概率分布期望方差匯總

1.編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.（1）求隨機(jī)變量X的分布列；（2）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.解（1）P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=3）==；∴隨機(jī)變量X的分布列為X013P（2）E（X）=1×+3×=1.D（X）=(1-0)2·+(1-1)2·+(3-1)2·=1.2某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求：（1）X的分布列；（2）X的均值.解（1）X的所有可能取值為0，10，20，50，60.P（X=0）==；P（X=10）=×+×××=;P(X=20)=×××=;P(X=50)=×=;P(X=60)==.故X的分布列為X010205060P（2）E（X）=0×+10×+20×+50×+60×=3.3(元).3（本小題滿分13分） 為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。 解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。（2）易見只有編號(hào)為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品 故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品，（3）的取值為0，1，2。 所以的分布列為品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)．6．解：（I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為………………4分X的數(shù)學(xué)期望為………………6分（II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：………………8分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：………………10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.7、山東理18．（本小題滿分12分）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.7．解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因?yàn)橛蓪?duì)立事件的概率公式知紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為（II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此由對(duì)立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0．10．350．40．15因此20．解（Ⅰ）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2．用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，P（A1）＞P（A2）,甲應(yīng)選擇LiP（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P（B2）＞P（B1）,乙應(yīng)選擇L2．（Ⅱ）A,B分別表示針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知,又由題意知，A,B獨(dú)立，的分布列為X012P0．040．420．548、四川理18．（本小題共12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)。（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；8．解析：（1）所付費(fèi)用相同即為元。設(shè)付0元為，付2元為，付4元為則所付費(fèi)用相同的概率為（2）設(shè)甲，乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為，可為分布列9、天津理16．（本小題滿分13分）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.9．本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題的能力.滿分13分.（I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則（ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學(xué)期望10重慶理17．（本小題滿分13分）（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中：（Ⅰ）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；（Ⅱ）申請的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望10．（本題13分）解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題.（I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為解法二：設(shè)對(duì)每位申請人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為（II）ξ的所有可能值為1，2，3.又綜上知，ξ有分布列ξ123P從而有11.（2008·全國Ⅰ理，20）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;(2)表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求的期望.解（1）設(shè)1、2分別表示依方案甲和依方案乙需化驗(yàn)的次數(shù)，P表示對(duì)應(yīng)的概率，則方案甲中1的分布列為1234P方案乙中2的分布列為123P0若甲化驗(yàn)次數(shù)不少于乙化驗(yàn)次數(shù),則P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］+P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4)=0+×（0+）+×（0++）+==0.72.(2)E（）=1×0+2×+3×==2.4.12.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B.由題意得(1-P(B))2=(1-p)2=,解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率為.（2）由題設(shè)和（1）知P(A)=,P()=,P(B)=,P()=.可能的取值為0，1，2，3，故P(=0)=P()P()=×=,P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）=×+2×××=,P(=3)=P(A)P(B·B)=×=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望E（）=0×+1×+2×+3×=2.13.設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個(gè)，并且取出不再放回，若以和分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù).（1）求的分布列、期望值及方差；（2）求的分布列、期望值及方差.解（1）的可能值為0，1，2.若=0，表示沒有取出次品，其概率為：P（=0）==;同理，有P（=1）==；P（=2）==.∴的分布列為：012P∴E（）=0×+1×+2×=.D（）=(0-)2×+×+×=++=.(2)的可能值為1，2，3，顯然+=3.P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=3)=P(=0)=.∴的分布列為：123PE（）=E（3-）=3-E（）=3-=.∵=-+3，∴D（）=（-1）2D（）=.14.某地區(qū)的一個(gè)季節(jié)下雨天的概率是0.3，氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨，若下雨而不做處理，每天會(huì)損失3000元，若對(duì)當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理，可使產(chǎn)品不受損失，費(fèi)用是每天500元.（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的分布列，并求其平均值；（2）若該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的分布列.計(jì)算的平均值，并說明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇？解（1）設(shè)為損失數(shù)，分布列為：03000P0.70.3∴E（）=3000×0.3=900（元）.（2）設(shè)為損失數(shù)，則P（=0）=0.7×0.8=0.56.P(=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.P（=3000）=0.3×0.2=0.06.分布列為：05003000P0.560.380.06∴E（）=0+500×0.38+3000×0.06=370平均每天損失為370元.∵370＜900，∴按天氣預(yù)報(bào)作防雨處理是正確的選擇.15.（2008·湖北理，17）袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào).（1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,試求a,b的值.解（1）的分布列為01234P∴E（）=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.D（）=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D（）=a2D（）,得a2×2.75=11,即a=±2.又E（）=aE（）+b,所以當(dāng)a=2時(shí),由1=2×1.5+b,得b=-2.當(dāng)a=-2時(shí),由1=-2×1.5+b,得b=4.∴或即為所求.16.A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效.若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.（1）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；（2）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲