矩陣論范數(shù)理論

第二章范數(shù)理論在第一章我們曾利用內(nèi)積定義了向量的長度，他是幾何向量長度概念的一種推廣。雖然當(dāng)n>3時對定義的向量長度無法作出具體的幾何解釋，但這樣規(guī)定的長度具有幾何向量長度的基本性質(zhì)，即非負性，齊次性和三角不等式。本章我們采用公理化的方法，八項量長度的概念推廣到更一般的情形，主要討論向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及其有關(guān)的應(yīng)用?！?.1向量范數(shù)定義2.1若對任意xeCn都有一個實數(shù)||圳與之對應(yīng)，且滿足：（1） 非負性：當(dāng)x?0時，||x||0；當(dāng)x=0,||x|=0；（2） 齊次性：對任何i?c，e『|倒；（3） 三角不等式：對任意x,yCn,都有||x+y||?|M|圳，則稱||x||為Cn上的向量乂的范數(shù)，簡稱向量范數(shù)。定義中并未給出向量范數(shù)的計算方法，只是規(guī)定了向量范數(shù)應(yīng)滿足的三條公理，稱之為向量范數(shù)三公理。從范數(shù)定義可得范數(shù)的下列基本性質(zhì)。定理2.1對任意x,yeCn,有⑴M=IWI；⑵Il|x||-|M|?Iky||.只證（2）。根據(jù)三角不等式，有IM="I+||yIM=||y|=||y-M+M||?||y域+||M|綜合二式即得IIIMI-bill?假yll證畢例2.1設(shè)，*,%,...?如.規(guī)定眺'”|氣F=第一章已表明IIX是向量x的一種范數(shù)，并稱之為向量2-范數(shù)，該范數(shù)具2有如下重要的性質(zhì)，對任意xICn和任意n階酉矩陣U，有||Ux||=^(Ux)H(Ux)=^xhUhUx=4xHM=IMI.稱之為向量2-范數(shù)的酉不變性。例2.2設(shè)x=(x1，x2，...xn)「Cn.規(guī)定TOC\o"1-5"\h\z||x|=四|xI11 1 kk=1則|x||是向量x的一種范數(shù)，稱為向量1-范數(shù)。證 當(dāng)x?0時，顯然||x|| a\x^|>0；當(dāng)x=0時，x的每一分量都是0，故||x||=0.k=1對任意2IC，有Il,x||=曲xk|=『InI仆MI|x||k=1 k=1又對任意y*，七，…七）『Cn.有

||x+y||=ilxkk=1nI(x

Ikk||x+y||=ilxkk=1nI(x

Ikk=1故||x||是Cn上的一種向量范數(shù)。例2.3設(shè)x=(x,x，…x)TCn.規(guī)定則||x||是向量x的一種范數(shù)，稱為向量￥+hk?h)=

kk=1n+k=1x=(x,x，…x)TCn.I|x|1=范數(shù)。證當(dāng)x】對任意槌Cmaxxkk0時，有||x||

有11/x||任|￥=maxx,|>0;當(dāng)x=0時，現(xiàn)然有||x|_0.kk=maxIx|=/|max意意、 y=(h,h，…h(huán))tCn.1 2n…kJmaxlhkl=IM+bllk k k||x||是Cn上的一種向量范數(shù)。為給出其他的向量范數(shù)，先證明如下結(jié)論.||x+y=maxk"J?max

k引理2.1對任意實數(shù)a吵0和80，都有ab?竺竺，其中p>1，q>1，且L+上=1pq證若ab=0，顯然結(jié)論成立，下而就只就a>0和b>0來討論，考慮函數(shù)j(t)=生+— (0<t<+)pq因為j'(t)=tp-1-t-(q-1)=^P^tq+1可見，當(dāng)0<t<1時，j'((t)0;而當(dāng)1?t+時，j'((t)30，故總有j(t)?j⑴1 (0<t<+)

令t=a1b-t1 111? (aqb-p)p定理2.21（令t=a1b-t1 111? (aqb-p)p定理2.21（a：b:）-q=上竺+如）故結(jié)論成立。q abpq對任意工卜,hk?C（k1,2,…,n），有n q1(|hj)qk=1其中p>1，q>1，且1+1=1.pq邋x|||h||￡

kkk=1(2.1)證 當(dāng)乂火=hk=0（k=1,2,…,n）時，結(jié)論成立。下設(shè)&不全為0，T也不全為0.由引理2.1得尋叩hkl k=1 （邋Xpkk=11+1=1.故結(jié)論成立。pq稱式（2.1）為Holder不等式。n)p(k=1%kh-k-hk=1Cauchy-Schwarz不等式(遍|x牌|)'kk'k=1例2.4設(shè)x=(氣，x2，...xn)rCn.，規(guī)定k=1Xkk=1XP—k p)Xkk=1h knq(k=1p=q=2)(〃|hk|2)k=1時，即得(1.5)七|pk=1(1?p+七|pk=1(1?p+)p則||x||是向量x的一種范數(shù)，稱為向量p-范數(shù)。p證 易知非負性和齊次性成立，當(dāng)p=1時，例2.2中已證明三角不等式成立。下設(shè)p>1，則對y=hh廠h）TCn.，利用 定 理 2.2 得

(邋X|p

kk=1譬尤(邋X|p

kk=1譬尤+hpk=inxkk=1hp-1)p(nx+h|q(p-1))q+(通h|=1 =11lp)p+n|h|X+hp-k=11(''|x+hq(p-1))qk=1=(lxlp+Mp)llx+y\q故x+Ml廣||x+yp:?||x||p眺對于向量p-范數(shù)，顯然p=1和p=2時，分別得到向量1-范數(shù)和2-范數(shù)，并且￥-范數(shù)也是p? 時的特殊情形。定理2.3設(shè)x=(氣，x2，...x/Cn.，則limW=llxllp? p￥證當(dāng)x=0時，結(jié)論成立。下設(shè)x】0，又設(shè)|x|=max|xk|x|=max|xk|=||x||￥則有||x|,=桫k=1HI?xJPnpllxll-1lp-1lp=故ip?血||x||=|x|[in證畢下面我們給出一種從已知的某種向量范數(shù)構(gòu)造的向量范數(shù)的方法。定理2.4設(shè)Ai6n，|甘|是Cm上的一種向量范數(shù)，對任意xICn，規(guī)定||x||廣||Ax||則|虬是Cn中的向量范數(shù)。證當(dāng)x=0時，Ax=0，從而|x||=n^xi=0；當(dāng)x0時，由rankA=n知Ax10，于是||x||=網(wǎng)>0.對任意3C，有『x||=||A(/x)||=l|||Ax||=l|||x||又對任意yICn，有

|x+y||=||A3+y)||?||心|||Ay||=間+||y||故11圳是Cn中的向量范b a a a b b b數(shù)。由于滿足Aif〃的矩陣有無窮多個，這樣由一個已知的n向量范數(shù)(不一定是p-范數(shù))就可構(gòu)造出無窮多個新的向量范數(shù)。如取A=diag(1,2,…,n)則對于任意x=(x，”Cn.由Cn上的向=且nkxkk=1量的1-范數(shù)和2-范數(shù)可得|=且nkxkk=1||x||= ||Ax|| =b 2||x||= ||Ax|| =b 2這是兩種新的向量范數(shù)。規(guī)定例2.5設(shè)A是n階Hermite正定矩陣，對任意xiCn，規(guī)定||x||=忐HAX則||x||是一種向量范數(shù)，稱為加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù)。證有定理1.24知，存在矩陣Pe5使得A=PHP，于n是|x||=<xhPhPx=、：(Px)h(Px)=||Px||由定理2.4知|x||是Cn上的一種向量范數(shù)。雖然在Cn中可以定義各種不同的向量范數(shù)，且同一向量按不同范數(shù)算出的值一般不等，如對于向量"(“…』)TCn.有|同廣n』e||2=和J國^=但是，不同的范數(shù)之間存在著一種重要的關(guān)系，為了描述這種關(guān)系，先給出如下的定義。定義2.2設(shè)IHI和IH是Cn上的兩種向量范數(shù)，如果存

在正數(shù)a和阡使對任意xeCn都有。映#|同砰乩則稱向量范數(shù)I「l與|桿b等價。定理2.5Cn上的所有向量范數(shù)等價。..,g）是連續(xù)函數(shù)，因為對任證設(shè)x=（x1，yx）TCn.m是Cn..,g）是連續(xù)函數(shù)，因為對任j(x,x，…,x)=||x||首先證明甲(g,&，-1 2意意、y=(h,h，…h(huán))t(x,x,???x)-j(h,h,???h1 2 n 1 2 n||xll-||j||I?||xMlhJHekll而ieII(k=1，2,…,n)都是確定的實數(shù)，故當(dāng)h?x(k1,2,...,n)ka kk是連續(xù)函數(shù)。考慮集合時，有是連續(xù)函數(shù)?？紤]集合j(h,h，…,h)?j(x,x，…,x)即平(g,g，…,g)1 2 n 1 2n 1 2nS={x|||x|=1,xCn}這是Cn中的一個有界閉集。根據(jù)連續(xù)的性質(zhì)知,平（g「g2,...,g）在S上達到最大值p和最小值a，且b?a0.當(dāng)里*，且有a?j（土，二，…二） 三=虬b即kll2 kll2IH2 \\42 同，a ixLaIaIE]#11xll們圳當(dāng)x=0時，上式也成立，這表明任意向量范數(shù)同與向量2-范數(shù)等價。又若國是Cn上的向量范數(shù)，則存在正實數(shù)a，p，使得故勺x||#||x|| b||x||1 1 bbaab即 |日與|q 等 價證畢

對于c〃上向量的1一，2—，￥一范數(shù)，易知下面二不等式成立|葉刑呷|時珥州2^\\x\\向量范數(shù)及其等價性，使得在研究向量序列的收斂問題時表現(xiàn)出簡潔性和明顯的一致性。見如下的定義和定理。定義2.3給定c中的向量序列(x(k)｝，其中x(k)=(x(k),x(k),???,x(k))T (k=0,1,2,…)limx(k)=x. (j=1,2，?…,n)則稱向量序列(x(k)｝收斂于x=(氣，x2，...Xn)T.簡稱(x(k)｝收斂，記為limx(k)=x或xkx(k+)不收斂的向量序列稱為是發(fā)散k?的。定理2.6 cn中向量序列(x(k)｝收斂于x的充分必要條件則有是，對于Cn上的任意一種向量范數(shù)||』，都有l(wèi)im||x(k)-x||=0則有設(shè)x(k)=(x(k),x(k)，?…，x(k))t,x=(x,x，…，x)t，x(k)-x.maxx(k)jjx=||x(x(k)-x.maxx(k)jjlimx(k)=x(j=1,2,…,n)的充分必要條件是lim||x(k)-x||=0。k?j j k?對于Cn上的任意一種向量范數(shù)，有等價性知a||x(k)a||x(k)-x]?||x(k) x||?bx(k)必要條件是lim||x(k)-xi=0。x|| 從而lim|x(k)-x||=0的充分證畢k? ￥§2.2矩陣范數(shù)§2.2矩陣范數(shù)由于一個m，n矩陣可以看做mn維的向量，因此可以按定義向量范數(shù)的方法來定義矩陣范數(shù)。但是，矩陣之間還有乘法運算，在研究矩陣范數(shù)時應(yīng)予以考慮。首先研究方陣范數(shù)。一、方陣的范數(shù)定義2.4若對任意AMnn都有一個實數(shù)同與之對應(yīng)，且滿足：（1）非負性：當(dāng)A】O時，||A||>0；當(dāng)A=O時，IAII=0；（2）齊次性：對任何i?C,『A||l|||A||;（3）三角不等式：對任意A,BMnn，都有||A+B||?A||B||；（4）相容性：對任意A,BICn-n，都有||AB|￡IAIIIBII，則稱A為Cnn上矩陣A的范數(shù)，簡稱矩陣范數(shù)。由于定義中前三條公理與向量范數(shù)一致，因此矩陣范數(shù)與向量范數(shù)所具有的性質(zhì)類似，如I-A||=||A||,|||A||-||B|||?\\AB\\,以及Cnn上的任意兩個矩陣范數(shù)等價，又由于矩陣范數(shù)定義中相容性公理的出現(xiàn)，使得由向量范數(shù)的表達式推廣到矩陣情形時，有時需做一些修改。例2.6設(shè)A3） Cn,規(guī)定||A||=巡n|^J則A是Cnn上的一1i=1j=1 ^1種矩陣范數(shù)，稱為矩陣的m一范數(shù)。證只證相容性，設(shè)B=（b），則ijnn

i=1j=1:bikkji=1j=1:bikkjk=1#n 邋("a.kibk|)i=1j=1k=1邋n[(^S^a^|)(i=1j=1 k=1 k=1b)]kj=(iin|aikl)(邋n|bk.|)=||A||I網(wǎng)Ii=1k=1 j=1k=1 m"故"k是Cn上的一種矩陣范數(shù)。例2.7設(shè)A=（a「 Cnn，規(guī)定 ||A|| =］邋 n |aj = ^tr（AhA）則||A|| 是'i=1j=1Cnn上的一種矩陣范數(shù)，稱為矩陣的Frobenius范數(shù)，簡稱F-范數(shù)。證只證相容性，設(shè)B=（b），由Cauchy-Schwarz不等式ijnn（ 1.5 ） ， 得i=1j=1\kbi=1j=1\kbkjk=1i=1j=1 k=1aikb)2ilna|2lilnb2=||A||列故||A||是Cnn上的一種矩陣范iJV kk11''f ''f 11"fi=1j=1 i=1j=1數(shù)。F一范數(shù)有下列良好的性質(zhì)。定理2.7設(shè)aisn,則對任意n階酉矩陣U和V,恒有倒=||AV||=||UAV||=||A||稱之為F-范數(shù)的酉不變性。證利用定理1.6,得UA=V‘tr[(UA)H(UA)]=<tr(AhUhUA=￡tr(AhA)=||A||IAW=^trVHAHAV]=.：tr(AhAVVh)=0r(AhA)=||A||F F最后||uav||=||av||=A證畢需要指出的是，對于A=(a) Cnn,如果將向量的￥—范數(shù)ijnn直接推廣到A,即||A||=maxa|，則矩陣范數(shù)定義中前三條公i,jl]理成立，但相容性公理卻不成立。如取A=B=驏*，則I|A|=IM=1，而ab=驏3于是||AB￡IAIIBII。因此要做適當(dāng)?shù)男薷?。?.8設(shè)A=(o) Cnn，規(guī)定||A||=nmaxa|則||a||是Cn上的矩ijnn m^ ij可' 四陣范數(shù)，稱為矩陣的m一范數(shù)。證 只證相容性。設(shè)B=(b) Cnn,則ijnn鐐一nmaxi,jlaJbkjk=1IAB=nmaxi,jlaJbkjk=1#nmax|a|?.ikI,jmax宓lbIIIAIInmaxbI=IIA#nmax|a|?.ikI,j1，jk=1 " l，j故A是cnn上的一種矩陣范數(shù)。m^二、與向量范數(shù)的相容性由于矩陣與向量在實際運算中常同時出現(xiàn)，所以矩陣范數(shù)和向量范數(shù)也會同時出現(xiàn)，因此需要建立矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的聯(lián)系。定義2.5 設(shè)叫是Cnn上的矩陣范數(shù)，忡是Cn上的向量范數(shù)，如果對任意AiCnn和XICn都有|網(wǎng)|￡M| 則稱矩陣范數(shù)同與向量范數(shù)11』是相容的。例2.9證明Cnn的矩陣*一范數(shù)和F—范數(shù)分別與Cn上的向量1—范數(shù)和2—范數(shù)相容。證設(shè)A=(a)Cnn,x=(x,X，…,X)t Cn，則ijnn 1 2n||Ax||=邋nax 邋(naX)11 "1 ikk ikk

?邋［(M |a |)(邋K)］(”遢】|)( n |x )= ||A|| ||x||ik' '■ 1ik k11 11利用Cauchy-Schwarz不等式，得miL邋n氣已'i=11kmiL邋n氣已'i=11k=1?:邋［(naiki=1 k=12)(nxkk=1i=1k=1(ax)2ik2)］的IMF2例2.10證明Cnn上的矩陣的氣一范數(shù)分別與Cn上的向量1―、2—、￥一范數(shù)相容。證只證矩陣的m—范數(shù)與向量￥—范數(shù)相容，其余￥證明留給讀者。設(shè)A=(a)Cnn,x= (x ,x，…,x)tCn，貝'Jijnn 1 2n|Ax||=max=A』x|||Ax||=max=A』x||、圈邋axikkk=1#maxnklk. ikkik=1nmax\ai,k kmax|xk上例表明，與一個矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)可能不唯一，那么，對于Cnn上任意給定的一種矩陣范數(shù)，是否一定存在與之相容的向量范數(shù)呢?對此有下面的結(jié)論。定理2.8設(shè)同是Cnn上的一種矩陣范數(shù)，則稱Cn上必存在與它相容的向量范數(shù)。證取定0刮aCn，對任意xICn，規(guī)定||x||廣"||則當(dāng)x，0時，xaH.。，于是||x||廣||xaH||>0；而當(dāng)x=0時，xaH=0，所以||x|=|xaH|=。.對任意XcC，有阻x||=(Xx)aH -|X||xa^=|X||x||又對任意 x,JcCn ,有

I"y||T|（"y加||』切d|+||yaH\=|lxll+||y||故IH|是c上的一種向量范數(shù)，并且對任意腥5,xeCn,有||Ax||="奶|V||A||||xa^=||A||||x||即矩陣范數(shù)州與向量范數(shù)11.||相容。證畢。三、從屬范數(shù)我們知道，單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于1在數(shù)的乘法中的作用，但對于矩陣的*一，F(xiàn)一,和皿一范數(shù)，有此||疽n,|叩廣血,||/孔=n這對于一些理論分析帶來不便，'"1 8那么能否構(gòu)造出使||/||三1的矩陣范數(shù)呢？下面給出的就是這樣一類矩陣范數(shù)。定理2.9已知Cn上的向量范數(shù)||?||，對任意Ae5規(guī)定V||A||=maxx#0 x||V^A^^^（=maxiAxii）則||A||=maxx#0 x||V的矩陣范數(shù)，且||/||三1,稱之為由向量范數(shù)||?||導(dǎo)出的矩陣范數(shù)或從屬于向量范數(shù)||?||的矩陣范數(shù)，簡稱導(dǎo)出范數(shù)或從屬V范數(shù)。證顯然11/三1，又由||證顯然11/三1，又由||A||=maxAL2頃得n x豐0 xVl|x||VI例＜|A||風(fēng)從而州與向量范數(shù)州相容。當(dāng)VA二。時，A=。；而當(dāng)A。。時，存在x（0）eCn使Ax（0）。0從Ax(0)間槌井>0x(0)||V任意xeC，有||XA||=max"L<|"ax悍二網(wǎng)|A||碩 ini 碩件V V又對任意 A,Be6〃 ，有(A+(A+B)nil||A+B|=maxIWIVl<max^l功Bn||"羅可V V=1All+1BII|A||||B||=max^^以<max均羿=||A||||B||故||?||是s〃上的矩陣范碩||n||y||n||V V數(shù)。證畢矩陣的從屬范數(shù)的計算歸結(jié)為求函數(shù)的最大值，從分析的角度來看，連續(xù)函數(shù)在有界閉集上可以達到最大值，但計算卻不是很容易，下面給出由向量1一、2—、￥一范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)的具體計算公式。定理2.10設(shè)a=(a) c〃〃，記由向量1一、2—、￥一范ij〃〃數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)分別為||A||』A||,||A||，則有(1)|A||=max況a;1j"j⑵||A||=氣,%為AHA的最大特征值；(3)|A||=max^a.8 'j=1通常|A||，a』A||依次稱為矩陣的1一范數(shù)、2—范數(shù)、￥一范數(shù)，或稱為列和范數(shù)、譜范數(shù)和行和范數(shù)。證⑴對n=(x,n,,n)t0，有

網(wǎng)=EEi=1aij—jj=1&w￡(Ea,.&.)

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i=1j=1

孚|&j=E低|Ea]V(maxj=iJi=1〃 ji=1 j=i)=(max￡|a|)||x||J,=1J即網(wǎng)IWI1<maxjEai=1設(shè)E|a.J=maxE|a..|取

i=1lk ji=1l]則I阿11=1且有巴x(0)=(&(0),&(0),???E",其中&(0)=以’J=:一 j10,j豐k=EE1,, ,? i=11故||a||=max愣=maxE|1碩圳]ji=1X(0)a&(0)j=1=Ei=1\a|=maxE|lkJaiji=1(2)由定理1.24知，如人的特征值為非負實數(shù)，設(shè)如人的n個特征值為"人>...q>0由于am是Hermite矩陣，故1 2 n存在n階酉矩陣U，使UhAhAU=diag(人,人，…,人)記U=(u,u，…,u)其中u(j=1,2,.n)是1 2 n 1 2 n jU的第j列向量，對任意0「xeCn,有x=Eku可求得j=1XHXHX=,':]ElkJ'J=1Ax=wAx=wEX=(Eku)h(E"u)=2 \rJ] ]]JYJ=1 J=1/!I/!IXI|即有計￡礦取X(1)=u「則有IIAx(1)IIAx(1)IFT2Au=JuhAhAu=iia =2iia =2maxx10(4)對X=(x,X,...,X)r 0，有Ax3=max￡a&Ax3=max￡a&ijjj=1<maxi習(xí)aj=1<(maxiEajj=1=max(?a|)||x||1 j=1 3于是||A||疽maJA!maxaaljj=1邋a于是||A||疽maJA!maxaaljj=1邋a1kjj=1n=maxj=1X(2)=(X(2),X(2),…,X(2))T,其中g(shù)(2)=<a'1；aijj0則||x(2)I=1，a=0Ax(2)=(*,...,*,ana,*,.?.,*)tj=1于是2 )2IAX()1[j=1a)ijnmax于是2 )2IAX()1[j=1a)ijnmaxj=1aijIAII=maxaij矩陣2一范數(shù)有下列良好的性質(zhì)。定理2.11設(shè)AeCnxn，U和V為n階酉矩陣，則⑴||a^|2=IIAI2；（2） ||ua=|AV二||uav||二||A||；（3） 若A是正規(guī)矩陣，且i，i.i是A的n個特征值,則||A||=max\lk\。證（1）由定理1.26矢口，aha與aah有相同的非零特征值，于是||ah|=||A||（ 2 ）UAl2=v'(UA)h(UA)的最大特征值=(AhA的最大特征值=|A||2II時||2=,腿|I=||ah|I=1All2陽V技I|"|廣||尷（3）當(dāng)A是正規(guī)矩陣時，存在n階酉矩陣U,使得UhAU=diag（七,氣,…,人,）于是UhAhAU=UhAhUUhAU=diag（|X|2,|人|2,...」人|2）1 2故||A|=\/AhA的最大特征值=jmax|Xj2=max|XJ 證畢有其他矩陣范數(shù)的計算公式易知："Ah, = ||A , Ah|| =A， Ah° =A, Ah| =A，Ah=Am m1 F F " m￥ ￥ 1 1 ￥四、長方陣的范數(shù)前面介紹的主要是方陣的防范數(shù)，給相應(yīng)的定義做一些修改可以推廣到嗎m*n矩陣的情形。首先，在矩陣范數(shù)的定義中，相容性公理應(yīng)改為：對任意Ais/Bic〃I都有n||A8||￡aim上式左邊是5上的矩陣范數(shù)，右邊分別是Cmxn和6上的矩陣范數(shù)，他們應(yīng)取為同類的矩陣范數(shù)，如均取為F-范數(shù)。其次，在與向量范數(shù)相容性的定義中，對任意Ai6n，nxiCn，有||Ax||￡||A||||x||其中上式左邊的回是Cm上的向量范數(shù)，右邊的||［是；上的向量范數(shù)，它們應(yīng)取為同類的向量范數(shù)。最后，在從屬范數(shù)定義中，對任意AiCm'n，有A11=maJA^L其中右邊分子上的仰是Cm上的向量范數(shù)，爐0IM v

分母上的IIII是5上的向量范數(shù)，它們應(yīng)取為同類的向量范數(shù)。對于任意AiCmn，常用的矩陣范數(shù)為如下七種:n（1）|A|=邋〃 ,m1-范數(shù);皿1i=1j=1（2）||A||=j避nE2=4tr（AHA）, F-范數(shù)；\i=1j=1⑶l|A||=max{m,n}max\aI，M-范數(shù)或最大范數(shù);M 門ij⑷||A||=面maxa，G-范數(shù)或幾何平均范數(shù);G i,jij（5）（6（5）（6）||A||=max且maij，1-范數(shù)或列和范數(shù);||A||=（AhA的最大特征值，2-范數(shù)或譜范數(shù);（7）|叫=max場ai，￥-范數(shù)或者行和范數(shù)。1j=1其中F-范數(shù)和2-范數(shù)是酉不變的，皿］一范數(shù)與向量1—范數(shù)相容；F一范數(shù)和G—范數(shù)與向量2—范數(shù)相容；M一范數(shù)分別與向量1一、2—、￥一范數(shù)相容；而矩陣的1一、￥一、2一范數(shù)分別有向量1一、￥一、2—范數(shù)導(dǎo)出，從而與相應(yīng)的向量范數(shù)相容?！?.3范數(shù)應(yīng)用舉例在§2.1中介紹了向量范數(shù)在討論向量序列極限中的應(yīng)用，有關(guān)范數(shù)在矩陣分析中的應(yīng)用可見下一章，本屆主要介紹范數(shù)在特征值的估計及數(shù)值分析中的應(yīng)用。

、矩陣的譜半徑定義2.6設(shè)aiox,X，…,X為A的n個特征值，稱1 2 nr(A)=maxl為A的譜半徑。利用定義可得到譜半徑的如下性jj質(zhì):(1(1)r(Ak)=(r(A))k；(2(2)(3)r(AhA)=r(AAh)=||A||2；2當(dāng)A是正規(guī)矩陣時，r(A)=||A||。(1)設(shè)A的n個特征值為％,x廠,X，則Ak的特征值為Xk,人k，…,人k于是1 2 nr(Ak)=maxlk=(maxl)k=(r(A))k.jjj(2)由矩陣2一范數(shù)的計算公式和AhA與aah有相同的非零特征值即得;(3)利用定理2.11的結(jié)果即得。證畢有關(guān)矩陣的譜半徑，有如下的一些估計式。定理2.13設(shè)AICn^n，則對Cn上的任意矩陣范數(shù)||||，都有r(A)￡||A|證設(shè)l是A的特征值，x是A的對應(yīng)l的特征向量，又設(shè)||||是Cn上與矩陣范數(shù)||||相容的向量范數(shù)，則由Ax=lx，V可得II*網(wǎng)vAiiq從而|l|#||A||,即r(A)||A|| 證畢

例2.11驏0 0.2已知例2.11驏0 0.2已知A=|0.2 0桫0.i-0.20.L0.2士，試估計A的譜半徑。解可求得a=||A||=0.4,||A||=1,||A|| =0.6,||A||=v0?180.4243.于是r(A)￡0.4。實際計算可知A的特征值為0，—0.4i,0.4i，從而r(A)=0.4，可見對此矩陣譜半徑的估計很精確，但對多數(shù)矩陣來說，估計的結(jié)果偏保守。定理2.14設(shè)AJCn-n，對任意給定的正數(shù)e，存在某一矩陣范數(shù)||||，使得m||A||?r(A)e證由定理i.9,存在pidn，使得nPiAP=J=驗證￥￥￥￥￥￥￥早dilPiAP=J=驗證￥￥￥￥￥￥￥早diln-iD1P1APD=DiJD令D=diag(i,e,e2,…,en-i)，則易于是于是||d-iP-1apd||￥|B||=||D-iP-iAPDJm ￥?max(le)=r(A)+e對任意b16〃，規(guī)定jj容易驗證網(wǎng)是"〃上的一種矩陣范數(shù)，且有m||A||=||D-1P-1APD||?r(A)e證畢需要指出的是，定理2.14中構(gòu)造的矩陣范數(shù)與給定的矩陣A和正數(shù)e均密切相關(guān)。二、矩陣的條件數(shù)設(shè)AIn，biC,在工程實際中經(jīng)常需要計算A-1和線性方程組Ax=b的解，由于矩陣A和向量b的元素一般是由觀測或者計算得到的，所以不可避免的帶有微小的誤差dA和db。我們首先必須研究的一個重要問題是：數(shù)據(jù)的誤差對于問題的解將會產(chǎn)生什么樣的影響呢？如對于求逆矩陣的問題，要研究A-1與(A+dA)-i的近似程度如何；而對于線性方程組求解問題，要研究系數(shù)矩陣A與有段b有誤差dA和db時，引起解x的誤差必的大小問題，利用范數(shù)可以給出誤差對于問題的解產(chǎn)生影響大小的一個度量。引理2.2設(shè)PiCnn，若對Cnn上的某一矩陣范數(shù)||||有|冏<1，貝ljI—P可逆。證如果I-P不可逆，則齊次線性方程組(I—P)x=0有非零解押)，即有(I—P)X(0)=0或￥(。)=PX(0)設(shè)||||是Cn上的矩陣范數(shù)"相容的v向量范數(shù)，則||x(0)||=|Px(0)|| ||P||||x(0)||即有IP||31，這與假設(shè)條件矛盾，故I—P可逆。證畢定理2.15設(shè)Ai6n，dAiC"n，若對Cnn上的某一種矩陣范數(shù)Illi有||a-idA||<1,則(1)A+dA可逆;(2)||(A(2)||(A+dA)-i|||A-i||||A-1dA|(3)||A-1-(A+dA)-11||A-1dA||1-||A-1