第3講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

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數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＞2＋1對于≥的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)()A.2B.3C.5D.6解析∵＝1時，

122×1＋322＋1不成立；＝2時，2＝3時，2

2＝42＋152＞＋1成立；3＝82＋172＞＋1.∴的第一個取值n＝3.答案B2.某個命題與正整數(shù)有關(guān)當＝∈N*)時該命題成立可以推出＝＋1該命題也成立.現(xiàn)已知＝5時該命題成立，那()＝4該命題成立B.

＝4時該命題不成立C.≥5，∈N*時該命題都成立可能取某個大于5整數(shù)時該命題不成立解析

顯然，B誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知C正確，D.答案C111n3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋>≥2，∈N*”的過232－12程中，由“＝”變到“＝＋1”時，左邊增加了)A.1項B.

kC.2－項項

解析

111左邊增加的項為＋＋…＋共2k，故選D.2k2＋121－1答案D4.對于不等式

2＋<＋1(∈N*，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)＝1時，

1

2＋1<1，不等式成立.(2)設(shè)當n(

∈N

)，不等式

2＋k＋1成立，當nk1時，（＋12＋＋＝（＋22＝＋1)＋1.

2＋3＋2<

（2＋3＋2）＋（＋＝∴當＝＋1時，不等式成立，則上述證法()過程全部正確B.＝1驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確從＝k到＝＋1推理不正確解析

在＝＋時，沒有應(yīng)用＝k的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.答案D4＋25.用數(shù)學(xué)歸納法證明123…＋2＝，則當＝＋1時左端應(yīng)在n2＝k基礎(chǔ)上加上()2＋1B.(＋1)

2C.

（＋14＋（＋1222＋1)＋2＋2)＋…＋(＋1)

2

＋n1＋1＋n1112341234＋n1＋1＋n1112341234解析

當＝k，左端＝123…＋2.當＝＋1，左端＝123…＋2＋2＋1)＋2＋2)＋…＋(

＋1)

2，故當＝＋1時＝k基礎(chǔ)上加2＋1)＋(

2＋2)＋…＋＋1)

2.故選D.答案D二、填空題11116.設(shè)＝1＋＋＋…＋，則－S＝________.2342n1111解析∵S＝1＋…＋＋＋…＋，222＋12＋21111S＝1＋＋＋＋…＋.2342n∴－S＝

1111＋＋＋…＋.2＋12＋22＋32＋2n1111答案＋＋＋…＋2＋12＋22＋32＋2n7.數(shù)a}中，已知＝2a＝

a3a＋1

(∈N

*，依次計算出，a，a，猜想＝________.2

2解析a＝2a＝

2272132＝a＝＝a＝＝.由此，3×2＋72132193＋13＋1713猜想是以分子為2分母是以首項為1，公差為6的等差數(shù)列.∴a＝

2.6－5

12341111122221234111112222答案

26－58.凸n多邊形有()條對角線則凸＋1)邊形的對角線的條數(shù)＋1)與)的遞推關(guān)系式為________.解析＋1)＝＋－2)＋1＋－1.答案＋1)＝＋－1三、解答題11119.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋…＋<2∈N，≥2).2322n1513證明(1)＝2時1＝<2－＝，命題成立.24221111設(shè)＝k命題成立，即＋＋…＋<2－.2322k1111111當＝＋1時，1＋＋…＋＋<2－＋<2－＋23（＋1）k（＋12k1（＋1

1111＝2＋－＝2，命題成立.kk＋1＋1由(知不等式在∈N*，≥2時均成立.10.列a}滿足＝2－a∈N*).(1)算，a，，a，并由此猜想通項公式a；(2)明(中的猜想.(1)

當＝1時，＝S＝2－，a＝1；3當＝2時，a＋a＝S＝2×2－，∴a＝；2

12333312344441k＋1＋112333312344441k＋1＋1＋1kk1＋1k＋1k7當＝3時，a＋a＋a＝S＝2×3－，∴a＝；4當＝4時，a＋a＋a＋a＝S＝2×4－，∴＝

15.82－由此猜想a＝∈N*).2－1(2)明①當＝1，a＝1結(jié)論成立.②假設(shè)＝≥1且∈N*時，結(jié)論成立，即a＝

2－121

，那么＝＋1，a＝S－S＝2(

＋1)－a－2＋a＝a－a，∴2a＝2a.∴＝

2a2

＝

2

2－121＝2

21－1.2k所以當＝＋1，結(jié)論成立.由①②知猜想a＝

2－1∈N*成立.2－1111311.明診斷設(shè)n為正整數(shù)＝1＋＋…＋算得(2)，23n257(4)2＞＞3＞結(jié)果一般結(jié)論()22(2

＞

2＋12

B.

＋22)≥2

C.

＋2(2)≥2

以上都不對解析

因為(2

45672)(23)＞(24)(25)，所以當≥1時，有2222＋2(2)≥.2答案C12.是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且(滿足：“當≥2成立時，總可推出＋1)

＋1)

2

成立”.那么，下列命題總成立的()若(1)<1立，則(10)<100立B.若(2)<4成立，則(1)≥1成立C.若(3)成立，則當≥1時，均有)≥2

成立若(4)≥16成立，則當≥4時，均有)≥

成立解析

選項，B答案與題設(shè)中不等號方向不同，故，B；選項C中，應(yīng)該是≥3時，均有(題成立.答案D

)成立；對于選項D，滿足數(shù)學(xué)歸納法原理，該命13.平面上n圓周最多把平面分成(片(面區(qū)域(2)________＝________.(≥1N)解析易知2個圓周最多把平面分成4片n圓周最多把平面分成片，再放入第＋1圓周使得到盡可能多的平面區(qū)域＋1個應(yīng)與前面?zhèn)€都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第＋1個圓周分成段，每段都把已知的某一片劃分成，即(＋1)＝＋2≥1)，所以－

＋1n＋1nn21121＋1n＋1nn211211＋1n1k＋1k(1)－1)，而2從而＝2－＋2.答案4

2－＋214.列x滿足x＝0，＝－x＋(∈N*).(1)明：x是遞減數(shù)列的充要條件是＜0；1(2)0＜≤，證明數(shù)列{x是遞增數(shù)列.4證明(1)充分性：若＜0由于x＝－2＋x＋≤x＋＜x，∴數(shù)列x}是遞減數(shù)列.必要性：若x是遞減數(shù)列，則＜x，且x＝0.又x＝－2＋x＋＝，∴＜0.故x是遞減數(shù)列的充要條件是＜0.1(2)0＜≤，要證{x}遞增數(shù)列.4即x－x＝－＋＞0即證x＜

對任意≥1成.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當0＜≤時，x＜4

對任意≥1成立