一中高三級(jí)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)答案（理科）一、選擇題(本題共12題，每小題5分，共60分)題號(hào)123456789101112答案CBCDABDBACBD二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.﹣1114.715.36π16.解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．解：(1)∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2)由(1)及得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為18．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得，解得，因?yàn)?，所以中位?shù)位于[30,40)之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為（2）因?yàn)閇50,60)和[30,40)頻率比為，按照分層抽樣抽取5人，則[50,60)中抽2人，[30,40)中抽3人；因?yàn)閺?人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，年齡在[50,60)的回答5道題，年齡[30,40)的回答3道題，回答題目總個(gè)數(shù)為個(gè)，則從[50,60)的2人中抽2人，從[30,40)的3人中抽1人，則概率19．解：（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)槭钦切危堑闹悬c(diǎn)，所以，所以平面.因?yàn)?，所以平面；?）過在平面內(nèi)作的垂線，知與，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，有，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，，，所以；設(shè)平面的法向量為，，，則，即，所以，令，可得，所以；設(shè)二面角的平面角為，，所以，所以，所以二面角的正弦值為.20．解：選條件①：（1）由可得，兩式相減可得：，所以，在中令，可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，設(shè)，，兩式相減可得所以，即；選條件②：（1）由可得兩式相減可得：，即，所以，在中，令，可得：，所以，所以由，，……，，所以，從而，所以，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以.21.解：（1）由題易知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，故函?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn).（2）由函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，不妨令.所以，即，即，所以，.要證明，即證，即證.因?yàn)椋约醋C，即證，也就是證.令，則，即證.令，則，