【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】1直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

1第五課時直線和圓錐曲線的位置關(guān)系第十一章集合與常用邏輯1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個關(guān)于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.(1)交點(diǎn)個數(shù)(ⅰ)當(dāng)

時，曲線C和直線l只有一個交點(diǎn)；(ⅱ)當(dāng)

時，曲線C和直線l有兩個交點(diǎn)；(ⅲ)當(dāng)

時，曲線C和直線l沒有交點(diǎn).2a=0或a≠0，Δ=0a≠0，Δ＜0a≠0，Δ＞0(2)設(shè)直線l的斜率為k，直線l與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則弦長|AB|=

。3.

2.對稱問題：曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對稱的條件：

。

；

。

；

。

.4曲線上兩點(diǎn)所在的直線與曲線上兩點(diǎn)所在已知直線垂直(得出斜率)上兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)在對稱直線上的直線與曲線有兩個公共點(diǎn)(Δ＞0)曲線1.直線y=kx-k+1與橢圓的位置關(guān)系為（）A.相交B.相切C.相離D.不確定因?yàn)橹本€y=k（x-1）+1過定點(diǎn)（1，1），而點(diǎn)（1，1）在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓恒相交.5A2.已知雙曲線的方程為若過點(diǎn)P（1，1）的直線l與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則直線l的條數(shù)為（）A.4

B.3C.2

D.16A如圖，點(diǎn)P(1，1)在雙曲線兩支之間，所以過點(diǎn)P與雙曲線相切的切線有兩條；過點(diǎn)P與漸近線平行的兩條直線與雙曲線也只有一個公共點(diǎn)，故共有4條.73.過點(diǎn)(0，1)與拋物線y2=2px(p＞0)只有一個公共點(diǎn)的直線條數(shù)是（

）A.0

B.1C.2

D.38D

如圖，過點(diǎn)P（0，1）與拋物線相切的直線有兩條；與x軸平行的直線有一條，它們都與拋物線y2=2px（p＞0）只有一個公共點(diǎn)，故共有3條符合題意的直線.94.已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A,B，則|AB|等于(

)A.3

B.4C.3

D.4

10C

設(shè)直線AB的方程為y=x+b，

y=-x++3

y=x+b所以x1+x2=-1，進(jìn)而可求得線段AB的中點(diǎn)M(-

,-

+b).又由M(-

,-

+b)在直線x+y=0上可求得b=1.所以x2+x-2=0.由弦長公式可得11由，得x2+x+b-3=0,5.已知雙曲線

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與左支相交于A、B兩點(diǎn).如果|AF1|+|BF2|=2|AB|，那么|AB|=

.122a

由雙曲線的定義知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,則|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.又|AF1|+|BF1|=|AB|,|AF1|+|BF2|=2|AB|，所以|AF1|+2a+|BF2|-|AB|=2|AB|+2a-|AB|=|AB|+2a=4a，故|AB|=2a.131.位置關(guān)系(1)已知對k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0，1)B.(0，5)C.［1，5)∪(5，+∞)D.［1，5)(2)直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____.14C(3,2)2.弦長與弦中點(diǎn)已知拋物線y2=6x，過點(diǎn)(4,1)引一弦，使它恰在這點(diǎn)被平分，則此弦所在直線方程為___________.153x-y-11=03.對稱問題已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則直線l1、l2關(guān)于y軸對稱的充要條件是()16C

1.直線y-kx-1=0恒過點(diǎn)(0，1)，僅當(dāng)點(diǎn)(0，1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時，此直線才恒與橢圓有公共點(diǎn).所以，

≤1且m＞0，得m≥1.又m≠5，所以應(yīng)選C.2.將y=x-1代入拋物線y2=4x，經(jīng)整理得x2-6x+1=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=6，則所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2).173.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2).

則2y中·k=6,所以k=3.故所求直線的方程為3x-y-11=0.4.直線l1關(guān)于y軸對稱的直線方程為(-x)+my+5=0，即x-my-5=0.與直線l2的方程比較，知m=-n且p=-5.18由，得題型1：與弦相關(guān)的問題

將圓x2+y2=8上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

，對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變，得到曲線C；設(shè)M(2，1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)，直線l與曲線C交于A、B兩個不同的點(diǎn).(1)求曲線C的方程；(2)求m的取值范圍.19(1)設(shè)圓上的任意一點(diǎn)P′(x′，y′)變換x′=xy′=2y(2)因?yàn)橹本€l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又kOM=，所以直線l的方程為y=

x+m.20后對應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y)，則，代入圓的方程得曲線C的方程為

因?yàn)橹本€l與曲線C交于A、B兩個不同的點(diǎn)，所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)＞0，解得-2＜m＜2且m≠0.所以m的取值范圍是(-2，0)∪(0，2).【評注】直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題往往是轉(zhuǎn)化為方程組的解進(jìn)行研究.21由，消去y得x2+2mx+2m2-4=0.已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-1，0)、(1，0).直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-2.(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)N(，1)的直線l交動點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn)，且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線l的方程.22

(1)設(shè)M(x,y).因?yàn)閗AM·kBM=-2，所以(x

≠±1)，化簡得2x2+y2=2(x≠±1)，即為動點(diǎn)M的軌跡方程.(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).當(dāng)直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=

，則C()，D()，此時線段CD的中點(diǎn)不是N，不合題意.故設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-).23將C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2=2(x≠±1)，得

①

②①-②整理得所以直線l的方程為y-1=-(x-)，即2x+2y-3=0.24題型2：對稱問題

在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=kx+3對稱，求k的取值范圍.

設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱，直線BC的方程為x=-ky+m，代入y2=4x，得y2+4ky-4m=0.設(shè)B(x1，y1)、C(x2，y2)，線段BC的中點(diǎn)M(x0，y0).則

x0=2k2+m.25因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在直線l上，所以-2k=k(2k2+m)+3，所以又因?yàn)橹本€BC與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，所以Δ=16k2+16m＞0.把m代入化簡得即

，解得-1＜k＜0.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0).26【評注】對稱問題是高考的熱點(diǎn)之一，由對稱易得兩個關(guān)系式.本題可用“設(shè)而不求”的方法，由B、C兩點(diǎn)在拋物線上得“Δ＞0”.27如圖，若橢圓上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y=4x+m對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.28

方法1：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0).易知即因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在橢圓上，

①

②29所以.①-②得3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，即即6x0-y0=0，所以y0=6x0.

③又點(diǎn)(x0,y0)在直線l上，所以y0=4x0+m.

④30由③④得M(,3m).因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，所以即3()2+2·(3m)2＜6，解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為().31方法2：依題意設(shè)直線AB的方程為y=-14x+n.

y=-

x+n

消去y得25x2-8nx+16n2-48=0.因?yàn)橹本€AB與橢圓有兩個公共點(diǎn)A、B，所以Δ＞0，即n2＜.（*）32由，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0),所以即33又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線y=4x+m上，所以由(*)得

,解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是341.解圓錐曲線上的點(diǎn)關(guān)于某一直線對稱的問題的方式：圓錐曲線上的兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，求得過圓錐曲線上兩點(diǎn)的直線方程，代入圓錐曲線方程中，利用Δ>0得一關(guān)系式，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)在對稱直線上得到另一個關(guān)系式，從而求解.352.直線與圓錐曲線的關(guān)系中，要注意弦長公式的運(yùn)用，“設(shè)而不求”是常用的方法，解題中要注意應(yīng)用韋達(dá)定理及判別式.361.(2009·浙江卷)已知橢圓

(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若

則橢圓的離心率是（

）A.

B.

C.

D.

37D2.(2009·湖南卷)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形(記為Q).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)(包括邊界)時，求直線l的斜率的取值范圍.38

(1)依題意，設(shè)橢圓C的方程為

(a>b>0)，焦距為2c.由題設(shè)條件知，a2=8,b=c,所以故橢圓C的方程為

(2)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0).顯然，直線l的斜率k存在，所以直線l的方程為y=