【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞

1第二課時命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞第一章集合與常用邏輯

1．命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以①

的陳述句叫做命題.其中②的語句叫真命題，③

的語句叫假命題.

2．四種命題及其關(guān)系（1）若原命題表述的形式為：若p，則q，則其逆命題為④

；否命題為⑤

;逆否命題為⑥

.2判斷真假正確不正確若q，則p
若p，則q

若q，則p

（2）兩個命題互為逆否命題，它們有⑦

的真假性，兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性⑧

.

3．邏輯聯(lián)結(jié)詞

（1）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有⑨

.

（2）命題p∧q當(dāng)且僅當(dāng)⑩

時為真.

（3）命題p∨q當(dāng)且僅當(dāng)

時為假.

（4）命題

p當(dāng)且僅當(dāng)

時為真.3相同無關(guān)或、且、非p、q同真p、q同假p假1112

1.下列句子是命題的有（）①集合與邏輯；②3x-2＞0；③x2-673x+2010=0；④沒有公共點(diǎn)的兩條直線互相平行嗎？⑤把電腦打開；⑥2009≥2010.

A.1個B.2個

C.3個D.4個以上開語句、疑問句、祈使句都不是命題，不能判斷真假的語句也不是命題，故①②③④⑤都不是命題，⑥是假命題，選A.4A

2.若p、q是兩個簡單命題，且“p或q”的否命題是真命題，則必有（）

A.p真q真B.p假q假

C.p真q假D.p假q真

“p或q”的否命題是“p且q”，為真命題，故p假q假，選B.5B

3.（2009·廣州二模）命題“x0∈R,

-2x0+1＜0”的否定是（）

A.x0∈R,

-2x0+1≥0

B.x0∈R,

-2x0+1＞0

C.x∈R,x2-2x+1≥0

D.x∈R,x2-2x+1＜0

“存在”的否定為“任意”，“x2-2x+1＜0”的否定為“x2-2x+1≥0”，故選C.6C

4.已知四個命題：①1240能被3或5整除；②對任意的實(shí)數(shù)x，x2+x+1>0；③存在實(shí)數(shù)x，使函數(shù)y=log2（ax2+x+3）>0；④設(shè)A、B是兩個集合，命題“若xA，則x∈A∩B”的逆否命題.其中假命題的序號是

（填上所有假命題的序號）.

①②③正確，④的逆否命題為“若xA∩B，則x∈A”，為假命題.7④

5.已知命題p：|ax+1|<4，命題q：

{x|-3<x<5}.若pq，則

.

由p:-4<ax+1<4，得-5<ax<3.而pq，故易知a=-1.8a=-1

1.命題及關(guān)系（1）“若p則q”的否命題是①

.（2）命題p：y=cx為減函數(shù)，命題q：x2≥0.若“p∧q”為真命題，則c的取值范圍是②

.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）已知“p∨q”為真，且p為假，則q為③

（真或假）.9
若p，則q
（0,1）真（2）已知p：x＞1，q：x＜4，則“p∧q”的意義是④

，命題（p∨q）的真假性是⑤

.

3.四種命題關(guān)系已知原命題：“若xy=0，則x=0或y=0”，其逆命題為⑥

；否命題為⑦

；逆否命題為⑧

.10
若x=0或y=0，則xy=01<x<4假若xy≠0，則x≠0且y≠0若x≠0且y≠0，則xy≠0

4.量詞的否定（1）命題“x0∈R，＞0”的否定為⑨

.（2）命題“對任意的x∈R，x2+x+1>0”的否定為⑩

.

11x∈R，＜0或x-2010=0x0∈R，+x0+1≤0

題型1

命題的真假判斷指出下列各題中構(gòu)成的“p∨q”，“p∧q”，“p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.

（1）p：NZ，q：{0}∈N；（2）p：{矩形}{正方形}，q：{圓的內(nèi)接四邊形}{矩形}.

（1）p∨q：NZ或{0}∈N；p∧q：NZ且{0}∈N；p：N=Z或NZ.12
≠≠≠
≠≠因?yàn)閜真q假，所以“p∨q”為真，“p∧q”為假，“p”為假.（2）p∨q：{矩形}{正方形}或{圓的內(nèi)接四邊形}{矩形}；p∧q：{矩形}{正方形}且{圓的內(nèi)接四邊形}{矩形}；p：{矩形}={正方形}或{矩形}{正方形}，因?yàn)閜真q真，所以“p∨q”為真，“p∧q”為真，“p”為假.

【評注】由p、q的真假，判斷“p∨q”的真值時，可簡稱為“一真即真”；判斷“p∧q”的真值時，可簡稱為“一假則假”.13≠≠≠≠

已知命題p：“若a≥0，則方程x2+x-a=0有實(shí)數(shù)根”.寫出命題p的否命題和逆否命題，并分別判斷其真假.

否命題：若a＜0，則方程x2+x-a=0沒有實(shí)數(shù)根，該命題是假命題.

逆否命題：若方程x2+x-a=0無實(shí)數(shù)根，則a＜0，該命題為真命題.14

題型2

根據(jù)命題的真假解決相關(guān)問題已知命題p：“函數(shù)y=log2（x2+2x+a）的定義域?yàn)镽”，命題q：“若|x|<1，則x<a”.如果命題p是真命題，判斷“q”的真假，并說明理由.

因?yàn)槊}p是真命題，所以不等式x2+2x+a>0在R上恒成立，得Δ=4-4a<0，解得a>1.又當(dāng)a＞1時，有{x||x|<1}{x|x<a}成立，所以q是真命題，于是“q”是假命題.15

【評注】首先命題p為簡單命題，由對數(shù)的意義和不等式x2+2x+a>0在R上恒成立，得到了a>1，這是解決問題的第一個關(guān)鍵點(diǎn)，為判斷q的真假提供了幫助；其次要正確理解命題q的含義，并且懂得命題q與命題“q”的真假性相反，這是解決問題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而借助q的真假性去判斷“q”的真假.16

寫出并判斷命題：“若c＞0，則函數(shù)y=x2+x-c的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)”的逆否命題的真假.

因?yàn)閏＞0，所以Δ=1+4c>0，故原命題為真命題.逆否命題為：若函數(shù)y=x2+x-c的圖象與x軸無兩個交點(diǎn)，則c≤0.因?yàn)樵}與它的逆否命題同真假，所以，該逆否命題是真命題.17

題型3

全稱命題與特稱命題

寫出命題“能被8整除的數(shù)能被4整除”的否定和否命題，并判斷真假.

能被8整除的數(shù)能被4整除，顯然這是一個全稱命題.

故它的否定為：存在一個能被8整除的數(shù)，但它不能被4整除，此命題是假命題；

它的否命題為：不能被8整除的數(shù)也不能被4整除，此命題亦為假命題.18

【評注】關(guān)于對量詞的否定，需要掌握兩點(diǎn)：一是能否分清楚命題是全稱命題還是特稱命題，本例題的命題是全稱命題，因?yàn)槿魏文鼙?整除的數(shù)一定能被4整除；二是要否定量詞，同時否定結(jié)論，本例的全稱量詞是“任何”，否定它要用特稱量詞“存在”，并且命題的結(jié)論要完全被否定，這是含有量詞命題的否定形式，19即條件中的量詞互換，結(jié)論被否定.注意與否命題的區(qū)別，否命題不僅否定條件，也否定結(jié)論.全稱量詞如“任何”“一切”“所有”等表達(dá)的邏輯為“對任意的事物x，都具有性質(zhì)p（x）”，存在量詞如“有些”“某個”“有”等表達(dá)的邏輯為“存在某些（某個）x，具有性質(zhì)p（x）”.20

已知命題p：“x∈［1,2］,

x2-a≥0”，命題q：“x0∈R，+2ax0+2-a=0”.若“p且q”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）

A.a=1或a≤-2

B.a≤-2或1≤a≤2

C.a≥1

D.-2≤a≤121

由“p且q”為真命題，則p、q都是真命題.

p：x2≥a在［1，2］上恒成立，只需

a≤（x2）min=1，所以命題p為真命題的意義是：a≤1；

q：設(shè)f（x）=x2+2ax+2-a.存在x∈R,使f（x）=0，只需Δ=4a2-4（2-a）≥0,即a2+a-2≥0，解得a≥1或a≤-2.所以命題q為真命題的意義是：a≥1或a≤-2.

綜上，得a=1或a≤-2，故選A.22

1.簡單命題分條件和結(jié)論兩部分，復(fù)合命題是由簡單命題通過“或”“且”“非”構(gòu)成的.由簡單命題的真假可以判斷復(fù)合命題的真假，反之，由復(fù)合命題的真假也能判斷構(gòu)成該復(fù)合命題的簡單命題的真假.如p真，q假，則“p∨q”真，“p且q”假，“p”假；反之，若“p∨q”真，則p、q至少有一個真.23

2.“或”“且”“非”這三個邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成了命題間的運(yùn)算，它們分別對應(yīng)著真值集合“并”“交”“補(bǔ)”.因此，邏輯聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算可以用集合的運(yùn)算來描述.

3.在命題關(guān)系中，特別要區(qū)分命題的否定與否命題：命題的否定總是與原命題的真假性相對立，是保留條件，否定結(jié)論；24否命題是否定原命題的條件仍作條件，且否定原命題的結(jié)論仍作結(jié)論，它與原命題的真假沒有必然的聯(lián)系.如命題p：已知a、b為實(shí)數(shù)，若|a|+|b|=0，則a=b，否命題為：已知a、b為實(shí)數(shù)，若|a|+|b|≠0，則a≠b；命題的否定為：已知a、b為實(shí)數(shù)，若|a|+|b|=0，則a≠b.四種命題中，原命題與逆否命題同真假，是等價命題，逆命題與否命題同真假，也是等價命題.25

4.含有一個量詞（全稱量詞或特稱量詞）的命題的否定，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，如“x∈R,x2≥0”的否定是“x0∈R,

<0”.

5.分式不等式的否定不可直接改不等號，而應(yīng)先求解再否定，如“＞0”的否定為“x≤0”.26

1.（2008·廣東卷）已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）

A.（p）∨q

B.p∧q

C.（p）∧（q）D.（p）∨（

q）命題p、q都是全稱命題，p真，q假，所以“p”假，“q”真.答案：D27