小學(xué)五年級數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題及答案

PAGEPAGE4小學(xué)五年級數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題（含答案）一、小數(shù)的巧算（一）填空題1.計(jì)算1.996+19.97+199.8=_____。答案：221.766。解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)=222-(0.004+0.03+0.2)=221.766。2.計(jì)算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____。答案：103.25。解析：原式=1.1(1+3+…+9)+1.01(11+13+…+19)=1.125+1.0175=103.25。3.計(jì)算2.894.68+4.686.11+4.68=_____。答案：46.8。解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.84.計(jì)算17.4837-17.4819+17.4882=_____。答案：1748。解析:原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82=17.48×(37-19+82)=17.48×100=1748。5.計(jì)算1.250.322.5=_____。答案：1。解析：原式=(1.250.8)(0.42.5)=11=1。6.計(jì)算754.7+15.925=_____。答案：750。原式=754.7+5.3(325)=75(4.7+5.3)=7510=750。7.計(jì)算28.6767+3.2286.7+573.40.05=____。答案：2867。原式=28.6767+3228.67+28.67(200.05)=28.67(67+32+1)=28.67100=2867。（二）解答題8.計(jì)算172.46.2+27240.38。答案：原式=172.46.2+(1724+1000)0.38=172.46.2+17240.38+10000.38=172.46.2+172.43.8+380=172.4(6.2+3.8)+380=172.410+380=1724+380=2104。9.。（二）解答題8.173□是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字,所得到的3個(gè)四位數(shù),依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？答案：∵能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，1+7+3+□=11+□∴□內(nèi)只能填7。∵能被11整除的四位數(shù)的個(gè)位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被11整除。∴(7+□)-(1+3)=3+□能被11整除,∴□內(nèi)只能填8。∵能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù),并且數(shù)字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□,∴□內(nèi)只能填4。所以,所填三個(gè)數(shù)字之和是7+8+4=19。9．在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它們分別能被2、3、5、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小值是多少？解析：設(shè)補(bǔ)上的三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù),由這個(gè)七位數(shù)能被2,5整除,說明c=0；由這個(gè)七位數(shù)能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，從而a+b能被3整除；由這個(gè)七位數(shù)又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除；由所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小,因而取a+b=3,a-b=1,從而a=2,b=1。所以這個(gè)最小七位數(shù)是1992210。[注]小朋友通常的解法是:根據(jù)這個(gè)七位數(shù)分別能被2,3,5,11整除的條件,這個(gè)七位數(shù)必定是2,3,5,11的公倍數(shù),而2,3,5,11的最小公倍數(shù)是23511=330。這樣,1992000330=6036…120，因此符合題意的七位數(shù)應(yīng)是(6036+1)倍的數(shù),即1992000+(330-120)=1992210。10．在“改革”村的黑市上,人們只要有心,總是可以把兩張任意的食品票換成3張其他票券,也可以反過來交換。試問,合作社成員瓦夏能否將100張黃油票換成100腸票,并且在整個(gè)交換過程中剛好出手了1991張票券？答案：不可能。由于瓦夏原有100張票,最后還有100張票,所以他作了多少次“兩換三”,那么也就作了多少次“三換兩”,因此他一共出手了2k+3k=5k張票,而1991不是5的倍數(shù)。三質(zhì)數(shù)與合數(shù)（一）填空題1.在一位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有_____；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有_____；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有_____。答案：9，1，2。解析：在一位自然數(shù)中,奇數(shù)有:1,3,5,7,9,其中僅有9為合數(shù),故第一個(gè)空填9。在一位自然數(shù)中,質(zhì)數(shù)有2、3、5、7，合數(shù)有4、6、8、9，所以既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的為1。在一位自然數(shù)中,偶數(shù)有2、4、6、8，所以既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)為2。2.最小的質(zhì)數(shù)與最接近100的質(zhì)數(shù)的乘積是_____。答案：202。解析：最小的質(zhì)數(shù)是2,最接近100的質(zhì)數(shù)是101,它們的乘積是2101=202。3．兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是41，那么這兩個(gè)自然數(shù)的積是_____。答案：420。解析：首先注意到41是質(zhì)數(shù),兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是41,可見它們的差是1,這是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù),大數(shù)是21,小數(shù)是20,所以這兩個(gè)自然數(shù)的積是2021=420。4.在下式□中分別填入三個(gè)質(zhì)數(shù),使等式成立?！?□+□=50答案：2、5、43。解析：接近50的質(zhì)數(shù)有43,再將7分拆成質(zhì)數(shù)2與質(zhì)數(shù)5的和.即2+5+43=50。另外,還有2+19+29=50，2+11+37=50。[注]填法不是唯一的，如也可以寫成41+2+7=50。5.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是1716,這三個(gè)自然數(shù)是_____、_____、_____。答案：11,12,13。解析：將1716分解質(zhì)因數(shù)得：1716=2231113=11(223)13由此可以看出這三個(gè)數(shù)是11,12,13。6.找出1992所有的不同質(zhì)因數(shù),它們的和是_____。答案：88。解析：先把1992分解質(zhì)因數(shù),然后把不同質(zhì)數(shù)相加,求出它們的和。1992=222383所以1992所有不同的質(zhì)因數(shù)有:2,3,83。它們的和是2+3+83=88。7.如果自然數(shù)有四個(gè)不同的質(zhì)因數(shù),那么這樣的自然數(shù)中最小的是_____。答案：210。解析：最小的四個(gè)質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,所以有四個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的最小自然數(shù)是2357=210。(二）解答題8．2，3，5，7，11，…都是質(zhì)數(shù)，也就是說每個(gè)數(shù)只以1和它本身為約數(shù)。已知一個(gè)長方形的長和寬都是質(zhì)數(shù)個(gè)單位,并且周長是36個(gè)單位。問這個(gè)長方形的面積至多是多少個(gè)平方單位?答案：由于長+寬是362=18，將18表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)和18=5+13=7+11，所以長方形的面積是513=65或711=77，故長方形的面積至多是77平方單位。9.把7、14、20、21、28、30分成兩組，每三個(gè)數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等。答案：先把7，14,20,21,28,30分解質(zhì)因數(shù),看這六個(gè)數(shù)中共有哪幾個(gè)質(zhì)因數(shù),再分?jǐn)傇趦山M中,使兩組數(shù)乘積相等。14=7220=22521=3728=22730=2357從上面五個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來看,連7在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個(gè)7,六個(gè)2,二個(gè)3,二個(gè)5,因此每組數(shù)中一定要含三個(gè)2,一個(gè)3,一個(gè)5,二個(gè)7。六個(gè)數(shù)可分成如下兩組(分法是唯一的):第一組:7、28、和30第二組：14、21和20且72830=142120=5880滿足要求。[注]解答此題的關(guān)鍵是審題,抓住題目中的關(guān)鍵性詞語：“使兩組數(shù)的乘積相等”。實(shí)質(zhì)上是要求兩組里所含質(zhì)因數(shù)相同,相同的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)也相同。10.學(xué)生1430人參加團(tuán)體操,分成人數(shù)相等的若干隊(duì),每隊(duì)人數(shù)在100至200之間,問哪幾種分法?答案：把1430分解質(zhì)因數(shù)得：1430=251113根據(jù)題目的要求,應(yīng)在2、5、11及13中選用若干個(gè)數(shù)，使它們的乘積在100到200之間，于是得三種答案：（1）2511=110；（2）2513=130；（3）1113=143.所以,有三種分法:一種是分為13隊(duì),每隊(duì)110人；二是分為11隊(duì)，每隊(duì)130人；三是分為10隊(duì)，每隊(duì)143人。四約數(shù)與倍數(shù)1．28的所有約數(shù)之和是_____。答案：56。解析：28的約數(shù)有1,2,4,7,14,28,它們的和為1+2+4+7+14+28=56。2.用105個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形,有_____種不同的拼法。答案：4。解析：因?yàn)?05的約數(shù)有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長方形的長與寬分別是105和1,35和3,21與5,15與7。所以能拼成4種不同的長方形。3.一個(gè)兩位數(shù),十位數(shù)字減個(gè)位數(shù)字的差是28的約數(shù),十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的積是24.這個(gè)兩位數(shù)是_____。答案：64。解析：因?yàn)?8=227,所以28的約數(shù)有6個(gè):1,2,4,7,14,28。在數(shù)字0,1,2,…，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24，又6-4=2，8-3=5。故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64。4.李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個(gè)小組,總共種樹667棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,那么這個(gè)班共有學(xué)生_____人。答案：28。解析：因?yàn)?67=2329,所以這班師生每人種的棵數(shù)只能是667的約數(shù):1,23,29,667.顯然,每人種667棵是不可能的。當(dāng)每人種29棵樹時(shí),全班人數(shù)應(yīng)是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。當(dāng)每人種23棵樹時(shí),全班人數(shù)應(yīng)是29-1=28,且28恰好是4的倍數(shù),符合題目要求。當(dāng)每人種1棵樹時(shí),全班人數(shù)應(yīng)是667-1=666,但666不能被4整除,不可能。所以,一班共有28名學(xué)生。5.兩個(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大公約數(shù)是5,則這兩個(gè)數(shù)的差是_____。答案：40或20。解析：兩個(gè)自然數(shù)的和是50,最大公約數(shù)是5,這兩個(gè)自然數(shù)可能是5和45,15和35,它們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應(yīng)填40或20。[注]這里的關(guān)鍵是依最大公約數(shù)是5的條件,將50分拆為兩數(shù)之和:50=5+45=15+35。6.現(xiàn)有梨36個(gè),桔108個(gè),分給若干個(gè)小朋友,要求每人所得的梨數(shù),桔數(shù)相等,最多可分給_____個(gè)小朋友,每個(gè)小朋友得梨_____個(gè),桔_____個(gè)。答案：36,1,3。解析：要把梨36個(gè)、桔子108個(gè)分給若干個(gè)小朋友，要求每人所得的梨數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是36的約數(shù)，又要是108的約數(shù)，即一定是36和108的公約數(shù).因?yàn)橐笞疃嗫煞纸o多少個(gè)小朋友,可知小朋友的人數(shù)是36和108的最大公約數(shù)。36和108的最大公約數(shù)是36,也就是可分給36個(gè)小朋友。每個(gè)小朋友可分得梨:3636=1(只)，每個(gè)小朋友可分得桔子:10836=3(只)，所以,最多可分得36個(gè)小朋友,每個(gè)小朋友可分得梨1只,桔子3只。7.一塊長48厘米、寬42厘米的布，不浪費(fèi)邊角料，能剪出最大的正方形布片_____塊。答案：56。解析：剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長48厘米及寬42厘米,所以它是48與42的公約數(shù),題目又要求剪出的正方形最大,故正方形的邊長是48與42的最大公約數(shù)。因?yàn)?8=22223,42=237,所以48與42的最大公約數(shù)是6。這樣,最大正方形的邊長是6厘米。由此可按如下方法來剪:長邊每排剪8塊,寬邊可剪7塊,共可剪(486)(426)=87=56(塊)正方形布片。8．寫出小于20的三個(gè)自然數(shù)，使它們的最大公約數(shù)是1，但兩兩均不互質(zhì)，請問有多少組這種解？答案：三組。解析：三個(gè)數(shù)都不是質(zhì)數(shù),至少是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積,兩兩之間的最大公約數(shù)只能分別是2,3和5,這種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組。9．和為1111的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？答案：四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)必須能整除這四個(gè)數(shù)的和,也就是說它們的最大公約數(shù)應(yīng)該是1111的約數(shù)。將1111作質(zhì)因數(shù)分解,得1111=11101最大公約數(shù)不可能是1111,其次最大可能數(shù)是101.若為101,則將這四個(gè)數(shù)分別除以101,所得商的和應(yīng)為11?，F(xiàn)有1+2+3+5=11,即存在著下面四個(gè)數(shù)101,1012,1013,1015,它們的和恰好是101(1+2+3+5)=10111=1111,它們的最大公約數(shù)為101，所以101為所求。10．狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次.比賽途中,從起點(diǎn)開始每隔米設(shè)有一個(gè)陷井,當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷井時(shí),另一個(gè)跳了多少米?答案：黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是與的“最小公倍數(shù)”，即跳了=9次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是和的“最小公倍數(shù)”，即跳了=11次掉進(jìn)陷井。經(jīng)過比較可知,黃鼠狼先掉進(jìn)陷井,這時(shí)狐貍已跳的行程是9=40.5(米)。五帶余數(shù)除法（一）填空題1．小東在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87寫成78，結(jié)果得到的商是54，余數(shù)是8.正確的商是_____,余數(shù)是_____。答案：48,44。解析：依題意得：被除數(shù)=7854+8=4220，而4220=8748+44,所以正確的商是48,余數(shù)是44。2.a24=121……b,要使余數(shù)最大，被除數(shù)應(yīng)該等于_____。答案：2927。解析：因?yàn)橛鄶?shù)一定要比除數(shù)小,所以余數(shù)最大為23,故有，被除數(shù)=24121+23=2927。3.一個(gè)三位數(shù)被37除余17,被36除余3,那么這個(gè)三位數(shù)是_____。答案：831解析：這個(gè)三位數(shù)可以寫成：37商+17=36商+(商+17)。根據(jù)“被36除余3”。(商+17)被36除要余3。商只能是22(如果商更大的話,與題目條件“三位數(shù)”因此,這個(gè)三位數(shù)是3722+17=831。4.393除以一個(gè)兩位數(shù),余數(shù)為8,這樣的兩位數(shù)有_____個(gè),它們是_____。答案：11,35,55,77。解析：393減8,那么差一定能被兩位數(shù)整除。∵393-8=385，385=5711=(57)11=(511)7=(711)5，∴385能被兩位數(shù)11，35，55，77整除。本題的答案是4個(gè):11,35,55,77。5.3145368765987657的積,除以4的余數(shù)是_____。答案：1。解析：∵314534=7863…1687654=17191…19876574=246914…1111=1∴3145368765987657的積除以4余數(shù)是1。6.888……8乘以666……6的積，除以7余數(shù)是_____。50個(gè)850個(gè)6答案：5。解析：因?yàn)?11111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除。而50=68+2,故得被乘數(shù)與88被7除的余數(shù)相同,乘數(shù)與66被7除的余數(shù)相同,進(jìn)而得:被乘數(shù)被7除余4,乘數(shù)被7除余3。所以乘積與(43=)12被7整除的余數(shù)相同。因此得乘積被7除的余數(shù)是5。7.如果時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整,那么分針旋轉(zhuǎn)1990圈之后是_____點(diǎn)鐘。答案：16。解析：因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)一圈為一個(gè)鐘頭,所以分針旋轉(zhuǎn)24圈,時(shí)針旋轉(zhuǎn)2圈.若以現(xiàn)時(shí)18點(diǎn)整為起點(diǎn)與終點(diǎn),這樣時(shí)針又回到18點(diǎn)整的位置上。由199024=82…余22，可知那時(shí)時(shí)鐘表示的時(shí)間應(yīng)是16點(diǎn)整。（二）解答題8．幼兒園某班學(xué)生做游戲，如果每個(gè)學(xué)生分得的彈子一樣多，彈子就多12顆，如果再增加12顆彈子，那么每個(gè)學(xué)生正好分得12顆，問這班有多少個(gè)學(xué)生？原有多少顆彈子？答案：依題意知，原來每個(gè)學(xué)生分相等的若干顆，余12顆，則學(xué)生人數(shù)大于12.同時(shí)由增加12顆后每個(gè)學(xué)生正好分得12顆,即12+12=24(顆),24能被班級人數(shù)整除,又24能分解為24=124=212=38=46由班級人數(shù)大于12,可知符合題意的是24人。所以,共有彈子數(shù)1224-12=276(顆)。9．已知：a=199119911991……1991,問：a除以13,余數(shù)是幾？1991個(gè)1991答案：用試除的方法可知:199119911991可以被13除盡。原數(shù)a有1991個(gè)1991.因?yàn)?991除以3余2,所以a與19911991除以13所得余數(shù)相同。又19911991除以13余8,所以a除以13的余數(shù)也是8。10．100個(gè)7組成的一百位數(shù),被13除后,問：(1)余數(shù)是多少？(2)商數(shù)中各位數(shù)字之和是多少？答案：因?yàn)?7777713=59829,即777777能被13整除,把這100個(gè)7,從第一個(gè)起,每6個(gè)分成一組,1006=16…4，共16組還多4個(gè)。每一組除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余數(shù)是3。所以,100個(gè)7組成一百位數(shù)除以13后,余數(shù)是3,商數(shù)中各位數(shù)字之和是(5+9+8+2+9)16+(5+9+8)=550。六中國剩余定理（一）填空題1.有一個(gè)數(shù)，除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3，這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是_____。答案：7。解析：因?yàn)槌?余數(shù)是1的數(shù)是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…除以4余數(shù)是3的數(shù)是3,7,11,15,19,23,27,31…所以，同時(shí)符合除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3的數(shù)有7，19，31，…這些數(shù)除以12余數(shù)均為7。2.一個(gè)兩位數(shù),用它除58余2,除73余3,除85余1,這個(gè)兩位數(shù)是_____。答案：14。解析：用一個(gè)兩位數(shù)除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,73-3=70,85-1=84能被這個(gè)兩位數(shù)整除,這個(gè)兩位數(shù)一定是56、70和84的公約數(shù).25670847283542456由可可見,56、70、84的兩位數(shù)公約數(shù)是27=14，可見這個(gè)兩位數(shù)是14。3.學(xué)習(xí)委員收買練習(xí)本的錢,她只記下四組各交的錢,第一組2.61元,第二組3.19元,第三組2.61元,第四組3.48元,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過1角,全班共有_____人。答案：41解析：根據(jù)題意得：319-261=練習(xí)本單價(jià)第二、一組人數(shù)之差，348-319=練習(xí)本單價(jià)第四、二組人數(shù)之差。即練習(xí)本單價(jià)第二、一組人數(shù)之差=58,練習(xí)本單價(jià)第四、二組人數(shù)之差=29，所以,練習(xí)本單價(jià)是58與29的公約數(shù),這樣,練習(xí)本的單價(jià)是29分,即0.29元。因此,全班人數(shù)是(2.612+3.19+3.48)0.29=11.890.29=41(人)。[注]這里為了利用練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)這一隱含條件,將小數(shù)化成整數(shù)來考慮,為解決問題提供了方便.這里也可直接找261、319和348的公約數(shù)，但比較困難.上述解法從一定意義上說是受了輾轉(zhuǎn)相除法的啟示。4.五年級兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操,如果9人排一行,多出一個(gè)人；如果10人排一行，同樣多出一個(gè)人.這兩個(gè)班最少共有_____人。答案：91解析：如果將兩個(gè)班的人數(shù)減少1人,則9人一排或10人一排都正好排完沒有剩余,所以兩班人數(shù)減1是9和10的公倍數(shù),又要求這兩班至少有幾人,可以求出9和10的最小公倍數(shù),然后再加上1.所以,這兩個(gè)班最少有910+1=91(人)。5.一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，若用11去除則余1，這個(gè)數(shù)最小是____。答案：210。解析：一個(gè)數(shù)能被3,5,7整除,這個(gè)數(shù)一定是3,5,7的公倍數(shù).3,5,7的公倍數(shù)依次為:105,210,315,420,……，其中被11除余數(shù)為1的最小數(shù)是210，所以這個(gè)最小數(shù)是210。6.同學(xué)們進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人，參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生最少有_____人。答案：46人。解析：如果總?cè)藬?shù)少6人,則每排8人和每排10人,均恰好排完無剩余。由此可見,人數(shù)比10和8的最小公倍數(shù)多6人,10和8的最小公倍數(shù)是40,所以參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生至少有46人。7.把幾十個(gè)蘋果平均分成若干份,每份9個(gè)余8個(gè),每份8個(gè)余7個(gè),每份4個(gè)余3個(gè).這堆蘋果共有_____個(gè)。答案：71。解析：依題意知,這堆蘋果總個(gè)數(shù),添進(jìn)1個(gè)蘋果后,正好是9,8,4的倍數(shù).因?yàn)?,8,4的最小公倍數(shù)是98=72,所以這堆蘋果至少有98-1=71(個(gè))。[注]本題為什么求9,8,4的最小公倍數(shù)呢?這是根據(jù)限制條件“這堆蘋果共幾十個(gè)”決定的.若限制條件改為“這堆蘋果的個(gè)數(shù)在100-200之間”的話，那么這堆蘋果共有982-1=141（個(gè)）。因此，在解答問題時(shí)，一定要把條件看清楚，尤其要注意“隱含條件”的應(yīng)用。（二）解答題8．有一盒乒乓球，每次8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)，12個(gè)12個(gè)地?cái)?shù)，最后總是剩下3個(gè)。這盒乒乓球至少有多少個(gè)?答案：如果這盒乒乓球少3個(gè)的話,8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù),10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù),12個(gè)12個(gè)的數(shù)都正好無剩余,也就是這盒乒乓球減少3個(gè)后是8,10,12的公倍數(shù),又要求至少有多少個(gè)乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍數(shù),然后再加上3。2810122456253故8,10,12的最小公倍數(shù)是22253=120。所以這盒乒乓球有123個(gè)。9.求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整數(shù)。答案：設(shè)所求數(shù)為,則+2就能同時(shí)被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以=120-2=118。10.一盒圍棋子,三只三只數(shù)多二只,五只五只數(shù)多四只,七只七只數(shù)多六只,若此盒圍棋子的個(gè)數(shù)在200到300之間,問有多少圍棋子?答案：設(shè)有個(gè)圍棋子,則+1是3,5,7的倍數(shù),+1是[3,5,7]=357=105的倍數(shù),+1=210,=209。七奇數(shù)與偶數(shù)（一）填空題1.2，4，6，8，……是連續(xù)的偶數(shù)，若五個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的和是320，這五個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是______。答案：60。解析：這五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的第三個(gè)(即中間的那一個(gè))偶數(shù)是3205=64。所以，最小的偶數(shù)是60。2.有兩個(gè)質(zhì)數(shù),它們的和是小于100的奇數(shù),并且是17的倍數(shù).這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是_____。答案：2,83。解析：因?yàn)閮蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的和是奇數(shù),所以必有一個(gè)是2。小于100的17的奇數(shù)倍有17,51和85三個(gè),17,51與2的差都不是質(zhì)數(shù),所以另一個(gè)質(zhì)數(shù)是85-2=83。3.100個(gè)自然數(shù),它們的和是10000,在這些數(shù)里,奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多,那么,這些數(shù)里至多有_____個(gè)偶數(shù)。答案：48解析：由于100個(gè)自然數(shù)的和是10000,即100個(gè)自然數(shù)中必須有偶數(shù)個(gè)奇數(shù),又由于奇數(shù)比偶數(shù)多,因此偶數(shù)最多只有48個(gè)。4.下圖是一張靶紙,靶紙上的1、3、5、7、9表示射中該靶區(qū)的分?jǐn)?shù).甲說:我打了六槍,每槍都中靶得分,共得了27分.乙說:我打了3槍,每槍都中靶得分,共得了27分。13 5 79已知甲、乙兩人中有一人說的是真話，那么說假話的是_____。答案：甲解析：由于分?jǐn)?shù)都是奇數(shù),6個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù),不可能是奇數(shù)27,所以說假話的是甲。5.一次數(shù)學(xué)考試共有20道題,規(guī)定答對一題得2分,答錯(cuò)一題扣1分,未答的題不計(jì)分?？荚嚱Y(jié)束后,小明共得23分。他想知道自己做錯(cuò)了幾道題,但只記得未答的題的數(shù)目是個(gè)偶數(shù)。請你幫助小明計(jì)算一下,他答錯(cuò)了_____道題。答案：3。解析：小明做錯(cuò)的題的數(shù)目一定是奇數(shù)個(gè),若是做錯(cuò)1個(gè),則應(yīng)做對12個(gè)才會得122-1=23分,這樣小明共做13個(gè)題,未做的題的個(gè)數(shù)7不是偶數(shù)；若是做錯(cuò)3個(gè)，則應(yīng)做對13個(gè)才能得132-3=23分，這樣未答的題是4個(gè)，恰為偶數(shù)個(gè)。此外小明不可能做錯(cuò)5個(gè)或5個(gè)以上的題.故他做錯(cuò)的題有3個(gè)。7.有一批文章共15篇,各篇文章的頁數(shù)分別是1頁、2頁、3頁……14頁和15頁的稿紙，如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼。那么每篇文章的第一頁是奇數(shù)頁碼的文章最多有_____篇。答案：11。解析：根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)的性質(zhì),先編排偶數(shù)頁的文章(2頁,4頁,…，14頁)，這樣共有7篇文章的第一頁都是奇數(shù)頁碼。然后,編排奇數(shù)頁的文章(1頁,3頁,…，15頁)，根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)的性質(zhì)，這樣編排，就又有4篇文章的第一頁都是奇數(shù)頁碼。所以,每篇文章的第一頁是奇數(shù)頁碼的文章最多是7+4=11(篇)。7.一本書中間的某一張被撕掉了,余下的各頁碼數(shù)之和是1133,這本書有_____頁,撕掉的是第_____頁和第_____頁。答案：48,21,22。解析：設(shè)這本書的頁碼是從1到n的自然數(shù),正確的和應(yīng)該是1+2+…+n=(n+1)由題意可知，(n+1)>1133由估算，當(dāng)n=48時(shí)，(n+1)=4849=1176，1176-1133=43。根據(jù)書頁的頁碼編排,被撕一張的頁碼應(yīng)是奇、偶，其和是奇數(shù)，43=21+22。所以,這本書有48頁,被撕的一張是第21頁和第22頁。（二）解答題9．如下圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹。如果把3塊“愛護(hù)樹木”的小木牌分別掛在3棵樹上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）。試說明理由。003691215182124答案：相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離,等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和。如果三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù),就會出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌的距離是偶數(shù)。13．如圖所示，一個(gè)圓周上有9個(gè)位置，依次編為1~9號.現(xiàn)在有一個(gè)小球在1號位置上。第一天順時(shí)針前進(jìn)10個(gè)位置,第二天逆時(shí)針前進(jìn)14個(gè)位置。以后,第奇數(shù)天與第一天相同,順時(shí)針前進(jìn)10個(gè)位置,第偶數(shù)天與第二天相同,逆時(shí)針前進(jìn)14個(gè)位置。問:至少經(jīng)過多少天,小球又回到1號位置。19192874365答案：順時(shí)針前進(jìn)10個(gè)位置,相當(dāng)于順時(shí)針前進(jìn)1個(gè)位置；逆時(shí)針前進(jìn)14個(gè)位置，相當(dāng)于順時(shí)針前進(jìn)18-14=4（個(gè)）位置。所以原題相當(dāng)于:順時(shí)針每天1個(gè)位置,4個(gè)位置交替前進(jìn),直到前進(jìn)的位置個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)為止。偶數(shù)天依次前進(jìn)的位置個(gè)數(shù):5,10,15,20,25,30,35,40，……奇數(shù)天依次前進(jìn)的位置個(gè)數(shù)：1，6，11，16，21，26，31，36，41，……第15天前進(jìn)36個(gè)位置，36天是9的倍數(shù)，所以第15天又回到1號位置。八周期性問題（一）填空題1.某年的二月份有五個(gè)星期日，這年六月一日是星期_____。答案：二。解析：因?yàn)?4=28，由某年二月份有五個(gè)星期日，所以這年二月份應(yīng)是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經(jīng)過了31+30+31+1=93(天)。因?yàn)?37=13…2，所以這年6月1日是星期二。2.1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期_____。答案：日。解析：依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有36510+2=3652（天）。因?yàn)?6527=521…5，1989年12月5日是星期二所以再過十年的12月5日是星期日。3.按下面擺法擺80個(gè)三角形,有_____個(gè)白色的?！鸢福?9。解析：從圖中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復(fù)排列，也就是這一排列的周期為6，并且每一周期有3個(gè)白色三角形。因?yàn)?06=13…2，而第十四期中前兩個(gè)三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（個(gè)）。4．節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_____燈。答案：白。解析：依題意知,電燈的安裝排列如下:白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,……這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4。由734=18…1,可知第73盞燈是白燈。5.時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是14時(shí)正,那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后,時(shí)針表示的時(shí)間是____。答案：13時(shí)。解析：分針旋轉(zhuǎn)一周為1小時(shí),旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時(shí)。一天24小時(shí),199124=82…23，1991小時(shí)共82天又23小時(shí).現(xiàn)在是14時(shí)正,經(jīng)過82天仍然是14時(shí)正,再過23小時(shí),正好是13時(shí)。[注]在圓面上,沿著圓周把1到12的整數(shù)等距排成一個(gè)圈,再加上一根長針和一根短針,就組成了我們天天見到的鐘面。鐘面雖然是那么的簡單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問題,周期現(xiàn)象就是其中的一個(gè)重要方面。6.把自然數(shù)1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么數(shù)“1992”第一列第二列第三列第四列第五列123459876101112131418171615………答案：3。解析：仔細(xì)觀察題中表格。12345(奇數(shù)排)第一組876(偶數(shù)排)1011121314(奇數(shù)排)第二組18171615(偶數(shù)排)1920212223(奇數(shù)排)第三組27262524(偶數(shù)排)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下:(1)連續(xù)自然數(shù)按每組9個(gè)數(shù),且奇數(shù)排自左往右五個(gè)數(shù),偶數(shù)排自右往左四個(gè)數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律:第1列用9除余數(shù)為1,第2列用9除余數(shù)為2,…，第5列用9除余數(shù)為。(3)109=1…1，10在1+1組，第1列199=2…1，19在2+1組，第1列因?yàn)?9929=221…3，所以1992應(yīng)排列在（221+1）=222組中奇數(shù)排第3列數(shù)的位置上。7.把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第110位上的數(shù)字是_____。答案：7。解析：=0.57142857……它的循環(huán)周期是6，具體地六個(gè)數(shù)依次是：5，7，1，4，2，81106=18…2因?yàn)橛?，第110個(gè)數(shù)字是上面列出的六個(gè)數(shù)中的第2個(gè)，就是7。（二）解答題8.緊接著1989后面一串?dāng)?shù)字，寫下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù).例如89=72,在9后面寫2,92=18,在2后面寫8,……得到一串?dāng)?shù)字:1989286……這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是什么？答案：依照題述規(guī)則多寫幾個(gè)數(shù)字:1989286884286884……可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個(gè)一組，即循環(huán)周期為6.因?yàn)?1989-4)6=330…5，所以所求數(shù)字是8。9.1991個(gè)1990相乘所得的積與1990個(gè)1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？答案：1991個(gè)1990相乘所得的積末尾兩位是0,我們只需考察1990個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)即可。1個(gè)1991末兩位數(shù)是91,2個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)是81,3個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)是71,4個(gè)至10個(gè)1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個(gè)1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，……，由此可見，每10個(gè)1991相乘的末兩位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，即周期為10。因?yàn)?99010=199,所以1990個(gè)1991相乘積的末兩位數(shù)是01,即所求結(jié)果是01。14．在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右至左每隔5厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？答案：因?yàn)?00能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點(diǎn)染色。6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時(shí)染上紅色,這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán),每一周的長度是30厘米,如下圖所示。6121824305101520259596100.90由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1。剩余10厘米中有一段。所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:2[(100-10)30]+1=23+1=7(段)。[注]解決這一問題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉(zhuǎn)化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象,化難為易。九圖形的計(jì)數(shù)（一）填空題1．下圖中一共有（）條線段。答案：30解析：圖形中每邊有3+2+1=6（條）線段，因此整個(gè)圖形中共有65=30條線段。2.如下圖,O為三角形A1A6A12的邊A1A12上的一點(diǎn),分別連結(jié)OA2,OA3,答案：37。解析：將△A1A6A12分解成以O(shè)A6為公共邊的兩個(gè)三角形。△OA1A6中共有5+4+3+2+1=15(個(gè))三角形,△OA6A12中共有6+5+4+3+2+1=21(個(gè))三角形3.下圖中有_____個(gè)三角形。AADCB答案：15。解析：這樣的問題應(yīng)該通過分類計(jì)數(shù)求解。此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn)C的和不含頂點(diǎn)C的兩大類。含頂點(diǎn)C的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段AB上的和在線段BD上的兩小類.分類圖解如下:DDCCBBAAAADBDCB所以原圖有(3+2+1)+(3+2+1)+3=15(個(gè))三角形。4.下圖中共有_____個(gè)梯形。答案：18。解析：梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(個(gè)),所以一共有63=18(個(gè))梯形。5.數(shù)一數(shù)(1)一共有()個(gè)長方形。BCDBCDA(1)(2)答案：108,36。解析：(1)因?yàn)殚L方形是由長和寬組成的,因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù)。按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長和寬的線段條數(shù),將它們相乘就是所有長方形的個(gè)數(shù)。因?yàn)锳B邊上有8+7+6+…+2+1==36條線段，AD邊上有2+1=3條線段，所以圖中一共有363=108個(gè)長方形。(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(個(gè)),所以一共有66=36(個(gè))三角形。6.在下圖中,所有長方形的個(gè)數(shù)是______。答案：30。解析：圖形中共有12+22+32+42=30個(gè)正方形。7.一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有44個(gè)釘(如右圖)。以每個(gè)釘為頂點(diǎn),你能用皮筋套出正方形和長方形共_____個(gè)。答案：44。解析：因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形,所以可以把正方形看成長方形,這樣就不必分別求正方形和長方形的個(gè)數(shù),仍用分類計(jì)數(shù)的方法求解。先考慮有一組對邊平行于BC的長方形有多少個(gè)。這一類按其水平邊的位置可分為6小類,即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC。同樣,其豎直邊也分為6類。所以這一類有66=36個(gè)長方形。ABABCDEF另一類是沒有邊平行于BC的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁圖所示,其中分別有6個(gè)和2個(gè)長方形。所以，一共可套出正方形和長方形36+6+2=44個(gè)。(二）解答題76547654321答案：白色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+…+6==21，黑色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+…+7==28，所以它們的比==。NMFEDCBAO12.下圖中,NMFEDCBAO答案：解法一：本圖中三角形的個(gè)數(shù)為(1+2+3+4)4=40(個(gè))。下面求梯形的個(gè)數(shù)，梯形由兩底唯一確定.首先在AB,CD,EF,MN中,考慮兩底所在的線段,共有(43)2=6(種)選法；對上述四條線段中確定的兩條線段，共有10（10=4+3+2+1）個(gè)梯形。共60個(gè)梯形，故所求差為20。解法二：在圖中可數(shù)出4個(gè)三角形,6個(gè)梯形,梯形比三角圖形圖形多2個(gè)。而在題圖中,這種恰有10個(gè)。.故題圖中,梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為210=20(個(gè))。13．現(xiàn)在都是由邊長為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它們的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要組成這樣4個(gè)大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個(gè)？白色正方形多少個(gè)？答案：邊長2厘米的正方形:22=4(個(gè))……紅色邊長4厘米的正方形(4-1)4=12(個(gè))……紅色(4-2)(4-2)=4(個(gè))……白色邊長8厘米的正方形(8-1)4=28(個(gè))……紅色(8-2)(8-2)=36(個(gè))……白色邊長9厘米的正方形(9-1)4=32(個(gè))……紅色(9-2)(9-2)=49(個(gè))……白色所以,紅色小正方形共有4+12+28+32=76(個(gè))，白色小正方形共有4+36+49=89(個(gè))。[注]本題的要求是由邊長為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方陣問題來解。四周的小正方形是涂紅色的,可看成是空心方陣。因此,涂紅色正方形的個(gè)數(shù)等于4(n-1)。其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣。所以，涂白色的正方形的個(gè)數(shù)等于(n-2)(n-2).比如,由邊長為1厘米的正方形組成邊長為9厘米的正方形,涂紅色的小正方形的個(gè)數(shù)是:4(9-1)=32(個(gè)),涂白色的小正方形的個(gè)數(shù)是:(9-2)(9-2)=49(個(gè))。十圖形與面積1.如下圖,把三角形的一條邊延長1倍到,把它的另一邊延長2倍到,得到一個(gè)較大的三角形,三角形的面積是三角形面積的______倍。答案：6倍。解析：過B、D點(diǎn)分別作BG⊥AC，DH⊥AE。由題意知，E為AD的中點(diǎn)，得到高BG：DH=1∶2，底邊AC∶AE=1∶3，根據(jù)面積公式得出：三角形ADE的面積是三角形ABC面積的6倍。2.如下圖,在三角形中,=8厘米,=6厘米,、分別為和的中點(diǎn)。那么三角形的面積是______平方厘米。答案：6平方厘米。解析：由題意知，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，我們可得出，，。BEF的高=。故，△BEF的面積=3.十一觀察與歸納（一）填空題1.找規(guī)律,填得數(shù)。22=2×2=12×4=4；222=22×22=112×4=484；2222=222×222=1112×4=49284；………………2222222222=()2×____=______×____=_________。答案：111111111,4；12345678987654321,4；49382715950617284。解析：根據(jù)已知等式的觀察和分析,可知算式演變規(guī)律有兩種形式:其一是等積恒變；其二是11×11=121,111×111=12321,……。2222=222×222=1112×4=49284;2222222222=1111111112×4=12345678987654321×4=49382715950617284。2.圖中第1格內(nèi)放著一個(gè)立方體木塊,木塊六個(gè)面上分別寫著六個(gè)字母,其中與與與相對.如果將木塊沿著圖中方格滾動,當(dāng)木塊滾動到第21個(gè)格時(shí),木塊向上的面寫的字母是______。答案：A。解析：木塊沿直線滾動4格,與原來的狀態(tài)相同,所以木塊到第5,9,13,17，21格時(shí),與在第1格的狀態(tài)相同,寫的字母是A。3.下面是三行按不同規(guī)律排列的,那么當(dāng)=32時(shí),+=______。246810……1591317……25101726……答案:318。解析：由數(shù)表可知A和B都是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答。當(dāng)32時(shí),=(32-2)×+1=16；當(dāng)=16時(shí),=1+(16-1)×4=61。再由數(shù)表可知C數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差值3,5,7,9,11,…,31組成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列求和公式()××進(jìn)行解答。這15個(gè)差值的和是(3+31)×15×=255,則當(dāng)=16時(shí),=2+255=257。因此,=61+257=318。4.如圖所示,在左上角(第一行第一列)的位置上畫上第1個(gè)點(diǎn),然后按箭頭方向依次畫上第2,3,4,…個(gè)點(diǎn)。那么,第1999個(gè)點(diǎn)在第______行第______幾列。答案：27，45。解析：正長形網(wǎng)格內(nèi)的所有格點(diǎn)數(shù)之和必是平方數(shù),如2×2方格網(wǎng)中共有格點(diǎn)32=9(個(gè)),3×3方格網(wǎng)中共有格點(diǎn)42=16(個(gè))。因?yàn)?999=442+63=452-26,所以第1999個(gè)點(diǎn)必在第45行或第45列上。因?yàn)榈?52點(diǎn)在第1行第45列上,而1999=452-26,從第1行倒退26行,所以第1999個(gè)點(diǎn)在第27行第45列上。5.有一張黑白相間的相間的方格紙,用記號(2,3)表示從上往下數(shù)第2行,從左往右數(shù)第3列的這一格(如圖),那么(19,98)這一格是______色。答案：白解析：觀察歸納得:“行數(shù)+列數(shù)=奇數(shù)”時(shí)為白色,“行數(shù)+列數(shù)=偶數(shù)”時(shí)為黑色。而19+98為奇數(shù),因此(19-98)這一格是白色。6.如圖所示,在正六邊形周圍畫出6個(gè)同樣的正六邊形(陰影部分),圍成第1圈；在第1圈外面再畫出12個(gè)同樣的正六邊形,圍成第2圈;…….按這個(gè)方法繼續(xù)畫下去,當(dāng)畫完第9圈時(shí),圖中共有______個(gè)與A相同的正六邊形。答案：271。解析：提示:第幾圈有6個(gè)正六邊形,所以共有1+6×(1+2+…+9)=271(個(gè))。7.下面是按規(guī)律列的三角形數(shù)陣:11112113311464115101051………………那么第1999行中左起第三個(gè)數(shù)是______。答案：1995003解析：第三行左起第三個(gè)數(shù)是1=1；第四行左起第三個(gè)數(shù)是3=1+2；第五行左起第三個(gè)數(shù)是6=1+2+3；第六邊左起第三個(gè)數(shù)是10=1+2+3+4；……歸納可知,第1999行左起第三個(gè)數(shù)是1+2+3+…+1997==1995003。（二）解答題8.將自然數(shù)1,2,3,4…按箭頭所指方向順序排列(如圖),依次在2,3,5,7,10…等數(shù)的位置處拐彎。(1)如果2算作第一次拐彎處,那么第45次拐彎的數(shù)是什么?(2)從1978到2010的自然數(shù)中,恰好在拐彎處的數(shù)是什么?答案：觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律,可以得到個(gè)拐彎處的數(shù),當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為1+(1+3+5+…+)=()2+1；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為1+2×(1+2+3+…+)=(1+)×+1。(1)第45次拐彎處的數(shù)是()2+1=530。(2)試算=89時(shí),拐彎處的數(shù)是()2+1=2026；=88時(shí),拐彎處的數(shù)是(1+)×+1=1981；=87時(shí),拐彎處的數(shù)是()2+1=1937；所以1978~2010中,恰在拐彎處的數(shù)是1981。9.下圖是一張把自然數(shù)按一定順序排列的數(shù)表,用一個(gè)有五個(gè)空格的十字可以框出不同的五個(gè)數(shù)字,現(xiàn)在框出的五個(gè)數(shù)字的四個(gè)角上的數(shù)字之和是80,如果當(dāng)框出的五個(gè)數(shù)字的和是500時(shí),四個(gè)角上數(shù)字的和是多少?12345678910111213141516171819202122232425262728答案：仔細(xì)觀察十字框中的五個(gè)數(shù)里,中間一個(gè)是這五個(gè)數(shù)的平均值,也是其余四個(gè)數(shù)的平均值,所以中間一個(gè)數(shù)可由500÷5=100得到,且即得四個(gè)角上數(shù)字這和為100×4=400。13.如圖,在一張方格紙上畫折線(用實(shí)線表示的部分),圖中每個(gè)小方格的邊長為1,從A點(diǎn)出發(fā)依次給每條直線段編號。(1)編號1994的直線段長是多少?(2)長度為1994的直線段的編號是多少?答案：通過觀察列出編號與長度的關(guān)系表:編號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)……長度12345……從表中看出:長度為的線段編號為2-1和2。(1)編號為1994的線段長為:1994÷2=997。(2)長度為1994的線段有兩條,編號分別為:1994×2-1=3987;1994×2=3988。十二數(shù)列的求和（一）填空題1.1～1991這1991個(gè)自然數(shù)中,所有的奇數(shù)之和與所有的偶數(shù)之和的差是______。答案：996。解析：(1+3+…+1991)-(2+4+…+1990)=1+(3-2)+(5-4)+…+(1991-1990)=1+1+…+1=996。2.計(jì)算:1-3+5-7+9-11+…-1999+2001=_____。答案：1-3+5-7+9-11+…-1999+2001=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(2001-1999)=1+2+2+…+2=1001。3.計(jì)算:100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=______。答案：1130。解析：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=100+(99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+…+10+(9-7)+(8-6)+5+(4-2)+(3-1)=(100+95+…+10+5)+2+2+…+2==105×10+80=1130。4.計(jì)算:1992+-1+2-3+4-5+…+1990-1991=______。答案：1162。解析：1992+-1+2-3+4-5+…+1990-1991=[(2-1)+(4-3)+…+(1992-1991)]+[(-)+(-)+…+(-)]=996+996×(-)=996+996×=996+166=1162。5.100與500之間能被9整除的所有自然數(shù)之和是______。答案：13266。解析：100到500之間9的倍數(shù)有9×12,9×13,…,9×55,共55-12+1=44個(gè),它們的和是=13266。6.如左下圖,一個(gè)堆放鉛筆的形架的最下層放1支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支.這個(gè)形架上共放了______支鉛筆。答案：7260。解析：型架上鉛筆總數(shù)是1+2+3+…+120==7260(支)。7.一堆相同的立方體堆積如下圖所示.第一層1個(gè),第二層3個(gè),第三層6個(gè),……,第10層有______個(gè)立方體。答案：55。解析：第一層有1個(gè)；第二層有1+2=3個(gè)；第三層有1+2+3=6個(gè)；……第十層有1+2+3+…+10==55(個(gè))。（二）解答題8.如下圖,三角形每邊2等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形有1個(gè);每邊4等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形有6個(gè);每邊10等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形有幾個(gè)?20等分呢?答案：三角形每邊二、三、四等分后,每排所產(chǎn)生的頂角向下的小三角形的個(gè)數(shù)是1,2,3。同樣,三角形每邊10等分時(shí),頂角向下的小三角形有1+2+3+…+9==45(個(gè))。三角形每邊20等分后,產(chǎn)生的頂角向下的小三角形有1+2+3+…+19==190(個(gè))。9.求1991個(gè)自然數(shù),其中一個(gè)是1991,使它們的倒數(shù)之和恰好為1(這些自然數(shù)不都相同)。答案：因?yàn)?++…+=1-+-+-+…+-=1-。所以+++…++=1。1×2,2×3,3×4,…,1990×1991和1991這1991個(gè)自然數(shù)滿足要求。10.求值:答案：1+4+7+10+13+16=(1+4+7+10+13+16)+(+++++)=+(-+-+…+-)×=51+(-)×=51。十三數(shù)列的分組（一）填空題1.在下面的一列數(shù)中,只有一個(gè)九位數(shù),它是______。1234,5678,9101112,13141516,……答案：979899100。解析：按照自然數(shù)從小到大的順序,每四個(gè)數(shù)構(gòu)成一數(shù)。九位數(shù)只能由三個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)構(gòu)成,所以這個(gè)九位數(shù)是979899100。12345678910111213141516××××××××××××答案：101。解析：由12=8+4,4正好是8所在的行數(shù)值,則必須求出88所在行數(shù)值。根據(jù)每行尾數(shù)的排列規(guī)律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,可知88所在行數(shù)應(yīng)是第13行。因此,在88的正下方的數(shù)是88+13=101。1996。提示:從左至右每四個(gè)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果都是4。4.下面是一列有規(guī)律排列的數(shù)組:(1,,);(,,),(,,);……;第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)分?jǐn)?shù)分母的和是______。答案：600提示:第組中間的分?jǐn)?shù)的分母是2,則第組內(nèi)三個(gè)分?jǐn)?shù)分母之和是(2-1)+2+(2+1)=6。5.(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,則第100個(gè)括號內(nèi)的各數(shù)之和為______。答案：1992。解析：每4個(gè)括號為一個(gè)大組,前100個(gè)括號共25個(gè)大組,包含25×(1+2+3+4)=250個(gè)數(shù),正好是從3開始的250個(gè)連續(xù)奇數(shù)。因此第100個(gè)括號內(nèi)的最后一個(gè)數(shù)是2×250+1=501,故第100個(gè)括號內(nèi)的各數(shù)之和為501+499+497+495=1992。6.一列數(shù):1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然數(shù)出現(xiàn)次.那么,這列數(shù)中的第1999個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是______。答案：3。解析：自然數(shù)出現(xiàn)了次,這個(gè)中的最后一個(gè)數(shù)位于這列數(shù)中的第(1+2+…+=(+1)個(gè)數(shù)。又因?yàn)?。因?這列數(shù)中的第1999個(gè)數(shù)是63,它除以5的余數(shù)是3。7.如數(shù)表:第1行12345……1415第2行3029282726……1716第3行3132333435……4445………第行……第+1行……第行有一個(gè)數(shù),它的下一行(第+1行)有一個(gè)數(shù),且和在同一豎列.如果+=391,那么=______。答案：13。解析：觀察數(shù)表排列規(guī)律知,相鄰兩行(第行與第+1行)十五組相應(yīng)兩數(shù)的和值均相等,其和為30+1。由30+1=391得=13。11.假設(shè)將自然數(shù)如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……再將順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組去掉,則剩下的前個(gè)數(shù)組之和恒為4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34。答案：從第一組開始的前19個(gè)數(shù)組,共包含1+2+3+…+19==190個(gè)數(shù),這些數(shù)的和為1+2+3+…+190==18145。其中順序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)組有[]+1=10組,這10個(gè)數(shù)組所有數(shù)的和為104=10000,因此其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和為18145-10000=8145。今有從第一組開始的前19個(gè)數(shù)組,求其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和。12.1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…其中1,1,2,2,3,3這六個(gè)數(shù)字按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn),問:第100個(gè)數(shù)是什么數(shù)?把第一個(gè)數(shù)至第52個(gè)數(shù)全部加起來,和是多少?從第一個(gè)數(shù)起,順次加起來,如果和為304,那么共有多少個(gè)數(shù)字相加?答案：(1)因?yàn)?00÷6=16……4,所以第100個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同,為2。(2)因?yàn)?2÷6=8……4,所以第1個(gè)數(shù)至第52個(gè)數(shù)的和為(1+1+2+2+3+3)×8+(1+1+2+2)=102。(3)因?yàn)?+1+2+2+3+3=12,304÷12=25……4,又1+1+2=4,所以從第一個(gè)數(shù)起,順次相切,共加到第25×6+3=153個(gè)數(shù),其總和才恰為304。10.數(shù)1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:123…100101102103…200……………990199029903…10000任取其中一數(shù),并劃去該數(shù)所在的行與列。這樣做了100次以后,求所取出的100個(gè)數(shù)的和。答案：…,第100行每個(gè)數(shù)減去9900,我們就得到一個(gè)各行都是1,2,…,100的數(shù)表。十四相遇問題（一）填空題1.兩列對開的火車途中相遇,甲車上的乘客從看到乙車到乙車從旁邊開過去,共用6秒鐘。已知甲車每小時(shí)行45千米,乙車每小時(shí)行36千米,乙車全長_____米。答案：135。解析：根據(jù)相向而行問題可知乙車的車長是兩車相對交叉6秒鐘所行路之和。所以乙車全長(45000+36000)××6=81000×=135(米)。2.甲、乙兩地間的路程是600千米,上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地.貨車以平均每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地.要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇,貨車必須在上午______點(diǎn)出發(fā)。答案：7。解析：根據(jù)中點(diǎn)相遇的條件,可知兩車各行600×=300(千米).其間客車要行300÷60=5(小時(shí));貨車要行300÷50=6(小時(shí)).所以,要使兩車同時(shí)到達(dá)全程的中點(diǎn),貨車要提前一小時(shí)出發(fā),即必須在上午7點(diǎn)出發(fā)。3.甲乙兩地相距450千米,快慢兩列火車同時(shí)從兩地相向開出,3小時(shí)后兩車在距中點(diǎn)12千米處相遇,快車每小時(shí)比慢車每小時(shí)快______千米。答案：8。解析：快車和慢車同時(shí)從兩地相向開出,3小時(shí)后兩車距中點(diǎn)12米處相遇,由此可見快車3小時(shí)比慢車多行12×2=24(千米)。所以,快車每小時(shí)比慢車快24÷3=8(千米)。4.甲乙兩站相距360千米，客車和貨車同時(shí)從甲站出發(fā)駛向乙站,客車每小時(shí)行60千米,貨車每小時(shí)行40千米,客車到達(dá)乙站后停留0.5小時(shí),又以原速返回甲站,兩車對面相遇的地點(diǎn)離乙站______千米。答案：60。解析：利用圖解法,借助線段圖(下圖)進(jìn)行直觀分析。解法一客車從甲站行至乙站需要360÷60=6(小時(shí))。客車在乙站停留0.5小時(shí)后開始返回甲站時(shí),貨車行了40×(6+0.5)=260(千米)。貨車此時(shí)距乙站還有360-260=100(千米)。貨車?yán)^續(xù)前行,客車返回甲站(化為相遇問題)“相遇時(shí)間”為100÷(60+40)=1(小時(shí))。所以,相遇點(diǎn)離乙站60×1=60(千米)。解法二假設(shè)客車到達(dá)乙站后不停,而是繼續(xù)向前行駛(0.5÷2)=0.25小時(shí)后返回,那么兩車行駛路程之和為360×2+60×0.5=750(千米) 兩車相遇時(shí)貨車行駛的時(shí)間為750÷(40+60)=7.5(小時(shí)) 所以兩車相遇時(shí)貨車的行程為40×7.5=300(千米) 故兩車相遇的地點(diǎn)離乙站360-300=60(千米)。5.列車通過250米長的隧道用25秒,通過210米長的隧道用23秒,又知列車的前方有一輛與它行駛方向相同的貨車,貨車車身長320米,速度為每秒17米,列車與貨車從相遇到離開需______秒。答案：190。解析：列車速度為(250-210)÷(25-23)=20(米/秒).列車車身長為20×25-250=250(米)。列車與貨車從相遇到離開需(250+320)÷(20-17)=190(秒)。6.小冬從甲地向乙地走,小青同時(shí)從乙地向甲地走,當(dāng)各自到達(dá)終點(diǎn)后,又立刻返回,行走過程中,各自速度不變,兩人第一次相遇在距甲地40米處,第二次相遇在距乙地15米處。甲、乙兩地的距離是______米。答案：105。解析：根據(jù)題意,作線段圖如下:根據(jù)相向行程問題的特點(diǎn),小冬與小青第一次相遇時(shí),兩人所行路程之和恰是甲、乙之間的路程。由第一次相遇到第二次相遇時(shí),兩人所行路程是兩個(gè)甲、乙間的路程.因各自速度不變,故這時(shí)兩人行的路程都是從出發(fā)到第一次相遇所行路的2倍。根據(jù)第一次相遇點(diǎn)離甲地40米,可知小冬行了40米,從第一次到第二次相遇小冬所行路程為40×2=80(米)。因此,從出發(fā)到第二次相遇,小冬共行了40+80=120(米)。由圖示可知,甲、乙兩地的距離為120-15=105(米)。7.甲、乙二人分別從兩地同時(shí)相向而行,乙的速度是甲的速度的,二人相遇后繼續(xù)行進(jìn),甲到地、乙到地后都立即返回.已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)是20千米,那么兩地相距______千米。答案：50。解析：因?yàn)橐业乃俣仁羌椎乃俣鹊?所以第一次相遇時(shí),乙走了兩地距離的(甲走了),即相遇點(diǎn)距地個(gè)單程。因?yàn)榈谝淮蜗嘤鰞扇斯沧吡艘粋€(gè)單程,第二次相遇共走了三個(gè)單程,所以第二次相遇乙走了×3=(個(gè))單程,即相遇點(diǎn)距地個(gè)單程(見下圖)?？梢钥闯?兩次相遇地點(diǎn)相距1--=(個(gè))單程,所以兩地相距20÷=50(千米)。（二）解答題8.甲、乙兩地相距352千米.甲、乙兩汽車從甲、乙兩地對開.甲車每小時(shí)行36千米,乙車每小時(shí)行44千米.乙車因事,在甲車開出32千米后才出發(fā).兩車從各自出發(fā)起到相遇時(shí),哪輛汽車走的路程多?多多少千米? (352-32)÷(36+44)=4(小時(shí)) 所以,甲車所行距離為36×4+32=176(千米) 乙車所行距離為 44×4=176(千米)故甲、乙兩車所行距離相等。 注:這里的巧妙之處在于將不是同時(shí)出發(fā)的問題,通過將甲車從開出32千米后算起,化為同時(shí)出發(fā)的問題,從而利用相遇問題的基本關(guān)系求出“相遇時(shí)間”。9.甲、乙兩車從兩城市對開,已知甲車的速度是乙車的。甲車先從城開55千米后,乙車才從城出發(fā)。兩車相遇時(shí),甲車比乙車多行駛30千米。試求兩城市之間的距離。答案：從乙車出發(fā)到兩車相遇,甲車比乙車少行55-30=25(千米)。25千米是乙車行的1-,所以乙車行了25÷=150(千米)。兩城市的距離為150×2+30=330(千米)。10.一條單線鐵路線上有五個(gè)車站,它們之間的路程如下圖所示(單位:千米)。兩列火車從相向?qū)﹂_,車先開了3分鐘,每小時(shí)行60千米,車每小時(shí)行50千米,兩車在車站上才能停車,互相讓道、錯(cuò)車.兩車應(yīng)該安排在哪一個(gè)車站會車(相遇),才能使停車等候的時(shí)間最短,先到的火車至少要停車多長時(shí)間?答案：若兩車都不停車,則將在距站165(千米)處相撞,正好位于與的中點(diǎn).所以,站等候,與車在站等候,等候的時(shí)間相等,都是車各行5千米的時(shí)間和,(時(shí))=11分。十五追及問題（一）填空題1．當(dāng)甲在60米賽跑中沖過終點(diǎn)線時(shí)，比乙領(lǐng)先10米、比丙領(lǐng)先20米，如果乙和丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點(diǎn)，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)將比丙領(lǐng)先米。答案：12。解析：解法一依題意,畫出線段圖如下:······丙乙甲起點(diǎn)102030405060在同樣時(shí)間內(nèi),甲跑60米,乙跑50米,丙跑40米,也就是在相同單位時(shí)間內(nèi)甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米。所以,由上圖看出,當(dāng)乙跑10米到達(dá)終點(diǎn)時(shí),丙又跑了8米,此時(shí)丙距終點(diǎn)60-40-8=12(米)。解法二相同時(shí)間內(nèi),乙跑50米,丙跑40米,所以丙速是乙速的.因此當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí),丙的行程為60=48(米)，此時(shí)丙距終點(diǎn)60-48=12(米)。解法三由于乙、丙兩人速度不變,又丙與乙在第一段時(shí)間內(nèi)的路程差(50-40)=10米是乙的路程的1050=,所以當(dāng)乙跑完后10米時(shí),丙在第二段時(shí)間與乙的路程差為10=2(米)兩次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙領(lǐng)先的路程。2.一只兔子奔跑時(shí),每一步都跑0.5米；一只狗奔跑時(shí),每一步都跑1.5米.狗跑一步時(shí),兔子能跑三步.如果讓狗和兔子在100米跑道上賽跑,那么獲勝的一定是。答案：兔子。解析：從題面上看,狗和兔子的速度是一樣的,但因?yàn)楫?dāng)狗跑了66步后,狗共跑了99米,剩下1米,這時(shí)它也得再花一步的時(shí)間,這相當(dāng)于狗要往反100.5米,而當(dāng)狗跑了66步后,兔子跑了(366)=198步,再花2步的時(shí)間,即到達(dá)終點(diǎn)。所以狗較慢.兔子一定獲勝。3.騎車人以每分鐘300米的速度,從102路電車始發(fā)站出發(fā),沿102路電車線前進(jìn),騎車人離開出發(fā)地2100米時(shí),一輛102路電車開出了始發(fā)站,這輛電車每分鐘行500米,行5分鐘到達(dá)一站并停車1分鐘。那么需要分鐘,電車追上騎車人。答案：15.5。解析：電車追及距離為2100米.電車每分鐘行500米,騎車人每分鐘行300米,1分鐘追上(500-300)=200米,追上2100米要用(2100200)=10.5(分鐘).但電車行10.5分鐘要停兩站,共花(12)=2分鐘,電車停2分鐘,騎車人又要前行(3002)=600米,電車追上這600米,又要多用(600200)=3分鐘.所以,電車追上騎車人共要用10.5+2+3=15.5(分鐘)。4.亮亮從家步行去學(xué)校,每小時(shí)走5千米.回家時(shí),騎自行車,每小時(shí)走13千米.騎自行車比步行的時(shí)間少4小時(shí),亮亮家到學(xué)校的距離是。答案：32.5。解析：此題可看成同向而行問題:有兩人從亮亮家出發(fā)去學(xué)校，一人步行,每小時(shí)走5千米；一人騎自行車,每小時(shí)行13千米。那么,當(dāng)騎自行車的人到學(xué)校時(shí),步行的人離學(xué)校還有(騎車人比步行人早到4小時(shí)):54=20(千米)，又騎車比步行每小時(shí)快13-5=8(千米)，所以,亮亮家到學(xué)校的距離是(208)13=32.5(千米)。5.從時(shí)針指向4點(diǎn)開始,再經(jīng)過分鐘,時(shí)鐘與分針第一次重合。答案：21。解析：設(shè)鐘面一周的長度為1,則在4點(diǎn)時(shí),分針落后于時(shí)針是鐘面周長的=；同時(shí)分鐘和時(shí)針的速度之差為鐘面周長的，由追及問題的基本關(guān)系知,兩針第一次重合需要(分鐘)。6.甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)