第14講函數(shù)與方程（原卷版）

第14講函數(shù)與方程1．函數(shù)零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)三個等價關(guān)系(3)存在性定理2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點x1，x2x1無考點1判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間[名師點睛]確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理法：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．[典例]1．（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·高三專題練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高三專題練習）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判斷方程的兩根所在的區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和考點2判斷函數(shù)零點的個數(shù)[名師點睛]判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點．(2)利用函數(shù)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)拆分成兩個函數(shù)，畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，原函數(shù)就有幾個不同的零點．[典例]1.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．72.（2022·湖南衡陽·二模）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當時，，已知，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（

）A．4個 B．5個 C．3個或4個 D．4個或5個3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有個1零點；③存在負數(shù)，使得恰有個3零點；④存在正數(shù)，使得恰有個3零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．[舉一反三]1．（2022·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)滿足，且當時，，則函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（

）.A．18個 B．16個 C．14個 D．10個3．（2022·重慶·西南大學附中模擬預(yù)測）函數(shù)滿足，，當時，，則關(guān)于x的方程在上的解的個數(shù)是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013考點3函數(shù)零點的應(yīng)用[名師點睛]1．已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(或不等式)求參數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．2．已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖像，利用圖像寫出滿足條件的參數(shù)范圍．[典例]1．（2022·天津濱海新·高三階段練習）已知函數(shù)若函數(shù)（）恰有個零點，分別為，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）函數(shù)的兩個不同的零點均大于的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個相異的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．，C．， D．，，4．（多選）（2022·湖南岳陽·二模）已知函數(shù)（），，則下列說法正確的是（

）A．當時，函數(shù)有個零點B．當時，若函數(shù)有三個零點，則C．若函數(shù)恰有個零點，則D．若存在實數(shù)使得函數(shù)有個零點，則5．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根、、，且，則（

）A． B．C． D．的取值范圍是6．（多選）（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有5個不同的實根，則實數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C． D．7．（2022·福建南平·三模）已知函數(shù)有零點，則實數(shù)___________.8．（2022·浙江金華·三模）設(shè)．函數(shù)，若，則_________，若只有一個零點，則a取值范圍是_________