江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研（延期）試題（8月）數(shù)學(xué)Word版含答案

蘇州市2021~2022學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷（延期）高一數(shù)學(xué)2022.08一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過已知平面外一點(diǎn)作與垂直的直線的條數(shù)有（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】B【解析】【分析】由平面的基本性質(zhì)判斷垂直于平面的直線條數(shù).【詳解】由過一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線有且只有一條，故平面外一點(diǎn)作與垂直的直線的條數(shù)有1條.故選：B2.下表記錄了蘇州某個(gè)月連續(xù)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）.時(shí)間12345678空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）2028243331353638則這些空氣質(zhì)量指數(shù)的分位數(shù)為（）A.24 B.26 C.28 D.31【答案】B【解析】【分析】把空氣指數(shù)按從小到大順序排列后，計(jì)算出，然后求出第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)的平均值即得．【詳解】空氣指數(shù)的8個(gè)數(shù)從小到大排列為：20，24，28，31，33，35，36，38，又，所以分位數(shù)是．故選：B．3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理整理代入運(yùn)算即可．【詳解】由正弦定理，整理得故選：A．4.平面α與平面β平行的充分條件可以是（）A.α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行B.直線aα，aβ，且直線a不在α與β內(nèi)C.直線，直線，且bα，aβD.α內(nèi)的任何直線都與β平行【答案】D【解析】【分析】由平面基本性質(zhì)，結(jié)合線面、面面間的關(guān)系判斷是否有面面平行即可.【詳解】A：α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行，則面α與面β可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；B：直線aα，aβ，且直線a不在α與β內(nèi)，則面α與面β可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；C：直線，直線，且bα，aβ，則面α與面β可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；D：α內(nèi)任何直線都與β平行，α內(nèi)任取兩條相交的直線平行于β，由面面平行的判定知，正確.故選：D.5.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法，求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?，當(dāng)時(shí)，.故選：A.6.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合題意整理可得，再代入二倍角的正切公式運(yùn)算求解．【詳解】由題意可得：，整理得，即∴故選：C．7.在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得三角形為直角三角，建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求與夾角的余弦即可.【詳解】解：因?yàn)樗?，所?又因?yàn)?所以三角形為直角三角，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則有：,因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以,所以,,所以==.故選：B.8.已知銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面積公式，余弦定理和題干條件得到，結(jié)合正弦定理得到，由為銳角三角形，求出，從而求出，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，整理得：，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以為銳角，所以，即，由，解得：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A【點(diǎn)睛】三角形相關(guān)的邊的取值范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的值域等求出邊的取值范圍，或利用基本不等式進(jìn)行求解.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.定義函數(shù)，則（）A.B.的最小正周期為C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.在上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】先求出，再根據(jù)的周期性、對(duì)稱性與單調(diào)性等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得到答案.【詳解】因?yàn)?所以對(duì)于選項(xiàng)A，,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，因此的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，由，得的單調(diào)遞減區(qū)間為：，因?yàn)?，所以不在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.甲箱中有3個(gè)紅球?3個(gè)黃球，乙箱中有4個(gè)紅球?2個(gè)黃球（12個(gè)球除顏色外，大小?形狀完全相同），先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一個(gè)球，記事件“在甲箱中取出的球是紅球”，事件“在甲箱中取出的球是黃球”，事件“從乙箱中取出的球是紅球”，則（）A.與互斥 B.與獨(dú)立C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的定義判斷AB，求出概率及后判斷CD．【詳解】摸一個(gè)球，紅球與黃球不可能同時(shí)出現(xiàn)，與是互斥事件，A正確；發(fā)生了，則，沒發(fā)生，則，因此發(fā)生與否對(duì)的概率有影響，它們不獨(dú)立，B錯(cuò)；，C正確；，D正確；故選：ACD．11.下列命題中，正確的有（）A.對(duì)于任意向量，都有B.對(duì)于任意復(fù)數(shù)，都有C.存向量，使得D.存在復(fù)數(shù)，使得【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量加法的三角形法則分析判斷；對(duì)于B：將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為向量分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)量積的定義分析判斷；對(duì)于D：利用復(fù)數(shù)的三角表示運(yùn)算判斷．【詳解】對(duì)于A：根據(jù)向量加法的三角形法則易得，當(dāng)且僅當(dāng)同向或有為零向量時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則，根據(jù)向量可得，B正確；對(duì)于C：∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴只要不共線，則成立，C正確；對(duì)于D：設(shè)，則∵∴，D錯(cuò)誤；故選：ABC．12.已知正方體的棱長為1，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.若為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為B.若為棱的中點(diǎn)，則過點(diǎn)有且僅有一條直線與直線都相交C.若為以為直徑的球面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D.若平面，則截此正方體所得截面圖形的面積越大，其周長越大【答案】ABC【解析】【分析】A找到異面直線所成角的平面角求正切值；B利用平面的基本性質(zhì)找到與面的交點(diǎn)，進(jìn)而確定過與直線都相交的直線是否唯一；C首先確定及△外接圓圓心位置，再求外接圓半徑及圓心到的距離，即可得外接球半徑；D利用正方體截面的性質(zhì)，動(dòng)態(tài)分析截面從到過程中截面圖形面積和周長的變化情況即可.【詳解】A：如下圖，由則與所成角即為，而，正確；B：若為中點(diǎn)，而為棱的中點(diǎn)，則，故共面，連接并延長交于，連接并延長交于，又面，面，，，故所得直線過與直線都相交，唯一性說明：若存在過與直線都相交另一條直線，顯然該直線也在面PAG內(nèi)，則與面存在另一個(gè)交點(diǎn)(非)，與直線與平面相交有且僅有一個(gè)交點(diǎn)矛盾，所以直線為過與直線都相交的唯一直線，正確；C：由題設(shè)，當(dāng)?shù)矫婢嚯x最大為球體半徑時(shí)的體積最大，此時(shí)在面兩側(cè)，距離為，可視為正方形的中心，而△外接圓圓心為中點(diǎn)，其半徑為，且△外接圓圓心到距離為，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為，正確；D：如下圖，平面時(shí)，截面從點(diǎn)到面過程中，截面面積和周長都越來越大；從面到面過程中，面積先變大后變小而周長不變；從面到過程中，面積和周長越來越小，錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若圓臺(tái)上下底面半徑分別為和，高為，則此圓臺(tái)的體積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式直接代入求得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)圓臺(tái)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則圓臺(tái)的體積.故答案為：.14.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足是純虛數(shù)的復(fù)數(shù)___________.【答案】（只要滿足，且）【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)為純虛數(shù)可出關(guān)于、的等式與不等式，即可得解.【詳解】由已知可得為純虛數(shù)，則.所以，且，故滿足題設(shè)條件的復(fù)數(shù)可以是.故答案為：（只要滿足，且）.15.在中，已知.若為邊上的一點(diǎn)，且，，則___________.【答案】【解析】【分析】分別在在、中，利用正弦定理用表示，進(jìn)而確定兩者之間的關(guān)系，即可求出答案．【詳解】由題意可得：，則設(shè)，則在中，由正弦定理可得，整理可得在中，由正弦定理可得，整理可得∴，則故答案為：．【點(diǎn)睛】16.在中，已知為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線交邊于點(diǎn).（1）若為中點(diǎn)，且，則___________.；（2）設(shè)，則的最大值是___________.【答案】①.．②.．【解析】【分析】（1）利用，將展開代入數(shù)量積運(yùn)算；（2）先把化簡轉(zhuǎn)化為齊次式，分子分母同除以，構(gòu)造轉(zhuǎn)化為二次式比二次式，分離常數(shù)再轉(zhuǎn)化為一次式比二次式，分子分母同除以一次式，再利用基本不等式求出最值．【詳解】(1)若為中點(diǎn)，且，則為中位線，（2）令，則，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，的最大值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量運(yùn)算和分式函數(shù)最值得求解，運(yùn)算量比較大，屬于填空壓軸題．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.2022年2月蘇州新冠肺炎疫情發(fā)生后，2月17日，“疫”聲令下，江蘇省內(nèi)各大市紛紛聞?dòng)嵍鴦?dòng)，約6000名醫(yī)務(wù)工作者雪夜抱團(tuán)馳援蘇州，為蘇州抗疫工作注入堅(jiān)實(shí)而溫暖的力量，各方力量按成一股繩，合力“蘇”寫了守望相助的抗疫故事，現(xiàn)從各市支援蘇州某地區(qū)的700名醫(yī)務(wù)工作者中隨機(jī)抽取40名，將這40人的年齡按照，，，這3個(gè)區(qū)間繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這40名醫(yī)務(wù)工作者的平均年齡（同一組數(shù)據(jù)用該組，區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）現(xiàn)需要對(duì)居家隔離的居民進(jìn)行單管核酸檢測，防疫指揮部決定在，兩區(qū)間段醫(yī)務(wù)工作者中按比例分配分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人.假設(shè)5人已經(jīng)選定，現(xiàn)要從這5人中選擇2人到某戶進(jìn)行檢測，求選中的兩人來自不同年齡段的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得每組的頻率，再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求每層抽取的人數(shù)，再根據(jù)古典概型求解．【小問1詳解】被抽取的40名醫(yī)務(wù)工作人員的平均年齡.小問2詳解】40人中年齡在內(nèi)的人數(shù)比為，即.按比例分配分層隨機(jī)抽樣，在內(nèi)應(yīng)抽取人，在內(nèi)應(yīng)抽取人.設(shè)年齡在內(nèi)的3人編號(hào)為，年齡在內(nèi)的2人編號(hào)為4，5，用表示選擇編號(hào)為的事件，設(shè)事件“選中的兩人來自不同年齡段”，則，所以.因?yàn)椋?所以.∴選中的兩人來自不同年齡段的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)處，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定定理可證平面，進(jìn)而證明結(jié)果；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理理解分析．【小問1詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所?因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以在平面中，.因?yàn)榈酌娴酌?，所?又平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樵谡叫沃?，為線段中點(diǎn)，，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，所以，即，所以點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)處.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換整理化簡，根據(jù)題意代入整理得，結(jié)合角的范圍求解；（2）根據(jù)題意代入整理，以為整體運(yùn)算求解，注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．【小問1詳解】因?yàn)?所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，所以，解?【小問2詳解】因，所以.因?yàn)椋?所以，又，所以.因?yàn)?，所以，所?20.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，且滿足，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若，且，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，以為基底表示題中其它向量．（1）根據(jù)，運(yùn)算證明；（2）先整理運(yùn)算可得，再代入題中所求問題運(yùn)算求解．【小問1詳解】.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn).所以.所以.因?yàn)?，所?且，所以，所以.【小問2詳解】.因?yàn)?，所?兩式相減得，所以.因?yàn)?，所?所以21.如圖1，為了測量運(yùn)動(dòng)場上探照燈桿的高度；某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：一身高為米的人站在燈桿正前方某點(diǎn)處（用表示站立的人），此時(shí)在地面的人影為，此人朝燈桿位置沿直線向前走4米后（用表示站立的人），此時(shí)在地面的人影為（假設(shè)把探照燈看做一個(gè)點(diǎn)光源）.（1）若，求燈桿的高度（單位：米）；（2）如圖2，在地面上存在點(diǎn)滿足，現(xiàn)在探照燈桿上安裝一電子屏幕（屏幕中軸線為）播放運(yùn)動(dòng)賽況，屏幕的高米，屏幕底部距離地面米.此人（用表示站立的人）從上某一位置出發(fā)走向上某一位置（行走路線一直落在內(nèi)），為始終能獲得最佳觀看效果（眼睛觀看屏幕上下沿形成的視角最大），求此人行走的最短路程.【答案】（1）米（2）米【解析】【分析】（1）由，得到相似比，，計(jì)算得到，，由題可得，建立關(guān)系式，代入數(shù)量即可求得燈桿的高度；（2）將平面單獨(dú)拿出，在和中分別求得，，利用兩角差的正切公式求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，同理可?由題意