工程流體力學預備知識

工程流體力學預備知識第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六0.1標量、矢量和場標量(scalarquantity)：只具有大小而沒有方向的物理量，我們把它稱之為標量。矢量（Vector）：有一種物理量，僅用大小還不能全面的來描述它，還需要用方向來描述它。例如說，我們只知道一個人從學校門口走了1公里，就無法確定他到了什么地方。但如果還知道了他走的方向是正東，我們就能確定他到了什么地方了。這種既具有大小又具有方向的物理量，我們把它稱之為矢量。矢量與標量的根本區(qū)別是有沒有方向。第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六矢量具有平移不變性(translationinvariant)：把矢量在空間中平移，矢量的大小和方向不會改變，這種性質稱為矢量平移的不變性。

矢量的模(module)：矢量的大小稱為矢量的模。矢量的模記為：或者。在直角坐標(rectangularcoordinates)中，一個矢量可以用它在直角坐標系中的三個投影分量(component)來表示：第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六矢量的標積(scalarproduct)也稱為矢量的點乘，定義為矢量的矢積(vectorproduct)也稱為矢量的叉乘，定義為矢量的標積與矢積

其中i為由a和b根據(jù)右手螺旋定則判定的單位矢量。第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六場(field):在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點都有確定的量與之對應，我們稱在該區(qū)域上定義了一個場。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在周圍空間激發(fā)的磁場，空間充滿流體的壓力場等。如果這個量是標量我們稱該場為標量場；如果這個量是矢量，則稱該場為矢量場。如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。時變標量場和矢量場可分別表示為：第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六方向導數(shù)定義圖

0.2標量場的方向導數(shù)和梯度設M0是標量場φ=φ(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點M，MM0=ρ，如圖所示。若當M趨于M0時(即ρ趨于零時)，

的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點M0處沿l方向的方向導數(shù)，記為

標量場的方向導數(shù)第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點M0處沿l方向的方向導數(shù)必定存在，且為第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六標量場的梯度標量場φ(x,y,z)在l方向上的方向導數(shù)為：在直角坐標系中，令

：第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六其中矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點M0處的常矢量。則方向導數(shù)為由上式可見，當l與G的方向一致時，即cos(G,l°)=1時，標量場在點M處的方向導數(shù)最大，也就是說沿矢量G方向的方向導數(shù)最大，此最大值為第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六在標量場φ(M)中的一點M處，其方向為函數(shù)φ(M)在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標量場φ(M)在M點處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標系中，梯度的表達式為用漢密爾頓微分算子表示為第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是梯度在該方向上的投影。標量場的梯度函數(shù)建立了標量場與矢量場的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通過標量函數(shù)來研究，或者說標量場可以通過矢量場的來研究。標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）。梯度的性質標量場的梯度是矢量，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六設c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立：第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例0-1設標量函數(shù)r(x,y,z)是動點M(x,y,z)的矢量的模，即，試證明：。證：因為第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六所以證畢。第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六0.3矢量場的散度矢量場與矢量線：

在確定空間區(qū)域上的每一點有確定矢量與對應，則稱該空間區(qū)域上定義了一個矢量場。為了同時描述矢量場的方向和數(shù)值，除了直接用矢量的數(shù)值和方向來表示矢量場的大小以外，用矢量線來形象的描述矢量場分布。所謂矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線能夠描述矢量場在空間的方向，但不能夠直觀描述矢量場的大小。第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)定義，得矢量線方程：第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六矢量場的通量：

為了克服矢量線不能定量描述矢量場的大小的問題，引入通量的概念。在場區(qū)域的某點選取微元面積，穿過該微元面積的矢量線的總數(shù)（即該矢量與微元面積的點乘），稱為矢量場對于面積微元的通量?？梢娡渴菍κ噶烤€大小或者多少的某種描述。第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六矢量場F(x,y,z)對于曲面s的通量為曲面s上所有微小面積元通量的疊加：第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法向由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六表示通過閉合曲面有凈的矢量線流出表示有凈的矢量線流入表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產(chǎn)生矢量場的源的關系第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。因此散度是矢量通過包含該點的任意閉合微小曲面的通量與曲面微元體積之比的極限。第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六Gauss定理：直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場散度的積分：上式稱為矢量場的Gauss定理。第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六0.4正交曲線坐標系正交曲線坐標

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。該三條正交曲線組成確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系，三條正交曲線稱為坐標軸，描述坐標軸的量稱為坐標變量。第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六正交曲線坐標變換

三維空間中同一位置可以用不同的正交曲線坐標系描述。因此不同坐標系之間存在相互變換的關系，且這種變換關系只能是一一對應的。第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六在任何正交曲線坐標系中，存在一組與坐標軸相對應的單位矢量。如直角坐標系中的，圓柱坐標系中的等。正交曲線坐標系某個坐標方向上的單位矢量，它是該坐標變量為常數(shù)所對應曲面的單位法矢量。第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六曲面的法向矢量第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六坐標系中的弧長

在直角坐標系中，空間任意點的坐標變量的微小變化，變化前后的弧長是：

在正交曲線坐標系中，坐標變量的相鄰兩點的微小變化弧長為：第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六其中，稱為拉梅(Lame)系數(shù)。第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六散度的有關公式在任意正交曲線坐標系中，矢量場的散度表達式為：第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六0.5矢量場的旋度環(huán)量與旋渦源不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場與電流的關系。第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六環(huán)量的概念：矢量場對于閉合曲線L的環(huán)量定義為該矢量對閉合曲線L的線積分，記為：（1)如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。（2)如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)量不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六SirC.Hinshelwood:“Fluiddynamicistsweredividedintohydraulicengineerswhoobservedwhatcouldnotbeexplained,andmathematicianswhoexplainedthingsthatcouldnotbeobserved.”-—QuotedbyM.J.LighthillinNature178(1956),p434.第三十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六G.Birkhoff:“SydneyGoldstainhasobserved