復(fù)變函數(shù)課件分式線性映射

復(fù)變函數(shù)課件分式線性映射1第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明:否則,由于那末整個z平面映射成w平面上的一點(diǎn).小知識2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五分式線性映射的逆映射,也是分式線性映射.2)由3)兩分式線性映射仍復(fù)合為分式線性映3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4)分式線性映射一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊的簡單映射復(fù)合而成:4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)5第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)變換事實(shí)上,設(shè)那末因此,把z先轉(zhuǎn)一個角度7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五關(guān)于橫軸對稱反演變換此映射可進(jìn)一步分解為欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)w,可考慮如下作圖次序:關(guān)鍵:8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五對稱點(diǎn)的定義:設(shè)C為以原點(diǎn)為中心,r為半徑的圓周.在以滿足關(guān)系式那末就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對稱點(diǎn).規(guī)定:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心O.9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五...設(shè)P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五故可知:...關(guān)于單位圓對稱關(guān)于實(shí)軸對稱11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五三、分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應(yīng)性例如:結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng).12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五2.保角性若規(guī)定:兩條伸向無窮遠(yuǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角,等于它們在映射

下所映成的通過原點(diǎn)的兩條象曲線的交角.13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五綜上所述知:14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五綜上所述:定理一分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對應(yīng)的，且具有保角性15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五3.保圓性所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1)映射特點(diǎn):所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五2)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五3)分式線性映射定理二

分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.說明:如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成直線.如果18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.保對稱性對稱點(diǎn)的特性....19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五....20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論充要條件是:21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五即分式線性映射具有保對稱性.定理三22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五證分式線性映射[證畢]23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五小知識分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱為默比烏斯映射.對每一個固定的w,此式關(guān)于z是線性的;對每一個固定的z,此式關(guān)于w也是線性的,因此稱上式是雙線性的.分式線性映射也稱雙線性映射.

默比烏斯24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五四、小結(jié)與思考分式線性映射是一類比較簡單而又很重要的共形映射,應(yīng)熟悉分式線性映射的分解和復(fù)合,及其保角性、保圓性和保對稱性.25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五思考題26第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.27第二十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五默比烏斯資料

AugustM?biusBorn:17Nov1790in