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文檔簡介
第1課時離散型隨機(jī)變量的均值必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望)?求離散型隨機(jī)變量X的均值都有哪些步驟?均值有什么作用?2.兩點分布、二項分布以及超幾何分布的均值計算公式分別怎么表示?3.若X與Y都是隨機(jī)變量,且Y=aX+beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0)),則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y))與Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))之間具有怎樣的關(guān)系?1.離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義:一般地,如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示:Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=eq\i\su(i=1,n,x)ipi為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).(2)意義:它刻畫了離散型隨機(jī)變量X的平均取值.(3)性質(zhì):如果X和Y都是隨機(jī)變量,且Y=aX+b(a≠0),則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.離散型隨機(jī)變量的均值和樣本的平均數(shù)相同嗎?提示:不相同.離散型隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均數(shù)是一個隨機(jī)變量,它隨樣本的不同而變化.2.常見的幾種分布的數(shù)學(xué)期望名稱兩點分布二項分布超幾何分布公式E(X)=pE(X)=npE(X)=eq\f(nM,N)1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個隨機(jī)數(shù)值.()(2)隨機(jī)變量的均值相同,則兩個分布也一定相同.()(3)若X服從兩點分布,則E(X)=np.()提示:(1)×.離散型隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不具有隨機(jī)性.(2)×.兩個隨機(jī)變量的分布相同,則它們的均值一定相同;反之不一定成立.(3)×.若X服從兩點分布,則E(X)=p.2.若隨機(jī)變量X的分布列為X-101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)則E(X)=()A.0 B.-1 C.-eq\f(1,6) D.-eq\f(1,2)【解析】選C.E(X)=(-1)×eq\f(1,2)+0×eq\f(1,6)+1×eq\f(1,3)=-eq\f(1,6).3.(教材二次開發(fā):例題改編)設(shè)E(X)=10,則E(3X+5)=________.【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.答案:35關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一離散型隨機(jī)變量均值公式及性質(zhì)(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101Peq\f(1,3)eq\f(1,5)m若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,則a的值為________.【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得eq\f(1,3)+eq\f(1,5)+m=1,解得m=eq\f(7,15).E(X)=(-1)×eq\f(1,3)+0×eq\f(1,5)+1×eq\f(7,15)=eq\f(2,15).因為E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=eq\f(2,15)a+3=5,所以a=15.答案:152.已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-2-1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).分析:先由分布列的性質(zhì)求得m,再利用均值公式求E(X),然后利用均值的性質(zhì)求解E(Y).【解析】(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得eq\f(1,4)+eq\f(1,3)+eq\f(1,5)+m+eq\f(1,20)=1,解得m=eq\f(1,6).(2)E(X)=(-2)×eq\f(1,4)+(-1)×eq\f(1,3)+0×eq\f(1,5)+1×eq\f(1,6)+2×eq\f(1,20)=-eq\f(17,30).(3)方法一:由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(17,30)))-3=-eq\f(62,15).方法二:由于Y=2X-3,所以Y的分布列如表:Y-7-5-3-11Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,20)所以E(Y)=(-7)×eq\f(1,4)+(-5)×eq\f(1,3)+(-3)×eq\f(1,5)+(-1)×eq\f(1,6)+1×eq\f(1,20)=-eq\f(62,15).對于aX+b型的隨機(jī)變量求均值的方法(1)利用均值的性質(zhì)求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ-101Peq\f(1,6)eq\f(1,3)m若η=aξ+3,E(η)=eq\f(7,3),則a=()A.-1B.-2C.-3D.-4【解析】選B.由分布列的性質(zhì)得eq\f(1,6)+eq\f(1,3)+m=1,所以m=eq\f(1,2).所以E(ξ)=-1×eq\f(1,6)+0×eq\f(1,3)+1×eq\f(1,2)=eq\f(1,3).所以E(η)=E(aξ+3)=aE(ξ)+3=eq\f(1,3)a+3=eq\f(7,3),得a=-2.類型二求常見的幾種分布的均值(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【角度1】兩點分布與二項分布的均值【典例】某運(yùn)動員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)Y的均值.【思路導(dǎo)引】(1)利用兩點分布求解.(2)利用二項分布的均值公式求解.【解析】(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如表:X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=np=5×0.6=3.本例考查求兩點分布與二項分布的均值,同時考查了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例題干不變,(2)改為“重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)為Y,命中一次得3分”,求5次投籃得分的均值.【解析】由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=np=5×0.6=3.設(shè)投籃得分為變量η,則η=3Y.所以E(η)=E(3Y)=3E(Y)=3×3=9.【角度2】超幾何分布的均值【典例】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取2件,用X表示取到次品的個數(shù),則E(X)等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15)D.1【思路導(dǎo)引】先確定分布類型,可以求出分布列后再求均值,也可以直接利用超幾何分布的均值公式求解.【解析】選A.方法一:P(X=0)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))=eq\f(7,15),P(X=1)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))=eq\f(7,15),P(X=2)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))=eq\f(1,15).所以E(X)=1×eq\f(7,15)+2×eq\f(1,15)=eq\f(3,5).方法二:由題意知X服從N=10,M=3,n=2的超幾何分布,則E(X)=eq\f(nM,N)=eq\f(3,5).求常見的幾種分布的均值的關(guān)注點(1)關(guān)鍵:根據(jù)題意準(zhǔn)確判斷分布類型;(2)計算:若題中離散型隨機(jī)變量符合兩點分布、二項分布、超幾何分布,可直接代入公式求得期望.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有2節(jié)廢電池.(1)若無放回地每次取一節(jié)電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及期望;(2)若有放回地每次取一節(jié)電池檢驗,求檢驗4次取到好電池次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由題意,X可取的值為1,2,3,則P(X=1)=eq\f(3,5),P(X=2)=eq\f(2,5)×eq\f(3,4)=eq\f(3,10),P(X=3)=eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×1=eq\f(1,10).抽取次數(shù)X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)E(X)=1×eq\f(3,5)+2×eq\f(3,10)+3×eq\f(1,10)=1.5.(2)由題意,每次檢驗取到好電池的概率均為eq\f(3,5),故Y~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(3,5))),則E(X)=4×eq\f(3,5)=eq\f(12,5).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會均等)3個球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】(1)由題意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))=eq\f(5,42),P(X=4)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))=eq\f(10,21),P(X=5)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))=eq\f(5,14),P(X=6)=eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))=eq\f(1,21).所以X的分布列為X3456Peq\f(5,42)eq\f(10,21)eq\f(5,14)eq\f(1,21)(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=eq\f(13,3).類型三均值的實際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì),基地收益如表所示:周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時收益為20萬元;有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請說明理由.四步內(nèi)容理解題意條件:(1)藥材需在兩天內(nèi)采摘完畢且基地員工一天只完成一處采摘;(2)給出了基地收益與天氣的關(guān)系表格;(3)給出外聘工人的收益情況.結(jié)論:(1)求基地收益X的分布列及基地預(yù)期收益;(2)該基地是否外聘工人作出決策.思路探求(1)列出基地收益X的取值及求出相應(yīng)概率,按求隨機(jī)變量均值的步驟求解;(2)求出外聘工人時的預(yù)期收益,與不外聘工人的預(yù)期收益比較,通過討論外聘工人的成本解決問題.書寫表達(dá)X2015107.5P0.360.240.240.16eq\a\vs4\al(②)基地的預(yù)期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元.③(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=(16-a)萬元,E(Y)-E(X)=1.6-a,綜上,當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時,不外聘工人;成本低于1.6萬元時,外聘工人;成本恰為1.6萬元時,是否外聘工人均可以.注意書寫的規(guī)范性:①根據(jù)X的實際意義,寫出X的全部取值,并求出X的每個值的概率;②寫出X的分布列;③利用定義求出均值.題后反思均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對體育比賽的成績預(yù)測,消費預(yù)測,工程方案的預(yù)測,產(chǎn)品合格率的預(yù)測,投資收益的預(yù)測等方面,都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計.均值實際應(yīng)用問題的解題策略首先應(yīng)把實際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)期望的大小作出判斷.甲、乙兩射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽,射擊相同的次數(shù),已知兩運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán).將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示.(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙=8),以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率;(2)根據(jù)這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).【解析】(1)由題圖乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.(2)因為E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,則有E(X甲)>E(X乙),所以估計甲的水平更高.【拓展延伸】概率模型的三個解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機(jī)變量的分布列,計算隨機(jī)變量的均值.(3)對照實際意義,回答概率,均值等所表示的結(jié)論.【拓展訓(xùn)練】某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求Y的分布列及均值E(Y).【解析】(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知,eq\x\to(A)表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”.P(eq\x\to(A))=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P(eq\x\to(A))=1-0.216=0.784.(2)Y的可能取值為200元,250元,300元.P(Y=200)=P(X=1)=0.4,P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2,因此Y的分布列為Y200250300P0.40.40.2E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).K課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.20.5m則X的均值是()A.2 B.2.1C.2.3 D.隨m的變化而變化【解析】選B.因為0.2+0.5+m=1,所以m=0.3,所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.2.口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的均值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.2D.eq\f(8,3)【解析】選D.
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