23年高考真題-理科數(shù)學(北京卷)

頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學〔理〕〔北京卷〕一．選擇題〔共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項〕1．集合，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于〔〕〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限3．執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．“十二平均律〞是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的開展做出了重要奉獻。十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于。假設(shè)第一個單音的頻率為，那么第八個單音的頻率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．某四棱錐的三視圖如下圖，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕46．設(shè)均為單位向量，那么“〞是“〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件7．在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當變化時，的最大值為〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕48．設(shè)集合，那么〔〕〔A〕對任意實數(shù)，〔B〕對任意實數(shù)，〔C〕當且僅當時，〔D〕當且僅當時，二．填空題〔共6小題，每題5分，共30分〕9．設(shè)是等差數(shù)列，且，，那么的通項公式為__________。10．在極坐標系中，直線與圓相切，那么__________。11．設(shè)函數(shù)，假設(shè)對任意的實數(shù)都成立，那么的最小值為_________。12．假設(shè)滿足，那么的最小值是_________。13．能說明“假設(shè)對任意的都成立，那么在上是增函數(shù)〞為假命題的一個函數(shù)是__________。14．橢圓：，雙曲線：。假設(shè)雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，那么橢圓的離心率為__________；雙曲線的離心率為__________。三．解答題〔共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程〕15．〔本小題13分〕在中，，，。=1\*GB2⑴求；=2\*GB2⑵求邊上的高。

16．〔本小題13分〕如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點，，。=1\*GB2⑴求證：平面；=2\*GB2⑵求二面角的余弦值；=3\*GB2⑶證明：直線與平面相交。電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率17．〔本小題13分〕電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到右表。好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立。=1\*GB2⑴從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；=2\*GB2⑵從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；=3\*GB2⑶假設(shè)每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“〞表示第類電影得到人們喜愛，“〞表示第類電影沒有得到人們喜愛〔〕。寫出方差的大小關(guān)系。18．〔本小題13分〕設(shè)函數(shù)。=1\*GB2⑴假設(shè)曲線在點處的切線與軸平行，求；=2\*GB2⑵假設(shè)在處取得極小值，求的取值范圍。19．〔本小題14分〕拋物線：經(jīng)過點，過點作直線與拋物線交于不同的兩點，且直線交軸于，直線交軸于。=1\*GB2⑴求直線的斜率的取值范圍；=2\*GB2⑵設(shè)為原點，，，求證：為定值。20．〔本小題14分〕設(shè)為正整數(shù)，集合。對于集合中的任意元素和，記。=1\*GB2⑴當時，假設(shè)，，求和的值；=2\*GB2⑵當時，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當相同時，是奇數(shù)；當不同時，是偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值；=3\*GB2⑶給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，。寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由。2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試〔北京卷〕解答一．選擇題ADBDCCCD二．填空題9．；10．；11．；12．3；13．〔答案不唯一〕；14．15．解：=1\*GB2⑴由題，結(jié)合正弦定理可得。因，故，從而；=2\*GB2⑵由題，故邊上的高為。16．解：=1\*GB2⑴在三棱柱中，因平面，故四邊形為矩形。又分別為的中點，故。因，故，所以平面；=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知，，。又平面，故平面。因平面，故。如圖建立空間直角坐稱系，由題得，，，，。故，。設(shè)為平面的法向量，那么，即，取得。又是平面的法向量，故。由圖可知二面角為鈍角，故其余弦值為；=3\*GB2⑶因，，故。因，且，故平面的法向量與不垂直，從而與平面不平行且不在平面內(nèi)，所以與平面相交。17．解：=1\*GB2⑴由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是，故所求概率為；=2\*GB2⑵設(shè)事件為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評〞，事件為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評〞，故所求概率為。由題意知：的估計為，的估計為。故所求概率估計為；=3\*GB2⑶。18．解：=1\*GB2⑴由題，故。由題知，故。此時，所以；=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知。假設(shè)，那么當時，當時，因此在處取得極小值；假設(shè)，那么當時，，故，因此不是的極小值點。綜上可知，。19．解：=1\*GB2⑴由題，故，因此：。由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，由得。依題意，解得或。又與軸相交，故直線不過點，從而。所以直線的斜率的取值范圍是；=2\*GB2⑵設(shè)，由=1\*GB2⑴知，，故，。由題易知：，令，得點的縱坐標為。同理得點的縱坐標為。由，得，。所以，故為定值。20．解：=1\*GB2⑴由題，；=2\*GB2⑵設(shè)，那么。由題知，且為奇數(shù)，故中1的個數(shù)為1或3，所以。將上述集合中的元素分成如下四組：；；；。經(jīng)驗證，對于每組中兩個元素，均有。所以每組中的兩個元素不可能同時是集合的