數(shù)學建模微分方程模型

數(shù)學建模微分方程模型第一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六常微分方程的基本方法第二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六微分方程基礎(chǔ)微分方程是含有函數(shù)及其導數(shù)的方程。如果方程(組)只含有一個自變量(通常是時間t)，則稱為常微分方程。否則稱為偏微分方程。例：下面的方程都是微分方程：第三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六微分方程的解是函數(shù)，對應一個變化過程。常微分方程的解是隨時間t變化的函數(shù)，比如一輛汽車在公路上飛馳，一個球從空中落下等。偏微分方程不但描述物體隨時間變化發(fā)生位置的改變，而且物體各部分之間的位置的相對變化。如水的流動，煙霧的擴散，公路上車流的涌動等。微分方程解決的主要問題：

(1)描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

(2)分析對象特征的變化規(guī)律(3)預報對象特征的未來性態(tài)(4)研究控制對象特征的手段第四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六微分方程模型包括兩個部分：方程和定解條件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆運算—積分，而積分出現(xiàn)任意常數(shù)，因此方程的解不唯一，需要附加條件將所求的解唯一確定下來。這樣的條件稱為定解條件。常微分方程的定解條件：對一個m階常微分方程，需要積分m次才能將解函數(shù)求出，因此需要m個定解條件。方程組的定解條件個數(shù)是每個方程定解條件個數(shù)之和。定解問題分為初值問題和邊值問題。初值問題的定解條件在同一個點上，而邊值問題的定解條件在不同點上。第五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六導數(shù)的意義：瞬時變化率在實際上我們遇到的描述變化的詞有

速率(物理)

增長率(經(jīng)濟，生物，人口等)

衰變(原子反應)

邊際的(經(jīng)濟)瞬時變化率的描述：

絕對增加率：單位時間增加的量。

相對增加率：單位時間增加的百分比。

變化率=增加率-減少率由于是瞬時的，其量的關(guān)系只有在很短的時間間隔中才能夠利用靜態(tài)的方法分析。(微元法)第六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六微分方程的建模方法：(1)利用導數(shù)的意義，建立含有導數(shù)的方程(微分方程)。(2)微元法。微分方程的穩(wěn)定性理論：對微分方程組若f(x0)=0，則稱x0是方程組的平衡點。第七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六如果在平衡點x0處，f(x)的Jacobi矩陣的所有特征值的實部都小于0，則x0是穩(wěn)定的平衡點，如果存在某個特征值的實部大于0，則x0是不穩(wěn)定的平衡點。

第八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六穩(wěn)定的平衡點的實際意義：如果微分方程存在穩(wěn)定的平衡點，設x(t)是微分方程的解，則當t時，x(t)趨向于某個穩(wěn)定的平衡點。例：對Logistic方程，它有兩個平衡點x=0和x=N。其中x=0是不穩(wěn)定的平衡點，x=N是穩(wěn)定的平衡點。

第九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陳代謝。在健身訓練中，他每公斤體重所消耗的熱量大約是16卡/天。設以脂肪形式貯存的熱量100%有效，且1公斤脂肪含熱量10000卡，分析這個人體重的變化。分析：問題研究人體重量隨時間的變化w(t)。條件給出的是熱量單位時間的變化2500-1200-16w(t)轉(zhuǎn)換成體重為(2500-1200-16w(t))/10000因此得到變化關(guān)系

第十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六常微分方程建模的物理方法熱傳導：牛頓冷卻定律(加熱定律)：例：將一只讀數(shù)為25度的溫度計放在室外，10分鐘后度數(shù)為30度，又過了10分鐘，讀數(shù)變?yōu)?3度，問室外溫度是多少？如果遇到我們不熟悉的問題時，應該怎么辦？答案：不要回避，到網(wǎng)上查一下相關(guān)的概念你就會發(fā)現(xiàn)：這個不熟悉的問題可能是比較簡單的!第十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六分析：上網(wǎng)查一下熱傳導，我們可以了解到：熱的傳導從溫度高的地方向溫度低的地方傳導，單位時間傳送的熱量與溫差T成正比，與兩個熱源的距離成反比。即對于兩個固定熱源，距離d是常數(shù)，則

在我們的問題中，室外溫度可以看做常數(shù)T0，大于室內(nèi)溫度，而熱量正比于溫差，從而變化規(guī)律為第十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六問題：現(xiàn)有4000毫升溫度為10度的化學溶液，將一個體積40毫升溫度為90度的玻璃球放在溶液中。求溶液溫度的變化規(guī)律。(平均溫度)模型的解為這里有三個參數(shù)，其中T0=25。還剩兩個參數(shù)，利用剩下的兩個條件可以確定。第十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六動力學：牛頓第二定律能量守恒定律歐拉-拉格朗日方程空氣和水的阻力例1：求單擺的運動：擺長L，擺錘質(zhì)量m的單擺的運動方程第十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六(1)利用Newton定律f=ma得到即(2)利用能量方程建模。設=0的點為零勢點則等式兩邊求導數(shù)則得到第一個方程。第十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六例2：一只裝滿水的圓柱形桶，底半徑3m，高6m。底部有一個直徑0.02米的孔。(1)水多長時間可以流光？(2)如果孔在側(cè)面，而桶放在距地面3m的高度。求水流噴出距離的變化規(guī)律。解：直接利用Newton第二定律建模比較困難，我們利用能量的轉(zhuǎn)換。在流水的過程中，桶的頂部減少的勢能化為水的動能。(如圖)hhds第十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六dhhds設桶的水平面積為A，孔的面積為B，則由于質(zhì)量守恒，則Adh=-Bds符號反映了此消彼長。設水的流速是v則

根據(jù)能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，水失去的勢能轉(zhuǎn)化為動能，即或第十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六練習：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圓錐)或球形的，計算水深的變化規(guī)律。綜合得到問題1：給出定解條件。問題2：求出桶里的水流光所需時間。第十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六練習題：1、在一所大學，某個教師每天從圖書館借出一本書，而圖書館每周收回所借圖書的10%。幾年后，這個教師手中有大約多少本圖書館的書？2、某學院的教育基金，最初投資P元，以后按利率r的連續(xù)復利增長。另外，每年在基金開算的時間，都要投入新的資本A/年求7年的累計資金數(shù)量。另外，如果每年在基金開算的時間，把其中20%用于獎學金的發(fā)放，求7年后累計資金數(shù)量。3、一場降雪開始于中午前的某個時刻，降雪量穩(wěn)定。某人從正午12點開始清掃人行道，他的鏟雪速度(m3/小時)和路面寬度都不變，到下午2點他掃了1000米，到下午4點又清掃了500米。雪是什么時間開始下的？另外，如果他在下午4點開始回頭清掃，什么時間回到開始清掃的地點？第十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六2004C題飲酒駕車據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當?shù)谋壤?。針對這種嚴重的道路交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？第二十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：酒是在很短時間內(nèi)喝的；酒是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。3.怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。第二十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516

酒精含量3835282518151210774

參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2.體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到數(shù)據(jù)如下：第二十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六在這個問題中，有兩個問題：(1)酒精在身體中吸收和排除過程的描述。(2)利用所給出的數(shù)據(jù)，分析大李的具體例子。第二十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六這是某人喝下兩瓶啤酒后，測得的血液中酒精含量數(shù)據(jù)第二十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六這個題目比較簡單，但做法的差異有很好的警示作用。第一種：曲線擬合的方法。許多隊給出了不同的曲線擬合方法。例如，有的參賽隊給出分段擬合：對左邊的數(shù)據(jù)采用多項式擬合，而右邊的數(shù)據(jù)采用指數(shù)擬合，很好地擬合了數(shù)據(jù)，但沒有從機理上對問題分析。在這個問題上，這種方法是不好的。第二種：機理分析方法：實際上，對這一類問題，有成熟的機理分析方法：房室模型。第二十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六我們可以把喝酒后酒精的變化過程描述為喝酒酒精進入腸胃消化后進入血液排出。這里，血液循環(huán)系統(tǒng)可以看作中心室，腸胃可以看作吸收室。M1克酒精在很短時間進入吸收室，從吸收室逐漸進入中心室，最后逐漸排出。吸收室x中心室y排出k1k2m1第二十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六吸收室x中心室y排出k1k2m1設從吸收室到中心室的酒精轉(zhuǎn)移速率為k1，中心室中的酒精排出速率為k2，則第二十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六這個方程組可以解出血液中酒精的含量利用最小二乘法即可確定出模型中的各參數(shù)。最小二乘法及其matlab函數(shù)：第二十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六2011C題

企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革

養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動者對社會所作貢獻及其所具備享受養(yǎng)老保險的資格，以貨幣形式支付的保險待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌”與“個人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費工資與社會平均工資之比（繳費指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個人工資賬戶中一定比例的資金（個人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會隨著社會平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設定為3%。第二十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平?，F(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標替代率確定為58.5%.替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。第三十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計算辦法。請建立數(shù)學模型，解決如下問題：問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設，并參考附件1，預測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。第三十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設，并參考附件1，預測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。第三十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六下面的圖是題目所給出的職工工資隨時間增長數(shù)據(jù)。第三十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六許多同學分析這個問題的一個誤區(qū)是把這組數(shù)據(jù)看作無法分析機理的問題，即只能見黑箱模型。因此，一眼看上去像一個3次多項式，馬上利用三次多項式擬合，并利用這個多項式做預測得到下圖人均達到五十五萬！第三十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六先不談預測的正確與否，我們來分析問題是否沒有機理可以在建模中起作用。首先讀一下題目中下面段落：養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平。這一段告訴我們：(1)職工工資逐年增長；(2)發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低，而要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平，因此工資增長率要逐年降低，到2050年到較低的水平。第三十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六利用數(shù)學模型描述，就是：其中r(x)是單調(diào)減函數(shù)，且r(2050)很小。由于x(1978)=566，是一個很小的數(shù)，我們可以作變換y=x-1978.第三十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六一個最直接的模型是Logistic模型其精確解為

利用最小二乘法可以求出參數(shù)r,y0和N。但計算得到的y(50)=200萬第三十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六擬合結(jié)果(好像不錯)第三十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六預測結(jié)果：到2050年人均650萬！(合理嗎？)第三十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六模型的修改：修改后的模型與數(shù)據(jù)產(chǎn)生偏移。所以，模型和數(shù)據(jù)擬合的不太好。是不是可以改進模型呢？可以考慮更一般的模型：問題：這個方程的解比較復雜，難以寫成解析形式。那么，如何對解作最小二乘擬合呢？

第四十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六也可以預先確定N的值。由于我國在2050年達到中等發(fā)達國家的工資水平。中等發(fā)達國家工資水平在2050年應在15-18萬元。(可以利用網(wǎng)上查出的數(shù)據(jù)加上通貨膨脹因素計算得到)取N=150000,即可得到合理的數(shù)據(jù)。第四十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六練習題：2003D題搶渡長江

“渡江”是武漢城市的一張名片。1934年9月9日，武漢警備旅官兵與體育界人士聯(lián)手，在武漢第一次舉辦橫渡長江游泳競賽活動，起點為武昌漢陽門碼頭，終點設在漢口三北碼頭，全程約5000米。有44人參加橫渡，40人達到終點，張學良將軍特意向冠軍獲得者贈送了一塊銀盾，上書“力挽狂瀾”。2001年，“武漢搶渡長江挑戰(zhàn)賽”重現(xiàn)江城。2002年，正式命名為“武漢國際搶渡長江挑戰(zhàn)賽”，于每年的5月1日進行。由于水情、水性的不可預測性，這種競賽更富有挑戰(zhàn)性和觀賞性。第四十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六2002年5月1日，搶渡的起點設在武昌漢陽門碼頭，終點設在漢陽南岸咀，江面寬約1160米。據(jù)報載，當日的平均水溫16.8℃,江水的平均流速為1.89米/秒。參賽的國內(nèi)外選手共186人（其中專業(yè)人員將近一半），僅34人到達終點，第一名的成績?yōu)?4分8秒。除了氣象條件外，大部分選手由于路線選擇錯誤，被滾滾的江水沖到下游，而未能準確到達終點。假設在競渡區(qū)域兩岸為平行直線,它們之間的垂直距離為1160米,從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為1000米，見示意圖。第四十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六請你們通過數(shù)學建模來分析上述情況,并回答以下問題:1.假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區(qū)域每點的流速均為1.89米/秒。試說明2002年第一名是沿著怎樣的路線前進的，求她游泳速度的大小和方向。如何根據(jù)游泳者自己的速度選擇游泳方向，試為一個速度能保持在1.5米/秒的人選擇游泳方向，并估計他的成績。第四十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六(2)在（1）的假設下，如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向游,他(她)們能否到達終點？根據(jù)你們的數(shù)學模型說明為什么1934年和2002年能游到終點的人數(shù)的百分比有如此大的差別；給出能夠成功到達終點的選手的條件。(3)若流速沿離岸邊距離的分布為(設從武昌漢陽門垂直向上為y軸正向)：

游泳者的速度大?。?.5米/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計他的成績。第四十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六4.若流速沿離岸邊距離為連續(xù)分布,例如

或你們認為合適的連續(xù)分布，如何處理這個問題。5. 用普通人能懂的語言，給有意參加競渡的游泳愛好者寫一份競渡策略的短文。6. 你們的模型還可能有什么其他的應用？第四十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六偏微分方程的建模第四十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六含有多個自變量的微分方程稱為偏微分方程偏微分方程的自變量一般有時間變量t和位形變量x。如果運動過程只與時間有關(guān)，物體中各點的相對位置不變，通?？梢岳贸Ｎ⒎址匠探M描述。如質(zhì)點組或剛體的運動等。如果運動的物質(zhì)的相對空間還發(fā)生變化，則需要利用偏微分方程(組)描述。如水的流動，氣體的擴散和彈性體的振動等。偏微分方程的建模有以下特點:(1)由于自變量是高維空間，邊界條件比較復雜；(2)高維空間的變化描述的微元不是簡單的區(qū)間，而是任意的小區(qū)域，處理需要曲面積分和多重積分的技巧。第四十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六流動現(xiàn)象的建模第四十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六流動是一類普遍的自然現(xiàn)象。江河里的水流，公路上的車流，大廈中的人流，企業(yè)中的資金流和物流等，都是流動現(xiàn)象。流動是物質(zhì)的轉(zhuǎn)移的基本形式之一。流動是由于力的作用造成的。如水流從高處向低處流動，桶中的水由于壓力的作用而發(fā)生流速的變化等。流動的一個基本特點是物質(zhì)不滅，即在一個封閉的區(qū)域中，流入的量減去流出的量等于區(qū)域中物質(zhì)的增量。第五十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六流動的描述：利用什么樣的量描述流動呢？(我們通過什么樣的量的變化能夠刻畫出流動的過程呢？)我們可以從河流中的污染物的隨波逐流可以看出，刻畫流動有以下基本的量：(1)物質(zhì)的分布。(由于是連續(xù)分布，可以利用分布函數(shù)或密度函數(shù)刻畫分布)流動的刻畫實際上是由物質(zhì)分布的改變而顯示出來的。(2)流速。在一點附近的流動在時間很短時，可以近似看作小的固體沿某方向流動，因此流速是利用向量描述的。(3)流量。(單位時間流過的物質(zhì)數(shù)量)流量是標量。第五十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六例2：公路上的車流第五十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六考慮一段公路上的汽車流動。設這段公路的長度與車輛之間的距離相比長得多。設在t時刻，x位置車流密度函數(shù)為p(x,t)車的流量為q(x,t)。(單位時間流過的物質(zhì))在[x,x+x]段，[t,t+t]時段車輛總數(shù)的改變等于進入這一區(qū)域的車輛數(shù)減去離開這一區(qū)域的車輛數(shù)，即

第五十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六可以將上述方程化簡：取極限得到：問題：一個方程，兩個未知函數(shù)，解無法確定，如何處理？第五十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六解決的方法有兩個：(1)尋找另一個獨立的方程；(2)尋找兩個變量之間的關(guān)系。我們從第2個問題入手。直觀上可以看出，當密度很小的時候，速度較大，而密度達到極限時，速度很小(可看作速度等于零，堵車了).因此，設pm為極限密度，則密度和速度的關(guān)系模型為

最簡單的是線性化模型

第五十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六從而得到流量和密度的關(guān)系式把這個方程代入原方程得到模型的結(jié)構(gòu)就確定了。但模型還沒有最后確定，還必須給出初邊值條件。

問題：如果已知v=60m/h，pm=280輛/mile,并設開始時刻公路上均勻分布著150輛車，車輛以30m/h進入公路。計算t=3時的車輛分布。第五十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六首先考慮煙草內(nèi)毒素的流動。要分析物質(zhì)的流動，首先要分析兩個量在t時刻x位置

毒素的密度w(x,t)

毒素的流量q(x,t)考慮在[t,t+t]時段，[x,x+x]上毒素數(shù)量的變化。由質(zhì)量守恒得到例3：煙卷里毒素的流動和沉積。第五十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六類似上一例子得到描述流動的方程下面分析流量和密度的關(guān)系。煙草中的毒素是由于本來含有的毒素加上由于煙草中的毒素隨煙霧流動，經(jīng)過x點被煙草吸附的毒素。而煙霧中毒素的含量與燃燒處毒素的密度有關(guān)。可以假設：

毒素的流量與燃燒處燃燒掉的煙草所含有的毒素成比例。比例系數(shù)。

煙霧經(jīng)過x點被煙草吸附的毒素與經(jīng)過x點的煙霧所含有的毒素量成比例，比例系數(shù)。第五十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六

進一步分析。設在x0處在燃燒的煙草毒物沉積在x>x0處的數(shù)量。由于沉積率為，則這些毒素隨著煙霧的流動而減少，變化規(guī)律為其中w1是煙霧中的毒物密度。設煙霧的運行速度為u，則從x0到x的時間為

得到第五十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六下面分析在t時刻x0的位置。注意到x0的位置與煙草的燃燒速度有關(guān)，如果燃燒速度是常數(shù)v，則x0=vt。綜合得到

上面的式子建立了密度w和流量q的關(guān)系。問題在于兩者不同步。我們可以設計算法求解。第六十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六例4：人口分布的動力學方程從廣義上看，人口的發(fā)展也是一個流動過程，即隨著時間的發(fā)展，從低齡向高齡變化。差別在于：由于死亡的發(fā)生，人數(shù)是不守恒的。設t時刻r齡人口的密度為f(t,r)，經(jīng)過時間dt，[r,r+dr]區(qū)段的人數(shù)減少f(t,r)(r)dr而年齡變化為[r+dt,r+dr+dt]。其中(r)是r齡人口的死亡率。從而得到第六十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六令dt,dr0得到第六十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六高維流動一維流動的特點是流動方向唯一，容易考慮。下面考慮三維流動。首先引入

流量q(x,y,z,t)(由于流的方向可以變化，流量成為向量)。

密度w(x,y,z,t)流動的特點是：從區(qū)域邊界流出的物質(zhì)的總數(shù)等于內(nèi)部物質(zhì)數(shù)量的變化。考慮一個區(qū)域上物質(zhì)在[t,t+t]時段的流動。第六十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六流出的流量總和為這一段時間內(nèi)物質(zhì)總量的變化兩者是相等的。令t0得到什么？第六十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六練習：對二維問題，導出流動的質(zhì)量守恒方程。第六十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六2011A題

城市表層土壤重金屬污染分析第六十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同?，F(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。第六十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。現(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？第六十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六這里只考慮第3問。由于城市表層土壤中，地表徑流沖刷為主要傳播途徑，而擴散的作用較小，因此只考慮對流的影響。設u(x,y,t)是t時刻在(x,y)處的重金屬元素的濃度，對平面上任意區(qū)域，在[t,t+t]時段，通過的邊界流出的總和為其中q是流量向量，n是區(qū)域的外法線方向。第六十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六在同一時段內(nèi)，中物質(zhì)數(shù)量的變化為

從而有令t0得到第七十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六等式兩邊分別是曲面積分和三重積分。不容易比較。為了方便比較，我們利用Gauss公式把它換一下：代入上一個式子得到由于區(qū)域的任意性得到第七十一頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六這是流動的基本方程，反映了流動的共性。流量沒有數(shù)據(jù)，但由于考慮重金屬的傳播的成因主要是由于雨水的沖刷。因此傳播的快慢應該與重金屬的濃度及地面的陡峭程度有關(guān)。設地面高度為h(t,x,y)，則可以假設

代入上面的式子即得到最終模型。第七十二頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六練習題：(2005)長江水質(zhì)的評價和預測

第七十三頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六水是人類賴以生存的資源，保護水資源就是保護我們自己，對于我國大江大河水資源的保護和治理應是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設文明和諧社會，改善人與自然的環(huán)境，減少污染。”

長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護長江萬里行”考察團，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個重點城市做了實地考察，揭示了一幅長江污染的真實畫面，其污染程度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài)10年內(nèi)將瀕臨崩潰”（附件１），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。第七十四頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區(qū)）近兩年多主要水質(zhì)指標的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上７個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點距離、水流量和水流速）。通常認為一個觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標稱為降解系數(shù)。事實上，長江干流的自然凈化能力可以認為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)通常介于0.1~0.5之間，比如可以考慮取0.2

(單位：1/天)。附件4是“1995~2004年長江流域水質(zhì)報告”給出的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(GB3838-2002)

給出的《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》中4個主要項目標準限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水。第七十五頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六請你們研究下列問題：(1)對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。(2)研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?(3)假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預測分析，比如研究未來10年的情況。(4)根據(jù)你的預測分析，如果未來10年內(nèi)每年都要求長江干流的Ⅳ類和Ⅴ類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣Ⅴ類水,那么每年需要處理多少污水？

(5)你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實可行的建議和意見。第七十六頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六擴散模型第七十七頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六擴散是自然界的另一個基本現(xiàn)象。如煙霧向空中擴散，污染物在水中擴散等。在社會活動中，疾病的傳播、謠言的泛濫也有類似的動態(tài)特征。熱量的傳播也是一種擴散過程。擴散的特點：物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移。即物質(zhì)沿濃度的負梯度方向流動。在曲面一點(x,y,z)的流量為其中C(x,y,z,t)是t時刻的濃度，k稱為擴散系數(shù)。

第七十八頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六在同一時段內(nèi)，中物質(zhì)數(shù)量的變化為

從而有令t0得到第七十九頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六再利用Gauss積分公式得到從而

由的任意性得到第八十頁，共九十頁，編輯于2023年，星期六熱的傳導和擴散過程類似，熱的傳導是熱量由溫度高的地方向溫度低的地方流動的結(jié)果。(可以稱作熱的擴散！)引入變量u(x,t)：x位置t時刻的溫度；J(x,t):x位置t時刻的熱流速度。熱力學定律：(1)熱流從溫度高的地方向溫度低的地方流動，熱流速度正比于溫度函數(shù)的梯度；(2)體積元素的溫度的升高正比于