2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 高考大題研究課六 向量法求空間角與距離 課件（54張）

高考大題研究課六向量法求空間角與距離

例1[2023·河北滄州模擬]如圖，在三棱錐P-ABC中，AB是△ABC外接圓的直徑，△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，PB＝AB，BC＝4.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求直線AB與平面AEF所成角的正弦值．

題后師說(shuō)利用空間向量求線面角的解題步驟鞏固訓(xùn)練1[2023·江西贛州模擬]如圖，四棱錐P-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，PA⊥平面ABCD.點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，且平面AMD⊥平面PCD.(1)證明：AM⊥平面PCD；(2)求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．

題后師說(shuō)用法向量求二面角的關(guān)鍵是正確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)和法向量，再利用兩個(gè)平面的夾角公式求解．

例3[2023·遼寧沈陽(yáng)模擬]如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，CF⊥BC，CF＝BC＝2，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是PD，AB中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PBC；(2)若CE與平面PCF所成角θ為30°，求點(diǎn)B到平面CEF的距離d.

題后師說(shuō)利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟

解析：(1)證明：因?yàn)閘∥AB，l?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB∥平面PCD.因?yàn)锳B?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.因?yàn)椤螧OC＝45°，所以∠BOC＝∠OCD＝∠ODC＝45°，所以∠DOC＝90°，即OC⊥OD.

真題展臺(tái)1.[2022·新高考Ⅰ卷](多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則(

)A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°答案：ABD

如圖(3)，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，連接BO，A1B.易證A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO為直線C1B與平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C錯(cuò)誤．如圖(4)，因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正確．故選ABD.

3．[2022·新高考Ⅱ卷]如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．解析：(1)證明：方法一連接OA.因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以O(shè)A＝OB.取AB的中點(diǎn)D，連接OD，DE，則有OD⊥AB.又AB⊥AC，所以O(shè)D∥AC.因?yàn)镺D?平面PAC，AC?平面PAC，所以O(shè)D∥平面PAC.因?yàn)镈，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PA.因?yàn)镈E?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.因?yàn)镺D，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC.方法二連接OA.因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以O(shè)A＝OB.延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)H，連接PH.因?yàn)锳B⊥AC，所以△ABH為直角三角形．又OA＝OB，則可得OA＝OB＝OH，所以點(diǎn)O為BH的中點(diǎn)．在△PBH中，O，E分別為BH，PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PH.因?yàn)镺E?平面PAC，PH?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC.

4.[2022·北京卷]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面BCC1B1；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：AB⊥MN；條件②：BM＝MN.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．

選擇條件②.由(1)知四邊形DNMB1是平行四邊形，所以DB1＝MN.又BM＝MN，所以DB1＝BM.由(1)知AB＝A1B1，又AB＝BC，M，D分別是A1B1，BC的中點(diǎn)，所以BD＝B1