蘇版八年級(jí)（上冊(cè)）全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固提高

/全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固〔提高[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解全等三角形的概念和性質(zhì).能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法.能利用三角形全等進(jìn)行證明.掌握綜合法證明的格式；3．會(huì)作角的平分線.了解角的平分線的性質(zhì).能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì).會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][要點(diǎn)梳理][全等三角形單元復(fù)習(xí).知識(shí)要點(diǎn)]一般三角形直角三角形判定邊角邊〔SAS角邊角〔ASA角角邊〔AAS邊邊邊〔SSS兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理〔HL性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等.對(duì)應(yīng)角相等〔其他對(duì)應(yīng)元素也相等.如對(duì)應(yīng)邊上的高相等備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.2.角的平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn).且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段.構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ).這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具.是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形.可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：<1>證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.<2>利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.<3>等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：<1>利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.<2>證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.<3>利用角平分線的判定進(jìn)行證明.<4>同角〔等角的余角〔補(bǔ)角相等.<5>對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系〔平行、垂直的方法：可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等.得到對(duì)應(yīng)角相等.再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:<1>作公共邊可構(gòu)造全等三角形；<2>倍長(zhǎng)中線法；<3>作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；<4>利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:〔1直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等.需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.〔2如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí).則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.〔3如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系.此時(shí)應(yīng)添置輔助線.使之出現(xiàn)全等三角形.通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).[典型例題]類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形<1>．倍長(zhǎng)中線法1、已知.如圖.△ABC中.D是BC中點(diǎn).DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系.并證明你的結(jié)論.[思路點(diǎn)撥]因?yàn)镈是BC的中點(diǎn).按倍長(zhǎng)中線法.倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段DF.使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF.△FDC≌△GDB.這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了△BEG中.利用兩邊之和大于第三邊可證.[答案與解析]BE＋CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD到G.使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF〔SAS∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB<SAS>∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF[總結(jié)升華]有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長(zhǎng)中線法〔或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段.舉一反三：[變式]已知：如圖所示.CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線.且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．[答案]證明：延長(zhǎng)CE至F使EF＝CE.連接BF．∵EC為中線.∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中.∴△AEC≌△BEF〔SAS．∴AC＝BF.∠A＝∠FBE．〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等又∵∠ACB＝∠ABC.∠DBC＝∠ACB＋∠A.∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB.∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線.∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中.∴△FCB≌△DCB〔SAS．∴CF＝CD．即CD＝2CE．<2>．作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示.在△ABC中.∠C＝2∠B.∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．[答案與解析]證明：在AB上截取AE＝AC．在△AED與△ACD中.∴△AED≌△ACD〔SAS．∴ED＝CD．∴∠AED＝∠C<全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等>．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由圖可知：∠AED＝∠B＋∠EDB.∴2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED．即BE＝CD．∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD<等量代換>．[總結(jié)升華]本題圖形簡(jiǎn)單.結(jié)論復(fù)雜.看似無(wú)從下手.結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)AB＞AC．故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法．在AB上截取AE＝AC．這樣AB就變成了AE＋BE.而AE＝AC．只需證BE＝CD即可．從而把AB＝AC＋CD轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問(wèn)題．舉一反三：[變式]如圖.AD是的角平分線.H.G分別在AC.AB上.且HD＝BD.<1>求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；<2>若∠B＋2∠DGA＝180°.請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系.并加以證明.[答案]證明：〔1在AB上取一點(diǎn)M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B與∠AHD互補(bǔ).〔2由〔1∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3.利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作構(gòu)造全等三角形3、如圖所示.已知△ABC中AB＞AC.AD是∠BAC的平分線.M是AD上任意一點(diǎn).求證：MB－MC＜AB－AC．[思路點(diǎn)撥]因?yàn)锳B＞AC.所以可在AB上截取線段AE＝AC.這時(shí)BE＝AB－AC.如果連接EM.在△BME中.顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明ME＝MC.則結(jié)論成立．[答案與解析]證明：因?yàn)锳B＞AC.則在AB上截取AE＝AC.連接ME．在△MBE中.MB－ME＜BE〔三角形兩邊之差小于第三邊．在△AMC和△AME中.∴△AMC≌△AME〔SAS．∴MC＝ME〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．又∵BE＝AB－AE.∴BE＝AB－AC.∴MB－MC＜AB－AC．[總結(jié)升華]充分利用角平分線的對(duì)稱性.截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.舉一反三：[變式]如圖.AD是△ABC的角平分線.AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC[答案]證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線.∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS∴DE＝DC在△BED中.BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC〔4.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段4、如圖所示.已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn).點(diǎn)F在BC上.且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．[思路點(diǎn)撥]四邊形ABCD為正方形.則∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE說(shuō)明AE為∠FAD的平分線.按常規(guī)過(guò)角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離.而E到AD的距離已有.只需作E到AF的距離EM即可.由角平分線性質(zhì)可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題中要證AF＝AD＋CF．根據(jù)圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．從而把證AF＝AD＋CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問(wèn)題．[答案與解析]證明：作ME⊥AF于M.連接EF．∵四邊形ABCD為正方形.∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE.∴AE為∠FAD的平分線.∴ME＝DE．在Rt△AME與Rt△ADE中.∴Rt△AME≌Rt△ADE<HL>．∴AD＝AM<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>．又∵E為CD中點(diǎn).∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF與Rt△ECF中.∴Rt△EMF≌Rt△ECF<HL>．∴MF＝FC<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>．由圖可知：AF＝AM＋MF.∴AF＝AD＋FC<等量代換>．[總結(jié)升華]與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段.構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.5、如圖所示.在△ABC中.AC=BC.∠ACB=90°.D是AC上一點(diǎn).且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E..求證：BD是∠ABC的平分線．[答案與解析]證明：延長(zhǎng)AE和BC.交于點(diǎn)F.∵AC⊥BC.BE⊥AE.∠ADE=∠BDC〔對(duì)頂角相等.∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA．則AF=BD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等．∵AE=BD.∴AE=AF.即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中.則Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS．所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.即BD是∠ABC的平分線．[總結(jié)升華]如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等.不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件.使問(wèn)題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題[高清課堂：379111直角三角形全等的判定.鞏固練習(xí)5]6、在△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC.直線經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C.過(guò)A.B兩點(diǎn)分別作的垂線AE.BF.垂足分別為E.F.〔1如圖1當(dāng)直線不與底邊AB相交時(shí).求證：EF＝AE＋BF.〔2將直線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn).使與底邊AB相交于點(diǎn)D.請(qǐng)你探究直線在如下位置時(shí).EF、AE、BF之間的關(guān)系.①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.[答案與解析]證明：〔1∵AE⊥.BF⊥.∴∠AEC＝∠CFB＝90°.∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°.∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中.∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE＝CF.CE＝BF∵EF＝CE＋CF.∴EF＝AE＋BF。〔2①EF＝AE－BF.理由如下：∵AE⊥.BF⊥.∴∠AEC＝∠CFB＝90°.∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°.∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE＝CF.CE＝BF∵EF＝CF－CE.∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①.[總結(jié)升華]解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過(guò)程中.哪些關(guān)系發(fā)生了變化.哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；原來(lái)的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；幾種變化圖形之間.證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系.都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程.其結(jié)論有時(shí)變化.有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：[變式]已知：在△ABC中.∠BAC＝90°.AB＝AC.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)AD.以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．〔1當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)〔與點(diǎn)B不重合.如圖1.求證：CF＝