二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a0)二次函數(shù)的圖象:一條拋物線拋物線的形狀,大小,開口方向完全由_____來決定.當(dāng)a的絕對(duì)值相等時(shí),其形狀完全相同,當(dāng)a的絕對(duì)值越大,則開口越小,反之成立.0y=0.5x2y=-x2y=-0.5x2a

根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：

拋物線y=-2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

,

對(duì)稱軸是

，在

側(cè)，即x_____0時(shí),y隨著x的增大而增大；在

側(cè)，即x_____0時(shí),y隨著x的增大而減小.

當(dāng)x=

時(shí)，函數(shù)y最大值是____.

當(dāng)x____0時(shí),y<0

(0,0)直線x=0Y軸右Y軸左000y=-2x2<>yx

根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：

拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

,

對(duì)稱軸是

，在

側(cè)，即x_____0時(shí),y隨著x的增大而減少；在

側(cè)，即x_____0時(shí),y隨著x的增大而增大.

當(dāng)x=

時(shí)，函數(shù)y最小值是____.

當(dāng)x____0時(shí),y>0

(0,0)直線x=0Y軸右Y軸左00<>0y=2x2yx二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)１.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號(hào)確定由a,b和c的符號(hào)確定向上向下,y隨著x的增大而減小.,y隨著x的增大而增大.

,y隨著x的增大而增大.,y隨著x的增大而減小.

根據(jù)圖形填表：求二次函數(shù)圖象y=x2-3x+2與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。解：∵A、B在x軸上，∴它們的縱坐標(biāo)為0，∴令y=0，則x2-3x+2=0

解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你發(fā)現(xiàn)方程的解x1、x2與A、B的坐標(biāo)有什么聯(lián)系？x2-3x+2=0結(jié)論1：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線y=x2-3x+2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y(1).每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個(gè)根?驗(yàn)證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如圖所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況:

①有兩個(gè)交點(diǎn),②有一個(gè)交點(diǎn),③沒有交點(diǎn).

當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元二次方程的知識(shí)來說明呢？△＞0△=0△＜0OXY(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4ac有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0例題教學(xué)已知函數(shù)⑴寫出函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖像與y軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù)圖像的草圖；(2)自變量x在什么范圍內(nèi)時(shí)，y隨著x的增大而增大？何時(shí)y隨著x的增大而減少；并求出函數(shù)的最大值或最小值。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0xyxoyxyo(0,c)(0,c)..y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c..

例２

已知函數(shù)y=x2-2x-3,

（１）寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；

(2)求圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積：（3）根據(jù)第（１）題的圖象草圖，說出x取哪些值時(shí)，①y=0;②y<0;③y>0.課后練習(xí)：1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則a、b、c的符號(hào)為__________.

yxo2、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)Dx-110y3(1，4)-10xy直線x=1(2,)根據(jù)右邊的圖象,回答下列問題:2.說出這個(gè)函數(shù)的增減性.3.若在此圖象上有四點(diǎn)(0,y1),(0.5,y2),(1,y3),(2.5,y4),試比較y1、y2、y3,、y4的大?。?.何時(shí)函數(shù)值①大于零?②等于零?③小于零?當(dāng)-1＜x＜3時(shí),y＞0當(dāng)x=-1或x=3時(shí),y=0

當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí),y＜0y４＜y１＜y２＜y３仔細(xì)觀察剛才兩個(gè)函數(shù)的圖象,試著從下表的角度歸納.二次函數(shù)y=ax2+bx+c有以下性質(zhì):對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)開口方向最值增減性與y軸的交點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)直線x=-當(dāng)a＜0時(shí),開口向下當(dāng)a＞0時(shí),開口向上當(dāng)x=-時(shí),y達(dá)到最小值,無最大值.當(dāng)x=-時(shí),y達(dá)到最大值,無最小值.一個(gè),坐標(biāo)為(0，c)當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac＜

0時(shí)，沒有交點(diǎn)。體驗(yàn)“學(xué)數(shù)學(xué)”1、如果拋物線y=x2+px+q的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），則p=q=2、二次函數(shù)y=x2-４x+3

的對(duì)稱軸是3、拋物線y=x2-5x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)4、說出下列拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：⑴y=2x２-x-1⑵y=4x2+4x+1⑶y=3x2+2x+5c體驗(yàn)“學(xué)數(shù)學(xué)”5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則a、b、c的符號(hào)分別為

yxo嘗試成功：1、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)x2、下列函數(shù)何時(shí)有最大值或最小值，并求出最大值或最小值⑴y=2x2-8x-3⑵y=-5x２＋３√２x-43、二次函數(shù)y=x2＋bx+8的圖像頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，那么b等于多少？D-110y學(xué)習(xí)感想：1、你能正確地說出二次函數(shù)的性質(zhì)嗎？2、你能用“五點(diǎn)法”快速地畫出二次函數(shù)的圖象嗎？你能利用函數(shù)圖象回答有關(guān)性質(zhì)嗎？1,已知拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)(-2,2).

(1)求這條拋物線的解析式.

(2)求出這個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值.

(3)在此拋物線上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.2,若函數(shù)y=4x2,的圖像與平行x軸的直線y=1.5交于兩點(diǎn),求這兩點(diǎn)間的距離.綜合練習(xí)3,如圖直線l經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)和B(0,4)兩點(diǎn),它與二次函數(shù)y=ax2的圖像在第一象限內(nèi)相交于P點(diǎn),若△AOP的面積為4.5,求二次函數(shù)的解析式.ABPOxy4,將拋物線y=x2向下平移后,使它的頂點(diǎn)C與它在x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)A,B組成等邊三角形ABC,求此拋物線的解析式.5,已知二次函數(shù)y=2x2+8mx+2m+3,如果它的圖像的頂點(diǎn)在x軸上,求m的值和頂點(diǎn)坐標(biāo).6,已知拋物線y=0.25x2,把它的頂點(diǎn)移到x軸上的點(diǎn)A,所得的拋物線與y軸交于點(diǎn)B,且線段OA,OB滿足關(guān)系OA-1=OB,試說明平移方法.練習(xí)二：一運(yùn)動(dòng)員推鉛球