歐氏空間和酉空間

歐氏空間和酉空間第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六內(nèi)積及歐氏空間的定義定義1設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的向量空間。

如果對(duì)于V中任意一對(duì)向量ξ，η，有一個(gè)確定的記作<ξ,η>的實(shí)數(shù)與它們對(duì)應(yīng)，叫做向量ξ與η的內(nèi)積，并且下列條件被滿足：這里ξ，η，ζ是V的任意向量，a是任意實(shí)數(shù)，那么V叫做對(duì)這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的一個(gè)歐幾里得（Euclid）空間（簡(jiǎn)稱歐氏空間）第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1η=(y1,y2,…,yn)在Rn里，對(duì)于任意兩個(gè)向量ξ=x1,x2,…,xn）容易驗(yàn)證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而Rn對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來(lái)說(shuō)作成一個(gè)歐氏空間第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義2設(shè)ξ是歐氏空間的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)〈ξ，ξ〉的

算術(shù)根叫做ξ的長(zhǎng)度用符號(hào)|ξ|

表示：這樣，歐氏空間的每一個(gè)向量都有一個(gè)確定的長(zhǎng)度.零向量的長(zhǎng)度是零,任意非零向量的長(zhǎng)度是一個(gè)正數(shù).第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5令Rn是例1中的歐氏空間,Rn的向量ξ=x1,x2,…,xn）的長(zhǎng)度是由長(zhǎng)度的定義,對(duì)于歐氏空間中的任意向量ξ和任意實(shí)數(shù)a,有這就是說(shuō),一個(gè)實(shí)數(shù)a與一個(gè)向量ξ的乘積的長(zhǎng)度等于a的絕對(duì)值與ξ的長(zhǎng)度的乘積第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量ξ,η,有不等式定理8.1.1當(dāng)且僅當(dāng)ξ與η線性相關(guān)時(shí),上式才取等號(hào)例6考慮例1的歐氏空間Rn,由不等式(6)推出,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1,a2,……,an,b1,b2,……,bn,有不等式不等式（7）叫做柯西（Cauchy)不等式第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)ξ和η是歐氏空間的兩個(gè)非零向量。ξ與η的夾角由以下公式定義：定義3定義4歐氏空間的兩個(gè)向量ξ與η說(shuō)是正交的，如果

〈ξ，η〉=0

例如，在歐氏空間Rn

里，向量

(i)

i=(0,……，0，1，0，……0），i=1，2，……，n,兩兩正交第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六在一個(gè)歐氏空間里，如果向量ξ與向量η1，η2，……ηr中每一個(gè)正交，那么ξ與η1，η2，……,ηr的任意一個(gè)線形組合也正交。

定理8.1.2第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義1歐氏空間V的一組兩兩正交的非零向量叫做V的一個(gè)正交組如果一個(gè)正交組的沒(méi)一個(gè)向量都是單位向量，這個(gè)正交組就叫做一個(gè)規(guī)范正交組例1向量α1=(0,1,0),構(gòu)成R3的一個(gè)規(guī)范正交，因?yàn)檎换诰彭?yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.2.1設(shè){α1，α2，……，αn}是歐氏空間的一個(gè)正交組，那么α1，α2，……，αn線性無(wú)關(guān)。例3歐氏空間Rn的基

是Rn的一個(gè)規(guī)范正交基。

第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.2.2設(shè){α1，α2，……，αm}是歐氏空間V的一組線性無(wú)關(guān)的向量，那么可以求出V的一個(gè)正交組{β1,β2,……，βm}，使得βk可以由α1，α2，……，αk線性表示，k=1,2,……，m.在歐氏空間R3中，對(duì)于基施行正交化方法，得出R3的一個(gè)規(guī)范正交基。定理8.2.3任意n(n>0)維歐氏空間一定有正交基,因而有規(guī)范正交基例4第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.2.4令W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間.那么因而V的每一個(gè)向量ξ可以唯一地寫(xiě)成

ξ＝η＋ζ定理8.2.5設(shè)Ｗ是歐氏空間Ｖ的一個(gè)有限維子空間，ξ是Ｖ任意向量，η是ξ在Ｗ上的正射影．那么對(duì)于Ｗ中任意向量η’≠η,都有第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.2.6n維歐氏空間一個(gè)規(guī)范正交基到另一規(guī)范正交基的過(guò)渡矩陣是一個(gè)正交矩陣一個(gè)n階實(shí)矩陣U叫做一個(gè)正交矩陣,如果

UU’=U’U=I.由以上的討論我們得到定義2第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義3歐氏空間V與V’說(shuō)是同構(gòu)的，如果（i）作為實(shí)數(shù)域上向量空間，存在V到V’的一個(gè)同構(gòu)映射f:V→V’;(ii)對(duì)于任意ξ，η∈V，都有定理8.2.7兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們的維數(shù)相等。第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義1歐氏空間V的一個(gè)線性變換σ叫做一個(gè)正交變換，如果對(duì)于任意ξ∈V都有定理8.3.1正交變換歐氏空間V的一個(gè)線性變換σ是正交變換的充分必要條件是：對(duì)于V中任意向量ξ，η，第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.3.2設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，σ是V的一個(gè)線性變換，如果σ是正交變換，那么σ把V的任意一個(gè)規(guī)范正交基仍舊變成V的一個(gè)規(guī)范正交基。反過(guò)來(lái)，如果σ把V的某一個(gè)規(guī)范正交基仍舊變成V的一個(gè)規(guī)范正交基，那么σ是V的一個(gè)正交變換。定理8.3.3n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換σ關(guān)于V的任意規(guī)范正交基的矩陣是一個(gè)正交矩陣。反過(guò)來(lái)，如果V的一個(gè)線性變換關(guān)于某一規(guī)范正交基的矩陣是正交矩陣，那么σ是一個(gè)正交變換。第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六

對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣定義1設(shè)σ是歐氏空間V的一個(gè)線性變換。如果對(duì)于V中任意向量ξ，η，等式成立，那么就成σ是一個(gè)對(duì)稱變換。定理8.4.1設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱變換。α1，α2，……αn是V的任意一個(gè)規(guī)范正交基。A=（aij)是σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣。那么A‘=A，這里A’表示A的轉(zhuǎn)置。第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.4.2設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換。如果σ關(guān)于一個(gè)規(guī)范正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣，那么σ是一個(gè)對(duì)稱變換。定理8.4.3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征都是實(shí)數(shù)。定理8.4.4n維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換的屬于不同本征值的本征向量彼此正交。第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理8.4.5設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱變換，那么存在V的一個(gè)規(guī)范正交基，使得σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。定理8.4.6設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣。那么存在一個(gè)n階正交矩陣U，使得U’AU是對(duì)角形第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1設(shè)找出求一個(gè)正交矩陣U使U’AU是對(duì)角形矩陣。第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六酉空間定義1設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上一個(gè)向量空間。如果對(duì)于V中任意一對(duì)向量ξ，η，有一個(gè)確定的復(fù)數(shù)<ξ,η>與它們對(duì)應(yīng)，叫做ξ與η的內(nèi)積，并且下列條件被滿足：第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義2一個(gè)n階復(fù)矩陣U叫做一個(gè)酉矩陣，如果與定理8.2.6相平行，我們有定理8.5.1n維酉空間一個(gè)規(guī)范正交基到另一個(gè)規(guī)范正交基的過(guò)渡矩陣是一個(gè)酉矩陣。第二十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六酉變換和對(duì)稱變換定義1酉空間V的一個(gè)線性變換σ叫做一個(gè)酉變換，如果對(duì)于