數(shù)形結合主要是指數(shù)與形之間的一一對應關系

數(shù)形結合主要是指數(shù)與形之間的一一對應關系，其實質就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。因此，數(shù)形結合不僅僅是一種簡單的關系，更是一種數(shù)學思想（方法）。數(shù)與形是數(shù)學中最古老、最基本的兩個研究對象，它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關系，一方面各自獨立存在于自己的領域，另一方面兩者又完美地結合在一起，在宇宙空間釋放著關于空間形式與數(shù)量關系的無窮無盡的能量。從古到今，很多人曾經(jīng)對數(shù)與形的關系做過生動的描繪：從《九章算術》里的“析理以辭，解體用圖”到華羅庚“數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離”的詩句；從古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯的數(shù)陣圖、畢達哥拉斯定理（勾股定理）到美國數(shù)學家斯蒂恩提出的“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且創(chuàng)造性思索問題的解法”等等，所有這些都向我們深刻地描繪了數(shù)形之間那種美妙的契合關系。小學階段的數(shù)學學習中數(shù)形結合的思想具有得天獨厚的優(yōu)勢。第一，從小學數(shù)學教材的編寫來看，有關數(shù)形的內(nèi)容沒有被人為割裂，而是交替呈現(xiàn)，螺旋上升，為滲透數(shù)形結合的思想提供了可能；第二，小學是學生系統(tǒng)地學習數(shù)學的初級階段，他們頭腦中關于數(shù)與形沒有明顯的分隔符，是建構數(shù)形結合思想的極佳時期，為今后的數(shù)學學習乃至良好思維方式的形成奠定了基礎；第三，小學生的身心特點決定了他們的學習特點，在以形象思維為主漸漸向抽象思維的過渡中，數(shù)形的結合正是順利完成這個過渡的最好的媒介，借助形的形象來理解數(shù)的抽象，利用數(shù)的抽象來提升形的內(nèi)在邏輯，這也正是數(shù)學學習的本質。在課堂教學中，教師運用數(shù)形結合思想的領域常見于數(shù)概念、數(shù)的計算及數(shù)量（關系）的問題解決中。通常情況下以代數(shù)為出發(fā)點，通過各種形式揭示隱含在它內(nèi)部的幾何背景，啟發(fā)學生的思維，找到解題的途徑。但是，這并不是數(shù)形結合思想的全貌，在解決幾何問題時同樣要用到數(shù)形結合，即以幾何為出發(fā)點，將直觀的圖形與抽象的數(shù)學語言結合起來，將形象思維和抽象思維結合起來，實現(xiàn)具體形象、表象與抽象概念的聯(lián)系和轉化，化直觀為抽象，通過數(shù)量關系的研究來解決問題?？梢韵胂?，當學生的思維能夠自覺并且自由地穿梭在數(shù)與形之間，那是一個多么美妙的教與學的境界。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微數(shù)形結合的思想要完全落實在課堂教學中絕非易事，或左或右都會有形而上和形而下的嫌疑。因此，需要找到一些可操作、可檢測的點，讓數(shù)形結合的思想實實在在地刻畫于學生的頭腦中。經(jīng)過大量的課堂實踐，我認為數(shù)形結合思想在教學中有四種不同的表現(xiàn)形式，下面以一些教學片段為例逐一解釋說明。一、數(shù)形分工。在學生的學習中，數(shù)與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領域，另一方面又因為存在方式的不足互相補充。在教學“小數(shù)的意義”一課中，學生初步掌握了一位小數(shù)的意義，轉而學習兩位小數(shù)的意義時，我設計了這樣一個情境：學生能自動把兩個分數(shù)轉化為小數(shù)0.01和0.99,如果讓學生就此對兩個小數(shù)進行意義上的解釋并不是一件難事，但很容易陷入機械照搬一位小數(shù)意義理解的誤區(qū)。在這句話的下面配上兩幅圖后，學生會在頭腦中經(jīng)過快速的分析與比較，用百格圖把0.01和0.99的意義表達出來。這里，表面上數(shù)與形各有分工，實質上卻是在學生頭腦中補充0.01和0.99的存在方式，最后達到數(shù)形結合的目的，使學生對小數(shù)意義的理解更為完整。二、數(shù)形對應。數(shù)與形雖然存在于兩個系統(tǒng)中，但數(shù)系統(tǒng)中某一項的組成要素和形系統(tǒng)中某一項的要素在某種意義上有著一一對應的關系。以“1000以內(nèi)數(shù)的認識”一課為例，在學生通過例題學習初步理解數(shù)意義的基礎上，我設計了下面一項獨立作業(yè)：這道題目跟例題相比，在呈現(xiàn)方式上的最大區(qū)別是，一改例題的“具體的數(shù)一半具體半抽象的數(shù)一抽象的數(shù)”的順序，讓學生經(jīng)歷“抽象的數(shù)一半具體半抽象的數(shù)一具體的數(shù)”的過程：學生們首先從寫數(shù)的角度書寫803這個數(shù)；接著從數(shù)意義理解的角度，在計數(shù)器上畫出表示803所應該撥的珠子；然后從回歸生活的角度，在小棒圖中圈出803根小棒。反饋的重點則放在對十位上“0”的意義理解上，“書寫時十位上的零能不能省略？”“計數(shù)器上這個零在哪里？表示什么意思？”“圈小棒時如何表示十位上的零？”借助上面三個問題突破“數(shù)中間有零”的教學重點與難點。這道題目的另一個重要目的是幫助學生多角度理解803的意義，通過三個連續(xù)動作把具體的小棒圖、半具體半抽象的計數(shù)器、抽象的三位數(shù)中的各個數(shù)位一一對應在一起后，“八個百、零個十、三個一”就清晰、生動、準確地刻畫在學生的頭腦中了。三、數(shù)形聯(lián)系。即在數(shù)與形獨立、對應的基礎上，讓兩者接上關系，互相作用互相影響，以便于學生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質。在“分數(shù)的意義”一課中，學生借助大量的圖形操作，經(jīng)歷比較、歸納，抽象出分數(shù)意義的文字表達后，再要求他們運用所學知識解釋具體分數(shù)的意義時，很多學生往往只會停留在抽象的模仿階段，習慣用“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份”來解釋所有具體情境中的分數(shù)意義，雖然在教師的引導下，部分學生能夠及時糾正認識中的偏差，但這并不能完全證明學生已經(jīng)達到了學習目標。因此，我在這個教學環(huán)節(jié)中嘗試著適時添加或轉化為圖的形式，較好地改變了學生理解分數(shù)局限于語言文字層面的尷尬局面。同時也進一步詮釋了“如果一個特定的分數(shù)可以被轉化為一個圖形，那么有關分數(shù)意義的思想就整體地把握了，并且還具有學生各自的特點”。教學實錄如下：師：接下來請你運用剛才所學的知識，說說下面幾個分數(shù)的意義。生：1/8就是把單位“1”平均分成8份，表示這樣的1份的數(shù)。師：你能結合題目說得具體一點嗎？生：就是把人平均分成8份，頭部的長度表示了這樣的1份。師：是把人的體重平均分成8份嗎？這里的單位“1”是指什么？生：不是，是把人的身高平均分成8份，單位“1”是人的身高。師：對，找準單位“1”很重要，假設這條線段（教師畫草圖）表示單位“1”即人的身高，你能通過畫圖來進一步說明它的意義嗎？生：（邊畫圖邊講解）把這條線段也就是身高平均分成8份，第1份就是頭部。師：一個普通成年人的身高相當于8個頭部的長度，你們知道最美的身材是怎樣的嗎？一一九頭身，是什么意思呢？生：身高相當于9個頭部的長度，他們頭部的長度占身高的九分之一。生：第二題表示把長江干流平均分成5份，其中的3份受到了不同程度的影響。師：說說誰是單位“1”？生：長江所有的干流（水體）。師：如果這個正方形代表長江所有干流水體，你能把這個分數(shù)的意思在圖上表示嗎？（學生嘗試畫草圖）?！合乱活}是把死海的含鹽量平均分成10份，表層的含鹽量占了3/10。師：這里單位“1”是指誰？生：死海的含鹽量。生：錯了，單位“1”應該是死海表層的水。生：把死海表層的水平均分成了10份，鹽占了其中的3份，叫做3/10。師：你能用圖來解釋這個分數(shù)的意義嗎？四、數(shù)形變換。下面以幾何教學為例談談數(shù)形變換。這是小學數(shù)學（人教版四年級下）“三角形三邊關系”中的一道習題：從表面上看這道題非常簡單，絕大部分學生都能解答。如果我們的教學目標僅僅停留于此，那么本課教學就沒有意義。這道習題既然歸屬幾何領域，在設定教學目標時，我們就不能只關注它代數(shù)領域的邏輯推理，把目標降低為會用“a+b>c”進行準確而迅速的判斷，而要重視作為幾何的空間觀念的建立以及空間觀念中數(shù)的變化引起形的變化的規(guī)律。正是因為看到了這一點，我在挖掘這道習題背后的數(shù)學內(nèi)容時強調(diào)了形與數(shù)的結合，使簡單的判斷上升為復雜的數(shù)形變換。教學實錄如下：師：請同學們獨立完成此題，之后同桌交流。師：第1題你是怎么判斷的？（學生把每兩個數(shù)相加，與第3個數(shù)比較得出結果。）師：判斷正確，但老師有一個疑問，每道題都加三遍，有點麻煩。生：只要最短的兩邊之和大于第三條邊就行了。師：為什么呢？生：連最短兩邊的和都大于第三邊，其他比它長的兩邊加起來肯定大于第三邊了。師：好，這是判斷三邊關系最優(yōu)的方法，我們用它來判斷其余三道題。……師：第一組的三條線段非常有意思，3,4,5是三個連續(xù)的自然數(shù)，那是否可以得出這樣的結論，只要三邊的長度是三個連續(xù)自然數(shù)都可以圍成三角形呢？生：不一定。1，2,3不行，1加2等于3。生：一條邊是0也不行，0就表示其中一條線段沒有。師：對，除了0，1，2和1，2,3以外呢？舉舉例子看。生：都可以，比如：三條邊長度是7，8，9；100，101，102……師：有很多。大家想象一下，3,4,5三條線段圍成的圖形會是什么樣子的？（大多數(shù)學生無法想象。）生：是直角三角形。師：你的空間觀念太棒了！我們來看一看到底是什么三角形？（課件演示。）師：到中學我們還會學到這個三角形，有一個勾股定理，三邊分別稱作勾三股四弦五。師：第2題三條邊是3,3,3。它圍成的又是怎樣的三角形呢？生：是一個等邊三角形。（課件演示。）師：三條邊相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形。生：2,2,6,不能圍成三角形。（課件演示。）師：3,3,5,這一組線段圍成的三角形又是怎樣的呢？生：是等腰三角形。師：因為兩條邊相等是嗎？知識學得還真多。（課件演示。）師：第4題的等腰三角形我很感興趣。如果把5厘米的邊換一條，可以怎么換呢？為了方便研究，線段取整厘米數(shù)。生：1?5,第三條邊不能等于或大于6,因為3加3等于6。師：想象第三條邊是1厘米的時候，這個三角形是怎樣的？能用手表示一下嗎?生：是很尖的。（課件）師：第三條邊是2厘米的時候呢?生：再胖一些。師：第三條邊是3呢？4呢？（課件演示三邊分別為1，2,3,4時的三角形，以幫助學生感知圖形的變化。）師：現(xiàn)在如果保留5厘米的邊，把其中3厘米的邊換掉，又可以怎么換呢？……師：想象一下，第三條邊分別是5,6,7時，這條邊所對應的那個角會有什么變化？生：會越來越大。師：真厲害，我們一起來看圖，是否真的像這個同學所說的那樣？（屏幕顯示三條邊分別是5,6,7時的三角形圖形。）生：這條邊所對應的那個角也在慢慢變大，開始是銳角，后來是鈍角了。從上面的教學片段中不難看出學生的學習變得分外有價值：從“優(yōu)化圍成三角形三條邊的判斷方法”到“三條邊的長度分別是三個連續(xù)自然數(shù)的推理”、從“勾三股四弦五直角三角形的想象”到“等邊、等腰三角形的勾勒”、從“不能圍三角形的小棒的調(diào)換”到“三角形第三邊范圍的猜想”、從“邊的長度變化引起三角形形狀的變化”到“邊所對應的角也同時發(fā)生變化”等等，通過數(shù)與形之間的變化、聯(lián)系及自然的轉化引起學生的思考和討論，讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，糾正、補充著關于三角形三邊關系的錯誤或片面的認識，從而把三角形三邊關系的知識一步步引向深入。因此，這個片段對學生的學習起到了兩個方面的作用：一是讓學生從各自的經(jīng)驗背景出發(fā)，推出關于三角形三邊關系的合乎邏輯的知識假設變得相對嚴謹，二是讓學生感知到觀察、分析、解決問題需要從（數(shù)、形）多個角度去完善的思維方式。在教學中，三角形三邊關系的意義建構始終穿梭在數(shù)與形之間，學生比較深刻地體會到在三角形這個簡單的圖形中數(shù)的變化引起形的變化，形的背后是數(shù)的支撐，形與數(shù)互相影響、互相制約，學習顯得更具數(shù)學味和生命力。一個系統(tǒng)結合的例子數(shù)形分工、數(shù)形對應、數(shù)形聯(lián)系、數(shù)形變換四個維度既是數(shù)形結合思想的不同表現(xiàn)形式，又可以作為在教學中落實數(shù)形結合思想的一般順序。在“兩位數(shù)筆算乘法”的新知教學中，我一直在思考一個問題：如何在算理算法上突破以往的思維慣性，讓計算教學體現(xiàn)數(shù)形結合的思想呢？于是，我按照這個順序進行了嘗試，沒想到也取得了意想不到的效果。第一步：數(shù)形分工一一為筆算乘法的引入打下伏筆。師：看大屏幕，我們一起來解決一個問題：6位小朋友參加羽毛球訓練，教練員要求“每人準備30只羽毛球”，他們訓練了一個月后剩下的羽毛球只數(shù)分別是（如圖）：師：看到6個小朋友用剩下的羽毛球只數(shù)，你有什么想說的？生：6個人中有3個人訓練后剩下的羽毛球只數(shù)是一樣的，另外3個人也一樣。師：這個小朋友的眼睛真亮，他馬上看到了這6個數(shù)中有3個數(shù)是相同的，還有3個數(shù)也是相同的，一下子找準了這組數(shù)的特點。我按照這個小朋友的意思，把它們排排隊。老師把圖形也進行了整理：趙陽、孫虹、錢凡剩下的羽毛球只數(shù)都是12個，王芳、陳園、張晴剩下的羽毛球只數(shù)都是21只。師：老師想提一個數(shù)學問題：（板書）訓練前，6人一共有羽毛球多少只？你能不能也提一個問題，跟我這個問題能夠相對應的?生：訓練后，6人一共有多少只羽毛球？第二步：數(shù)形對應一一充分展示筆算乘法的算理。師：剛才同學們分別用口算的方法、豎式的方法嘗試計算了21X3的積。這兩種方法你看懂了嗎？為了證明大家已經(jīng)理解了，老師想和同學一起合作一下，我點豎式中的一個（部分）數(shù)，你們點出它相當于橫式中的哪一步？在這幅圖中，又是指哪一部分呢？（師點“3”，生點“3X1=3"，另一生指出了圖中王芳、陳園、張晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。師再指6,生圈3X20=60,另一生指出3人剩下的6盒羽毛球。）第三步：數(shù)形聯(lián)系一一為進一步理解算理與算法提供豐富的支撐。師：豎式中的每一步和口算、圖都是有密切聯(lián)系的，我們一起仔細觀看大屏幕：第四步：數(shù)形變換一一比較全面地展示算理與算法的多樣性。師：剛才我們計算了21X3和12X3,再把兩個積相加，算出還剩羽毛球99只。老師也解答了這個問