結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章計(jì)算超靜定梁結(jié)構(gòu)力學(xué)演示文稿

結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章計(jì)算超靜定梁結(jié)構(gòu)力學(xué)演示文稿目前一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)（優(yōu)選）結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章計(jì)算超靜定梁結(jié)構(gòu)力學(xué)目前二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

求解任何超靜定結(jié)構(gòu)，都要考慮三個方面的條件：

（1）平衡條件；（2）幾何條件（變形條件或位移條件）；（3）物理?xiàng)l件。力法和位移法是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的兩種基本方法。力法是以多余聯(lián)系的約束力——多余未知力作未知量,位移法則是以結(jié)點(diǎn)的某些位移作為基本未知量。計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)除上述兩種方法外,常用的還有力矩分配法、有限單元法等。2．求解超靜定結(jié)構(gòu)要考慮的條件目前三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

超靜定結(jié)構(gòu)多余聯(lián)系的數(shù)目稱為該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù),并用表示。多余聯(lián)系中的力稱為多余未知力。圖7-2§7-2超靜定次數(shù)的確定

1．超靜定次數(shù)目前四頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

力法計(jì)算時,首先要判斷結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。一般常用去掉多余聯(lián)系使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行。去掉多余聯(lián)系的方式常用以下幾種：（1）切斷一根鏈桿或去掉一個支座鏈桿相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖7-2(a)、(b)所示。（2）去掉一個單鉸相當(dāng)于去掉兩個聯(lián)系，如圖7-2(c)所示。（3）切斷一根受彎桿件相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系，如圖7-2(d)所示。（4）將受彎桿件的剛性聯(lián)結(jié)改為鉸結(jié)或?qū)⒐潭ㄖё臑楣潭ㄣq支座,相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖7-2(e)、(f)所示。（5）一個封閉無鉸的框格,其超靜定次數(shù)等于3，見圖7-2(d)所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)有f個封閉無鉸框格時,其超靜定次數(shù)為3f。當(dāng)結(jié)構(gòu)有若干個鉸結(jié)點(diǎn)時，設(shè)單鉸數(shù)目為h，則超靜定次數(shù)n=3f-h。2．超靜定次數(shù)的確定目前五頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

去掉多余約束后,則必須用與其對應(yīng)的約束力代替其作用,這個約束力用廣義力表示,其中=1,2,3,……。圖7-2(b)、(c)、(d)、(e)所去掉的約束均為限制切口兩側(cè)截面的相對位移,故對應(yīng)的約束力應(yīng)為一對大小相等方向相反的多余未知力。對于同一個超靜定結(jié)構(gòu),其超靜定次數(shù)是一個定值,但哪些聯(lián)系可以當(dāng)作多余聯(lián)系卻有多種方案,總的原則必須是保證在去掉多余約束后得到的是一個靜定的幾何不變的結(jié)構(gòu)。圖7-3(a)所示結(jié)構(gòu)=1,把A或B支座處水平鏈桿當(dāng)作多余聯(lián)系,去掉它們均可得到一個靜定的結(jié)構(gòu)，見圖7-3(b)、(c)。但若將A或B支座處的豎向鏈桿去掉,則圖7-3(d)就成為一個幾何可變體系,這是因?yàn)樯鲜鲐Q向鏈桿不是多余約束。圖7-3目前六頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)以簡單例子來說明力法的基本概念。圖7-4(a)所示的連續(xù)梁超靜定次數(shù)=1。若將B支座鏈桿當(dāng)作多余聯(lián)系而去掉，代圖7-4之以多余未知力X1，得到圖7-4(b)所示基本結(jié)構(gòu)。在力法中把原超靜定結(jié)構(gòu)稱為原結(jié)構(gòu)，去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)稱為基本結(jié)構(gòu)。所去掉的多余聯(lián)系，則以相應(yīng)的多余未知力X1來代替。

圖7-4

§7-3力法的基本概念目前七頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)這樣，基本結(jié)構(gòu)就同時承受著荷載和多余未知力X1的作用，基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余未知力X1共同作用下的體系稱為力法的基本體系?，F(xiàn)在分析一下如何計(jì)算X1。對原結(jié)構(gòu)講它代表B支座反力，是一個被動力，而對基本結(jié)構(gòu)來講它是一個主動力，只要給X1任意值(保證結(jié)構(gòu)不被破壞為前提)，則荷載q、X1及A、C支座反力都能構(gòu)成一組平衡力系，為了確定多余未知力，則必須考慮基本結(jié)構(gòu)在X1作用點(diǎn)處的變形條件。由于基本結(jié)構(gòu)在受力與變形兩方面同原結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，本例中原結(jié)構(gòu)在B支座處無豎向線位移，因此基本結(jié)構(gòu)在X1、q共同作用下B處的豎向線位移也必須等于零。這一變形協(xié)調(diào)條件可用公式表達(dá)如下：

Δ1=0(a)目前八頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)等式左端表示基本結(jié)構(gòu)在作用點(diǎn)的豎向線位移(沿方向的位移)，等號右端表示原結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)的豎向線位移。設(shè)、分別表示基本結(jié)構(gòu)在及荷載單獨(dú)作用時，作用點(diǎn)沿方向的位移，其符號都以沿假定的方向?yàn)檎?，見圖7-4(c)、(d)，根據(jù)疊加原理，變形協(xié)調(diào)條件式(a)可寫為(b)若用表示當(dāng)=1時B點(diǎn)的豎向線位移，則，于是(b)式又可寫為：(7-1)式中的及均為靜定結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，完全可用第六章所學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，則多余未知力即為(c)基本結(jié)構(gòu)在及荷載共同作用下的支座反力、內(nèi)力均可利用靜力平衡方程得到。等式左端表示基本結(jié)構(gòu)在作用點(diǎn)的豎向線位移(沿方向的位移)，等號右端表示原結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)的豎向線位移。設(shè)、分別表示基本結(jié)構(gòu)在及荷載單獨(dú)作用時，作用點(diǎn)沿方向的位移，其符號都以沿假定的方向?yàn)檎?，見圖7-4(c)、(d)，根據(jù)疊加原理，變形協(xié)調(diào)條件式(a)可寫為(b)若用表示當(dāng)=1時B點(diǎn)的豎向線位移，則，于是(b)式又可寫為：(7-1)式中的及均為靜定結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，完全可用第六章所學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，則多余未知力即為(c)基本結(jié)構(gòu)在及荷載共同作用下的支座反力、內(nèi)力均可利用靜力平衡方程得到。目前九頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

由前面分析可知，基本結(jié)構(gòu)的反力、內(nèi)力也就是原結(jié)構(gòu)的反力、內(nèi)力。這種在基本結(jié)構(gòu)上利用變形協(xié)調(diào)條件首先求出多余未知力，然后再根據(jù)平衡條件求出全部反力及內(nèi)力的計(jì)算方法，稱為力法，式(7-1)稱為力法方程。

力法的基本特點(diǎn)可歸納如下：

1.以多余未知力(被撤消多余聯(lián)系處的約束力)為基本未知量。2.根據(jù)所去掉的多余聯(lián)系處的變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程，從而求出多余未知力。3.根據(jù)平衡條件求出全部反力及內(nèi)力。4.一切計(jì)算均在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行。目前十頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)例7-1用力法計(jì)算圖7-5(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力。EI為常量。

解：(1)n=1。(2)選圖7-5(b)為基本結(jié)構(gòu)。(3)列力法方程。

(4)求、。利用圖乘法求、，為此應(yīng)分別畫出基本結(jié)構(gòu)在=1及荷載P作用下彎矩圖圖、圖，如圖7-5(c)、(d)所示。圖7-5目前十一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)由于虛擬狀態(tài)的圖與圖相同，故

(5)解力法方程。所得正號說明X1的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同。

目前十二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

(6)繪內(nèi)力圖。由于在整個力法的解題過程中，已繪出圖及MP圖，則最后彎矩圖即可利用疊加原理得到。而剪力圖則可根據(jù)靜力平衡條件求得，如圖7-5(e)、(f)所示。上例若選圖7-6為基本結(jié)構(gòu)，仍可得到與圖7-5(e)、(f)完全相同的內(nèi)力圖，只是此時的(逆時針轉(zhuǎn))表示MA值。圖7-6

目前十三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

圖7-7(a)所示結(jié)構(gòu)=3，若選圖7-7(b)所示懸臂剛架為基本結(jié)構(gòu)，用X1、X2、X3分別表示與原結(jié)構(gòu)對應(yīng)的B支座處的三個支座反力，利用變形協(xié)調(diào)條件Δ1=0、Δ2=0、Δ3=0，可得到(a)式中δ11、δ21、δ31分別表示基本結(jié)構(gòu)在=1單獨(dú)作用時截面沿X1、X2、X3方向的位移，δ12、δ22、δ32分別表示基本結(jié)構(gòu)在=1單獨(dú)作用時B截面沿X1、X2、X3方向

§7-4力法的典型方程

1.力法的典型方程目前十四頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)的位移，δ13、δ23、δ33及Δ1p、Δ2p、Δ3p分別表示基本結(jié)構(gòu)在=1及荷載單獨(dú)作用時B截面沿X1、X2、X3方向的位移，如圖7-7(c)、(d)、(e)、(f)所示。本例原結(jié)構(gòu)在B支座處無任何方向的支座移動，故(a)式等號右端均為零。圖7-7目前十五頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)由上述分析，可推論對n次超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時，其多余求知力有n個，對應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件也為n個，從而可列出n個線性方程

基本結(jié)構(gòu)在全部多余未知力及荷載共同作用下，在去掉各多余聯(lián)系處沿各多余未知力方向上的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。

………（7-2）

2.力法典型方程的物理意義目前十六頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)式(7-2)中系數(shù)δii(=1,2,3,…n)表示基本結(jié)構(gòu)由=1引起的在Xi方向的位移，稱為主系數(shù)，其值永為正。其余的系數(shù)δij(i≠j)(j=1,2,3,…n)表示基本結(jié)構(gòu)由=1引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移，稱為副系數(shù)，其值可能為正也可能為負(fù)或者為零，并根據(jù)位移互等定理有δij=δji。

Δip表示基本結(jié)構(gòu)由荷載引起的在Xi作用點(diǎn)沿Xi方向的位移，稱為自由項(xiàng)，其值可能為正或負(fù)或零。由于式(15-2)在組成上具有一定的規(guī)律，故稱它為力法的典型方程。目前十七頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)典型方程中的系數(shù)及自由項(xiàng)的計(jì)算公式：對于受彎桿件：

對于桁架中的桿件：當(dāng)由式(7-2)解出多余未知力X1、X2、……Xn后，最后彎矩圖可根據(jù)疊加而得。桁架中各桿的軸力可用而得。

目前十八頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

(1)判斷超靜定次數(shù)n。(2)去掉原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系，代之以多余未知力，得到一個靜定結(jié)構(gòu)——基本結(jié)構(gòu)。(3)根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立力法典型方程。(4)繪、MP圖(二力桿應(yīng)求出、FNP值)，按照靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法，計(jì)算典型方程中所有系數(shù)及自由項(xiàng)。(5)解典型方程，求出多余未知力。(6)按靜定結(jié)構(gòu)分析方法，用疊加法或平衡條件求出原結(jié)構(gòu)各桿內(nèi)力。

§7-5力法的計(jì)算步驟和示例

1.力法的計(jì)算步驟2.舉例下面用一個例題進(jìn)一步說明力法的具體計(jì)算。目前十九頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)例7-2用力法計(jì)算圖7-8(a)所示的剛架的內(nèi)力，E為常量。圖7-8目前二十頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)解：(1)n=2。(2)選基本結(jié)構(gòu)如圖7-8(b)所示。(3)列力法典型方程。(4)繪、、MP圖，如圖7-8(c)、(d)、(e)所示。計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。

目前二十一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)（5）解力法方程，求解X1、X2值。

（順時針轉(zhuǎn)）(6)繪內(nèi)力圖。其中，見圖7-8(f)所示。剪力圖及軸力圖利用平衡條件分別求出各桿的桿端剪力及軸力，然后按第三章介紹的方法繪出FS、FN圖，并注明正負(fù)號，如圖7-8(g)、(h)所示。由于力法計(jì)算比較繁瑣，圖也較多，故作題時每個圖必須注明圖名，作題步驟也應(yīng)按一定格式寫出。

目前二十二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)§7-6對稱性的利用在力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，計(jì)算工作量也愈大，而其中大量工作是用于系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算，由于副系數(shù)及自由項(xiàng)可能為正也可能為負(fù)或零，因此在選取基本結(jié)構(gòu)時，就應(yīng)選擇能使盡可能多的副系數(shù)及自由項(xiàng)為零的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)(其中副系數(shù)可以全部為零，但自由項(xiàng)決不會全部為零)，以達(dá)到簡化計(jì)算的目的。工程結(jié)構(gòu)中有很多結(jié)構(gòu)是對稱的，利用其對稱性可簡化計(jì)算。所謂“對稱結(jié)構(gòu)”是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承條件、剛度等均對稱同一軸線。在選取基本結(jié)構(gòu)時，也應(yīng)選取對稱的靜定結(jié)構(gòu)。1.選取對稱的基本結(jié)構(gòu)目前二十三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)圖7-9由圖7-9可以看出，圖與圖為正對稱圖形，圖為反對稱圖形，目前二十四頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)則力法方程

(a)式中δ13=δ31=0,δ23=δ32=0，于是(a)式就簡化為(b)式中前兩式為一組二元一次聯(lián)立方程式，只包含正對稱的未知力X1和X2；第三式則為一元一次方程式，只包含反對稱的未知力。總的計(jì)算工作量就少多了。這種對稱的原結(jié)構(gòu)仍選對稱的基本結(jié)構(gòu)也適用于其它結(jié)構(gòu)的計(jì)算，如桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)等。

(a)

(b)

目前二十五頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

2.當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受一般荷載時，可將荷載分為正對稱與反對稱荷載如圖7-10(a)、(b)、(c)所示，分別計(jì)算上述兩組荷載作用下的內(nèi)力，然后進(jìn)行疊加，即得原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，這種措施可使部分自由項(xiàng)為零。圖7-10目前二十六頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)(1)在正對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)仍是將對稱軸處截面C切開，撤消限制兩側(cè)截面水平、豎直方向相對線位移及相對角位移的約束，代之以相應(yīng)的多余未知力，如圖7-10(d)所示。其、、圖同圖7-9所示，MP圖如圖7-10(e)所示是一個正對稱圖形，故Δ3P=0，對應(yīng)的力法方程為(2)在反對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)及MP圖如圖7-10(f)、(g)所示，MP圖是一個反對稱圖形，則Δ1P=0、Δ2P=0，對應(yīng)的力法方程為

(c)則

(d)

目前二十七頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)由以上分析可知，對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，對稱軸處截面只有正對稱的多余未知力，其內(nèi)力和位移都是正對稱的；在反對稱荷載作用下，對稱軸處截面只有反對稱的多余未知力，其內(nèi)力和位移都是反對稱的，這一結(jié)論在計(jì)算時可直接引用。

例7-3用力法計(jì)算，繪圖7-11(a)所示剛架的M圖。解：這是一個對稱結(jié)構(gòu)，為四次超靜定。取圖7-11(b)所示對稱的基本體系。由于荷載是反對稱的，故可知正對稱的多余未知力皆為零，而只有反對稱的多余未知力X1，從而使典型方程大為簡化，僅相當(dāng)于求解一次超靜定的問題。分別作出、MP圖見圖7-11(c)、(d)所示，由圖乘法可得

目前二十八頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)代入典型方程可解得多余未知力X1

最后M圖應(yīng)為，如圖7-11(e)所示。圖7-11目前二十九頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

3.取部分結(jié)構(gòu)計(jì)算利用結(jié)構(gòu)的對稱性，還可以取部分結(jié)構(gòu)作為計(jì)算簡圖，從而降低超靜定次數(shù)，同樣可達(dá)到簡化計(jì)算的目的。該方法的前提條件是荷載必須是對稱的，現(xiàn)分述如下：圖7-12

目前三十頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)在正對稱荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形為正對稱，當(dāng)結(jié)構(gòu)為奇數(shù)跨時如圖7-12(a)所示，在對稱軸上的C截面只有正對稱位移(豎向線位移)，而無反對稱的位移(水平線位移及角位移)，于是可取半個結(jié)構(gòu)而在C截面處加一定向支座來模擬原結(jié)構(gòu)的變形，這樣得到的計(jì)算簡圖圖7-12(b)比圖7-12(a)降低了超靜定次數(shù)。當(dāng)結(jié)構(gòu)為偶數(shù)跨時如圖7-12(e)所示，若忽略了各桿的軸向變形，且CD桿除受軸力外，彎矩及剪力均為零，則C截面無任何方向的位移，故取半個結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時，C截面處可用固定支座來模擬原結(jié)構(gòu)的變形，計(jì)算簡圖如圖7-12(f)所示。目前三十一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)在反對稱荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形為反對稱，當(dāng)結(jié)構(gòu)為奇數(shù)跨時如圖7-12(c)所示，對稱軸上C截面不可能產(chǎn)生豎向線位移，而只有水平線位移及轉(zhuǎn)角，取半個結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時，C截面應(yīng)加上活動鉸支座如圖7-12(d)所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)為偶數(shù)跨時如圖7-12(g)所示，在C截面只有反對稱的內(nèi)力——剪力作用，可設(shè)想用圖7-12(h)代替，由于FSC對原來結(jié)構(gòu)彎矩?zé)o影響，故可取圖7-12(i)作為計(jì)算簡圖。由以上分析可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)只有一個對稱軸時，不論荷載為正或反對稱，均可取1/2結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，同理可得當(dāng)結(jié)構(gòu)有兩個對稱軸時，可取1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，最后內(nèi)力圖必須根據(jù)對稱性得出。目前三十二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)例7-4計(jì)算圖7-13(a)所示圓環(huán)的彎矩圖。EI=常數(shù)。解：由于該結(jié)構(gòu)及荷載有兩個對稱軸，故可取1/4進(jìn)行分析，計(jì)算簡圖如圖7-13(b)所示。(1)n=1。(2)選基本結(jié)構(gòu)如圖7-13(c)所示。(3)列力法方程。圖7-13目前三十三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)(4)計(jì)算δ11、Δ1p。取極坐標(biāo)γ、φ，計(jì)算位移時只考慮彎矩影響，忽略軸力、剪力及曲率的影響。

(5)解力法方程。

(6)繪M圖。，然后根據(jù)對稱性繪出圖7-13(a)所示結(jié)構(gòu)的M圖，見圖7-13(f)。(7)校核。

證明M計(jì)算正確。

目前三十四頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)由于基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)在受力與變形兩方面完全一致，故原結(jié)構(gòu)的變形也同樣可以用求基本結(jié)構(gòu)的位移來代替。當(dāng)多余未知力求出后，基本結(jié)構(gòu)在荷載及多余未知力共同作用下的位移計(jì)算就屬于靜定結(jié)構(gòu)求位移的問題。例7-2中欲求C截面的水平線位移，其“實(shí)際狀態(tài)”M圖已求出見圖7-14(a)，“虛擬狀態(tài)”及圖如圖7-14(b)所示。由于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力并不因所選基本結(jié)構(gòu)的不同而不同，因此在求原結(jié)構(gòu)的位移時，應(yīng)選擇能產(chǎn)生最簡單的M圖的基本結(jié)構(gòu)作為虛擬狀態(tài)?！?-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算目前三十五頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)本例中若選圖7-14(c)所示懸臂剛架作為虛擬狀態(tài)，則C截面水平位移的計(jì)算就簡單多了。具體計(jì)算如下圖7-14

綜上所述，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟是：（1）解算超靜定結(jié)構(gòu)，求出最后內(nèi)力，此為實(shí)際狀態(tài)。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，加上單位力求出虛擬狀態(tài)的內(nèi)力。（3）按位移計(jì)算公式或圖乘法計(jì)算所求位移。目前三十六頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)最后內(nèi)力圖的校核一般從平衡條件與變形條件兩個方面進(jìn)行校核。下面仍用例7-2來說明校核的步驟。

1.平衡條件的校核從結(jié)構(gòu)中任取一部分為隔離體，均應(yīng)滿足平衡條件。常用的作法是取剛結(jié)點(diǎn)或各桿為隔離體，如圖7-15(a)、(b)所示分別取B、C兩結(jié)點(diǎn)為隔離體，各力必須滿足ΣFx=0、ΣFy=0、ΣM=0。圖7-15§7-8最后內(nèi)力圖的校核目前三十七頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)但當(dāng)多余未知力計(jì)算有誤時，單用平衡條件是無法查出錯誤的。如本例中若求出、，利用得到的M圖如圖7-15(c)所示仍滿足上述平衡條件，這是因?yàn)閳D、圖、圖本身已滿足平衡條件，在疊加時只不過將它們之中的兩個圖、放大(或縮小)若干倍，得到的圖當(dāng)然仍滿足平衡條件。所以平衡條件的校核只能證明求得多余未知力后，在繪內(nèi)力圖時是否有誤，但無法校核多余未知力的計(jì)算是否正確，為此必須進(jìn)行位移條件的校核。

2.位移條件的校核所謂位移條件校核就是驗(yàn)算一下多余未知力處的位移否與原結(jié)構(gòu)中給定的相應(yīng)位移值相符。目前三十八頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)如校核例7-2中M圖的正確性，可計(jì)算基本結(jié)構(gòu)X1作用點(diǎn)處的水平位移ΔDH，用圖7-8(c)與(f)進(jìn)行圖乘。原結(jié)構(gòu)D截面的水平位移為零，說明最后M圖計(jì)算無誤。上述校核計(jì)算實(shí)質(zhì)是再一次驗(yàn)證變形條件Δ1=0。值得提出注意的是上述計(jì)算的位移必須是已知值，如例7-2中可用A、D支座處的豎直及水平方向的線位移、A支座處角位移或任一截面切開后斷口兩側(cè)截面的相對位移等已知值。

目前三十九頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)為了計(jì)算方便一般不再另設(shè)虛擬狀態(tài)，而用已繪出的圖作為虛擬狀態(tài)的彎矩圖，得到的位移為(或已知值)其中圖的選擇應(yīng)力求各桿均有值，這樣圖乘的結(jié)果比較可靠。如例7-2中若用圖與圖乘，就無法說明M圖中的CD桿的M值是否正確。這是與求某截面未知位移應(yīng)選產(chǎn)生最簡單的圖作為虛擬狀態(tài)不同的原因。由以上位移計(jì)算可以看出，超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，位移與各桿EI的具體值(或稱絕對值)有關(guān)，而內(nèi)力則只與各桿EI的相對值有關(guān)。目前四十頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化的影響下，不但產(chǎn)生變形而且還產(chǎn)生內(nèi)力。用力法解這類問題時，其變形協(xié)調(diào)條件仍是：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力、溫度變化的共同影響下，在多余未知力作用點(diǎn)及其方向上的位移與原結(jié)構(gòu)對應(yīng)的位移相等。圖7-16(a)所示剛架外側(cè)溫度的改變量為，內(nèi)側(cè)溫度的改變量為，用力法計(jì)算時取圖7-16(b)為基本結(jié)構(gòu)，圖7-16§7-9溫度變化時超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

目前四十一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)基本結(jié)構(gòu)，變形條件為Δ1=0,Δ2=0(a)對應(yīng)的力法方程為(b)式中的自由項(xiàng)表示基本結(jié)構(gòu)在溫度變化影響下，在作用點(diǎn)沿方向的位移，可利用(6-12)式得(c)或(d)

典型方程式(b)中的系數(shù)

、或;。

目前四十二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，溫度變化不引起內(nèi)力，所以其內(nèi)力均由多余未知力X1引起，彎矩圖及軸力圖可按下式得到(e)剪力圖可通過平衡條件求出。在位移計(jì)算中，由于基本結(jié)構(gòu)除X1、X2引起變形外，溫度變化也引起變形，故位移計(jì)算公式為或(f)式中表示基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的在虛擬力=1作用點(diǎn)沿方向的位移，仍用(6-12)公式進(jìn)行計(jì)算。

目前四十三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)例7-5用力法計(jì)算圖7-17(a)所示剛架在溫度變化影響下的彎矩圖。各桿、h、EI均為常量，截面對稱于形心軸。

解：(1)n=1。(2)基本結(jié)構(gòu)的選擇如圖7-17(b)所示。(3)列力法方程。(4)計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。圖及圖見圖7-17(c)、(d)。+5℃,Δt=15-(-5)=20℃=5+400=405

目前四十四頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)(5)解方程。(6)繪M圖。見圖7-17(e)

圖7-17目前四十五頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)(7)校核。平衡條件的校核可從圖上直接觀察得到。下面進(jìn)行位移條件的校核。

=-162-243+405=0證明M圖是正確的由以上計(jì)算結(jié)果表明，溫度變化引起的內(nèi)力與桿件的EI成正比，在給定的溫度條件下，截面尺寸愈大內(nèi)力愈大，不像在荷載作用下各桿的內(nèi)力僅與EI的相對值有關(guān)。由溫度變化引起的內(nèi)力還與、h有關(guān)。更值得一提的是，當(dāng)桿件兩側(cè)有溫差Δt時，從M圖上可以看出，桿件的降溫側(cè)出現(xiàn)拉應(yīng)力，升溫一側(cè)出現(xiàn)壓應(yīng)力，這與靜定結(jié)構(gòu)在溫度影響下的變形相反，因此在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中，要特別注意降溫側(cè)出現(xiàn)的裂縫。

目前四十六頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動的影響下，使其產(chǎn)生變形同時也產(chǎn)生內(nèi)力。圖7-18(a)為一超靜定剛架，n=2，支座A處因沉陷產(chǎn)生了支座移動，選基本結(jié)構(gòu)如圖7-18(b)所示，則其變形條件為Δ1=0,Δ2=f(a)圖7-18§7-10支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

目前四十七頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)相應(yīng)的力法方程可寫為(b)(b)式等號右邊表示原結(jié)構(gòu)的位移，是已知值，當(dāng)它的方向與基本結(jié)構(gòu)中對應(yīng)的多余未知力指向相同時取正號，反之取負(fù)號。等號左邊的自由項(xiàng)用公式=-Σ進(jìn)行計(jì)算，表示基本結(jié)構(gòu)由=1所引起的支座反力。下面討論一下，當(dāng)支座發(fā)生移動用力法計(jì)算時，應(yīng)注意的事項(xiàng)：

1.不同的基本結(jié)構(gòu)對力法方程的影響。對應(yīng)于圖7-18(c)

(c)目前四十八頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)對應(yīng)于圖7-18(d)(d)由以上各式可以看出，原結(jié)構(gòu)的支座移動值在列力法方程時，哪些應(yīng)放在等號左邊在求自由項(xiàng)時出現(xiàn)，哪些應(yīng)放在等號右邊作為原結(jié)構(gòu)對應(yīng)的已知位移出現(xiàn)，與所選的基本結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系，作題時應(yīng)認(rèn)真分析，以避免一開始列方程時就出現(xiàn)錯誤。

2.由于基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，在支座移動影響下只產(chǎn)生剛體位移而不產(chǎn)生內(nèi)力，故最后彎矩圖按求得。3.與溫度變化分析相同，位移的計(jì)算應(yīng)為

(e)目前四十九頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)其中表示由虛擬力=1引起的支座反力。同理，對最后M圖進(jìn)行校核時，其變形條件應(yīng)把支座移動所引起的基本結(jié)構(gòu)位移考慮進(jìn)去，如(a)式中第二個變形條件可寫為

(f)(f)式中的表示基本結(jié)構(gòu)中當(dāng)=1時，所引起的支座力。

例7-6求圖7-19(a)所示結(jié)構(gòu)，當(dāng)兩支座發(fā)生位移時的M圖。已知EI=13440kN·m2。解：(1)n=2。(2)選基本結(jié)構(gòu)如圖7-19(b)所示。值得注意的是由于A支座處限制轉(zhuǎn)動的約束未去掉，故相應(yīng)的支座轉(zhuǎn)動應(yīng)保留。(3)列力法方程。

目前五十頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)圖7-19目前五十一頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)

(4)繪、圖如圖7-19(c)、(d)所示，計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。δ11=[2×(1/2×5×5×2/3×5)+5×5×5]=δ12=(-5×5×5/2-1/2×5×5×5)==δ21δ22=(5×5×5+1/2×5×5×2/3×5)=Δ1Δ=0,Δ2Δ=-(5×0.01)=-0.05(5)解方程，求多余未知力X1、X2。X1=-0.5865kN(→)X2=1.1729kN(↑)

目前五十二頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)(6)繪M圖。，如圖7-19(e)所示。(7)校核。=[×(-2×8.7970×5-5.8645)+×(-2×8.7970×5-2×2.9325×5-8.7970×5-2.9325×5)-×2.9325×5××5]-0==-0.02m。說明M圖是正確的。目前五十三頁\總數(shù)六十頁\編于八點(diǎn)在計(jì)算超靜定拱時，必須首先選定拱軸曲線的形狀和截面變化規(guī)律，從力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)則希望所選擇的拱軸曲線與壓力曲線重合，換句話說最好選用合理拱軸作為拱軸曲線，而在超靜定拱中是很難實(shí)現(xiàn)的。這是由于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和剛度EI有關(guān)，所以按預(yù)先假定的拱軸曲線與截面尺寸計(jì)算出的內(nèi)力其彎矩不一定為零，即該拱軸線不是合理拱軸。這樣就必須將拱軸曲線及截面尺寸進(jìn)行反復(fù)修改，直到拱軸曲線與壓