留數(shù)的計算方法

摘要：本文介紹了常見的幾類的留數(shù)的計算方法.并通過實例加以闡析.關鍵詞：留數(shù);極點;零點TheCalculationoftheResidueAbstract:Thispaperpresentsseveralcommonlysolvingmethodsofresidue.Basedonexamples,thesesolvingmethodsarestatedandanalyzed.KeyWords:Residue;Poles;Zero-point引言由留數(shù)定理得知，計算函數(shù)沿的積分，可歸結為計算圍線內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)之和．而留數(shù)又是該奇點處的羅朗級數(shù)的負一次冪的系數(shù)，因此我們只關心該奇點處羅朗級數(shù)中的負一次冪系數(shù)，也就是說，不必完全求出羅朗級數(shù)就可以完全確定該點的留數(shù).下面介紹求留數(shù)的幾種常用方法，使用時要根據(jù)具體條件，選擇一個較方便的方法來進行.1.有限遠點留數(shù)的計算方法留數(shù)定理把計算閉曲線上的積分值的問題轉化為計算各個孤立奇點上的留數(shù)的問題，即計算在每一個孤立奇點處的羅朗展式中負冪一次項的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點的不同類型，分別建立留數(shù)計算的一些簡便方法是十分必要的.1.1若為的可去奇點則在內(nèi)的羅朗展開式中不含負冪項，從而，故當為的可去奇點時，(1.1)1.2若為的一階極點(1)第一種情形：若為的一階極點，則在內(nèi)的羅朗展開式為

顯然，故當為的一階極點時，（1.2）(2)第二種情形：若為的一階極點，且，則.

(1.3)1.3若為的階極點則.（1.4）一般來講,公式(1.4)適合計算級數(shù)較低的函數(shù)的極點的留數(shù).如果極點的級數(shù)較高時,計算可能比較復雜,此時可根據(jù)具體情況改用其他方法計算留數(shù).1.4當為的本性奇點時幾乎沒有什么簡捷方法，因此對于本性奇點處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開式的方法或計算積分的方法來求．1.5有限遠點留數(shù)計算典型實例例1.5.1求．解容易知道是函數(shù)的一階極點，所以.本題也可用上述方法設，取，，顯然，滿足方法1.2中(2)的條件，所以.例1.5.2求函數(shù)在處的留數(shù).解由于是分母的一級零點,且分子在時不為零,因此,是的一級極點.由公式(1.2)可以得到.由于是分母的二級零點,且分子在時不為零,因此,是的二級極點.由公式(1.4)得=.例1.5.3求函數(shù)在處的留數(shù).解因為以為一級零點,而,因此以為一級極點.由公式(1.3)得.例1.5.4求函數(shù)在處的留數(shù).解是的本性奇點,因為,

所以相乘后級數(shù)的系數(shù)為于是2.無限遠點處的留數(shù)計算方法2.1無窮遠點留數(shù)定義或留數(shù)和定理定義2.1.1[3]設點為函數(shù)的一個孤立奇點,即在內(nèi)解析,則稱積分值為在點的留數(shù),記作.其中,C為圓周,的方向是順時針的.設在內(nèi)的洛朗展式為上式兩端同乘,沿逐項積分,并根據(jù)定義1，有.

(2.1)即在點的留數(shù)等于它在領域的洛朗展式中負一次冪的系數(shù)的相反數(shù).這里需要指出的是,當為的有限可去奇點時,必然有;但是,如果是的可去奇點時,則不一定有.如,在是的可去奇點;但.例2.1.1求函數(shù)在點處的留數(shù).解函數(shù)以及為一階極點，而為本性奇點又所以．關于函數(shù)在有限孤立奇點和無窮遠點留數(shù)之間的關系,有如下定理.定理2.1.1若，則.

(2.2)證明由條件，故可設在的去心鄰域的洛朗級數(shù)因此．公式(2.2)在計算留數(shù)時是非常有用的.如果已知函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù)之和,由式(2.2)即可知道函數(shù)在無窮遠點留數(shù);反之如果知道了函數(shù)在無窮遠點的留數(shù),則函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù)之和便可以求出.當函數(shù)的有限孤立奇點較多時,其留數(shù)之和計算比較復雜時,通過求函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)來求其在所有有限孤立奇點的歷史之和是非常方便的.另外,我們還可以先計算出比較容易計算的函數(shù)的部分孤立奇點的留數(shù),然后用公式(2.2)求出比較難計算的另一部分孤立奇點的留數(shù)之和.結束語留數(shù)定理的應用為一部分積分的計算提供了便利，特別是對某些復雜的積分，它大大縮短求解過程.因此，利用留數(shù)計算定積分對理解留數(shù)理論和掌握一些特殊積分的計算有很大幫助，在平時的學習生活中留數(shù)理論或許能成為求積分與實際應用的有利工具.參考文獻[1]鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].